中小学教育资源及组卷应用平台
【单元测试】第二十一章 一元二次方程（能力提升）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·全国·九年级期末）解一元二次方程，最适用的方法是（ ）
A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开方法
2．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为（ ）
A．4 B．－4 C．±1 D．±4
3．（2022·山东淄博·九年级期中）如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
4．（2022·四川眉山·九年级期中）下列一元二次方程中，有两个实数根的和为2是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·九年级单元测试）已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（ ）
A．2 B．-1 C． D．-2
6．（2022·河南·九年级期中）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在一块宽为，长为的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余（阴影）部分的面积为，问小路的宽应是多少？设小路的宽为，根据题意得（ ）
A． B．
C． D．以上都不正确
8．（2022·全国·九年级单元测试）已知x＝a是一元二次方程的解，则代数式的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
9．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·河南三门峡·九年级期末）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．（2022·全国·九年级单元测试）将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．
12．（2022·江苏·九年级专题练习）已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）．
13．（2022·广东·佛山市华英学校九年级期中）设a为一元二次方程的一个实数根，___________．
14．（2022·全国·九年级单元测试）一小球以15 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10 m．小球所能达到的最大高度为________m．
15．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）若是的两个实数根，则的值为________．
16．（2022·贵州六盘水·九年级期末）若a，b是关于x的方程的两个实数根，则___．
17．（2022·河南驻马店·九年级期中）如图，有一块长，宽的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，则这个盒子的容积为___．
18．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是．
三、解答题（本大题共8个小题，共46分；第19-22每小题4分，第23-24每小题6分，第25小题8分，第26小题10分）
19．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列方程：
(1)x2－x－1＝0；
(2)3x(x－2)＝x－2；
(3)x2－2x＋1＝0；
(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．
20．（2022·全国·九年级单元测试）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．
(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；
(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；
(3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．
21．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求纸盒的体积．
22．（2022·河北保定·九年级期末）根据要求解答下列问题
(1)①方程的解为____________
②方程的解为____________
③方程的解为____________
……………
(2)根据以上方程特征及解的特征，请猜想：
①方程的解为____________
②关于方程的解为____________
(3)请用配方法解方程以验证猜想结论的正确性．
23．（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级期中）如图．把长40cm．宽30cm的长方形ABCD纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）．
(1)用含x的代数式表示EF、FG；
(2)当长方体体纸盒的底面EFGH的面积等于，求小正方形的边长．
24．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，且中间共留两个1米的小门，设篱笆BC长为x米．
(1)AB=________米（用含x的代数式表示）；
(2)若矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，求篱笆BC的长；
(3)矩形鸡舍ABCD面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
25．（2022·全国·九年级期末）陕西某景区吸引了大量中外游客前来参观，如果游客过多，对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响，但也要保证一定的门票收入，因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数，在该方法实施过程中发现：每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这种情况下，如果要保证每周3 000万元的门票收入，那么每周应限定旅游人数是多少万人？门票价格应是多少元？
26．（2021·重庆·西南大学附中九年级期末）俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．
（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了，每袋香肠的售价减少了元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【单元测试】第二十一章 一元二次方程（能力提升）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·全国·九年级期末）解一元二次方程，最适用的方法是（ ）
A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开方法
【答案】D
【分析】观察方程形式，可得最佳方法．
【详解】解：解一元二次方程（x-1）2=4时，最佳的求解方法是：直接开方法．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．
2．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为（ ）
A．4 B．－4 C．±1 D．±4
【答案】A
【分析】将x=0代入方程计算求出k的值即可．
【详解】因为x=0是一元二次方程的一个根，
所以，
解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键．
3．（2022·山东淄博·九年级期中）如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
【答案】C
【分析】利用一元二次方程定义可得m2-7=2，且m-3≠0，再解出m的值即可．
【详解】解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0，
解得：m=-3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
4．（2022·四川眉山·九年级期中）下列一元二次方程中，有两个实数根的和为2是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行判断．
【详解】解：A、∵a=1，b=-2，c=2，
∴b2-4ac=4-8=-4＜0，即原方程无解，本选项不合题意；
B、∵a=1，b=-2，c=2022，
∴b2-4ac=4-12=-8084＜0，即原方程无解，本选项不合题意；
C、方程的两个实数根之和为2，本选项符合题意；
D、∵a=1，b=2，c=-2，
∴b2-4ac=4+8=12>0，
且方程的两个实数根之和为-2，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，方程有解，设方程的两个解分别为x1，x2，则有x1+x2=-，x1x2=．
5．（2022·江苏·九年级单元测试）已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（ ）
A．2 B．-1 C． D．-2
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系先求出x1+x2，x1·x2的值，再代入所求的式子中计算即可．
【详解】解：根据根与系数的关系得，
x1+x2=4，x1·x2=-2
∴
=-2．
故选D ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式是解题的关键．
6．（2022·河南·九年级期中）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果．
【详解】解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步，
∴x(60-x)=864，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
7．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在一块宽为，长为的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余（阴影）部分的面积为，问小路的宽应是多少？设小路的宽为，根据题意得（ ）
A． B．
C． D．以上都不正确
【答案】C
【分析】把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边，就可以得到阴影部分图形是长方形，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设小路的宽为，由题意得，
，
故选C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是本题的关键．
8．（2022·全国·九年级单元测试）已知x＝a是一元二次方程的解，则代数式的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
【答案】B
【分析】把x＝a代入一元二次方程，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．
【详解】解：把x＝a代入一元二次方程，得
a2-2a-3=0，
∴a2-2a=3，
∴2a2-4a=6，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．
9．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵点为的中点，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．
10．（2022·河南三门峡·九年级期末）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
【答案】B
【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．
【详解】解：由题意可知：挂图的长为，宽为，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
【点睛】本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．（2022·全国·九年级单元测试）将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．
【答案】 3x2＋5x－3＝0 3 5
【分析】将方程展开，化简后即可求解．
【详解】将，开展为一般形式为：；
则可知一次项系数为5，二次项系数为3，
故答案为：，3，5．
【点睛】本题主要考查了将一元二次方程化为最简式以及判断方程各项系数的知识，熟记相关考点概念是解答本题的关键．
12．（2022·江苏·九年级专题练习）已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）．
【答案】<
【分析】先求A-B的差，再将差用配方法变形为A﹣B＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．
【详解】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2﹣2<0，
∴A﹣B<0，
∴A故答案为：<．
【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
13．（2022·广东·佛山市华英学校九年级期中）设a为一元二次方程的一个实数根，___________．
【答案】4046
【分析】根据一元二次方程的解得到等式，再进行等价变形后代入所求代数式即可．
【详解】解：∵a为一元二次方程的一个实数根，
∴．
∴．
∴．
故答案为：4046．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题关键．
14．（2022·全国·九年级单元测试）一小球以15 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10 m．小球所能达到的最大高度为________m．
【答案】 1或2
【分析】把10代入关系式可求出t;用配方法可求出小球所能达到的最大高度．
【详解】解：当h=10m时，
10=15t－5t2，
∴t=1或t=2;
∵h＝15t－5t2= 可看出当时,h最大为，
故答案为:1或2;．
【点拨】本题考查了利用二次函数解决实际问题，掌握利用配方法求极值是解决问题的关键．
15．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）若是的两个实数根，则的值为________．
【答案】2022
【分析】根据m、n是方程x2+2x-1=0的两个实数根，可得m+n=1，m2=2020+m，把所求式子变形，再整体代入即可．
【详解】∵m、n是方程x2+2x-1=0的两个实数根
∴，m+n=1，
∴m2=2020+m，
∴，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查一元二次方程的根及3根与系数的关系，解题的关键是掌握解的定义和韦达定理．
16．（2022·贵州六盘水·九年级期末）若a，b是关于x的方程的两个实数根，则___．
【答案】2020
【分析】由a，b是关于x的方程的两个实数根得，，，再整理代数式即可求得答案．
【详解】解： a，b是的两个实数根，
，a+b=2,
即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出，是解题的关键．
17．（2022·河南驻马店·九年级期中）如图，有一块长，宽的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，则这个盒子的容积为___．
【答案】192
【分析】根据题意，可设截去的四个相同的小正方形边长为，则可表示出该无盖盒子底面的长和宽，从而列出一元二次方程并求解得到的值，进而得出该无盖盒子的高，即可得出其容积．
【详解】解：设截去的四个相同的小正方形边长为，
则无盖盒子的底面长为，宽为，
由题意：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴小正方形边长为2，
则该无盖盒子的高为2，
∴其容积为：，
故答案为：192．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系并建立方程是解题关键．
18．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是．
【答案】2或3##3或2
【分析】设t秒后的面积是，则，，列方程即可求解．
【详解】解：设运动时间为秒，则，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
或3秒时，的面积是．
故答案为：2或3．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
三、解答题（本大题共8个小题，共46分；第19-22每小题4分，第23-24每小题6分，第25小题8分，第26小题10分）
19．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列方程：
(1)x2－x－1＝0；
(2)3x(x－2)＝x－2；
(3)x2－2x＋1＝0；
(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．
【答案】(1)，
(2)x1＝，x2＝2
(3)x1＝，x2＝
(4)x1＝－4，x2＝－5
【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解；
（3）利用配方法解答，即可求解；
（4）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】(1)解： a＝1，b＝－1，c＝－1
∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5
∴x＝＝
即原方程的根为x1＝，x2＝
(2)解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，
即（3x－1）（x－2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．
(3)解：配方，得（x－）2＝1，
∴x－＝±1．
∴x1＝＋1，x2＝－1．
(4)解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，
即（x＋4）（x＋5）＝0，
∴x1＝－4，x2＝－5．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
20．（2022·全国·九年级单元测试）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．
(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；
(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；
(3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．
【答案】(1)m的值为1或-2
(2)-2＜m＜1
(3)m＝或m＝
【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；
（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；
（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.
【详解】（1）解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，
∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．
解得m＝1或m＝-2．
∴m的值为1或-2．
（2）解：∵x2-4mx+4m2＝9，
∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．
∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．
∵2m+3＞2m-3，
∴
解得-2＜m＜1．
∴m的取值范围是-2＜m＜1．
（3）解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．
若Rt△ABC的斜边长为7，
则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．
解得m＝±．
∵边长必须是正数，
∴m＝．
若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．
解得m＝．
综上所述，m＝或m＝．
【点睛】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.
21．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求纸盒的体积．
【答案】3000cm3
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，也是纸盒的高．则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程并解答．
【详解】设剪去小正方形的边长是xcm，根据题意得：
（30－2x）（40－2x）＝600．
解得x1＝5，x2＝30
由题可知x＜15，所以x＝5，
体积：V＝600x＝600×5＝3000cm3
答：纸盒的体积为3000cm3 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，其中涉及长方形的面积、长方体体积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．（2022·河北保定·九年级期末）根据要求解答下列问题
(1)①方程的解为____________
②方程的解为____________
③方程的解为____________
……………
(2)根据以上方程特征及解的特征，请猜想：
①方程的解为____________
②关于方程的解为____________
(3)请用配方法解方程以验证猜想结论的正确性．
【答案】(1)①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3
(2)①x1＝1，x2＝8；②x1＝1，x2＝m
(3)x1＝1；x2＝8；猜想正确
【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）①利用（1）中各方程解的特征求解；
②利用根与系数的关系确定一次项系数和常数项即可；
（3）利用配方法得到（x﹣）2＝，然后用直接开平方法解方程．
【详解】（1）解：根据要求解答下列问题①方程x2－2x＋1＝0的解为x1＝1，x2＝1；②方程x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2；③方程x2－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3；
（2）解：根据以上方程特征及解的特征，请猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解为x1＝1，x2＝8；②关于方程方程x2－（1＋m）x＋m＝0的解为x1＝1，x2＝m；
（3）解：，，（x﹣）2＝，，x1＝1，x2＝8．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
23．（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级期中）如图．把长40cm．宽30cm的长方形ABCD纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）．
(1)用含x的代数式表示EF、FG；
(2)当长方体体纸盒的底面EFGH的面积等于，求小正方形的边长．
【答案】(1)，
(2)小正方形的边长为5cm
【分析】（1）观察图形，根据各线段之间的关系可用含x的代数式表示出EF，GH的长度；
（2）根据题意得，进行计算即可得．
【详解】(1)解：由图可知，
（cm），
(cm)，
故答案为：，．
(2)解：
解得：，（不合题意，舍去），
即小正方形的边长为5cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是掌握这些知识点．
24．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，且中间共留两个1米的小门，设篱笆BC长为x米．
(1)AB=________米（用含x的代数式表示）；
(2)若矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，求篱笆BC的长；
(3)矩形鸡舍ABCD面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
【答案】(1)（45 3x）
(2)篱笆BC的长为10米
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-55＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米．
【详解】（1）解：设篱笆BC长为x米，∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门，∴AB=43+2 3x=45 3x（米）．故答案为：（45 3x）．
（2）解：依题意，得：（45 3x）x=150，整理，得：x2 15x+50=0，解得：x1=5，x2=10．当x=5时，AB=45 3x=30＞20，不合题意，舍去；当x=10时，AB=45 3x=15，符合题意．答：篱笆BC的长为10米．
（3）解：不可能，理由如下：依题意，得：（45 3x）x=210，整理得：x2 15x+70=0，∵Δ=（ 15）2 4×1×70= 55＜0，∴方程没有实数根，∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
25．（2022·全国·九年级期末）陕西某景区吸引了大量中外游客前来参观，如果游客过多，对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响，但也要保证一定的门票收入，因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数，在该方法实施过程中发现：每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这种情况下，如果要保证每周3 000万元的门票收入，那么每周应限定旅游人数是多少万人？门票价格应是多少元？
【答案】10万人、300元
【分析】设门票价格为x元，每周旅游人数为y万人，根据题中的图中信息，利用待定系数法即可求解出每周旅游人数y与票价x之间存在一次函数关系，再根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设门票价格为x元，每周旅游人数为y万人，
∵每周旅游人数与票价之间存在一次函数关系，
∴设一次函数为y＝kx＋b，
则有，
解得：，
∴．
由题意得：，
解得＝100，＝300．
当x＝100时，y＝30；
当x＝300时，y＝10．
∵既要控制人数又要保证收入，
∴每周应限定旅游人数是10万人，门票价格应是300元．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一次函数解析式和方程，是解题的关键．
26．（2021·重庆·西南大学附中九年级期末）俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．
（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了，每袋香肠的售价减少了元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
【答案】（1）每袋腊肉进价为40元，每袋香肠进价为50元；（2）10．
【分析】（1）设每袋腊肉的进价为x元，则每袋香肠的进价为(x+10)元，根据题意可列分式方程，求解即可．
（2）根据题意可求出上半月腊肉销售量和香肠销售量，再用a表示出下半月调整售价后，腊肉的售价和销量、香肠的售价和销量．最后根据下半月利润，列出关于a的方程，解出a即可．
【详解】（1）设每袋腊肉的进价为x元，则每袋香肠的进价为(x+10)元，
根据题意可列方程：，
解得：，经检验是原方程的解．
故每袋腊肉进价为40元，每袋香肠进价为40+10=50元．
（2）设上半月腊肉销售量为m袋，则上半月香肠销售量为袋．
根据题意可列方程：，
解出：，
则上半月腊肉销售量为80袋，香肠销售量为60袋．
下半月调整售价后，腊肉的售价为元，销量为袋；香肠的售价为元，销量为袋．下半月的利润为元．
即可列出方程．
∴．
解得：，（舍）．
故a的值为10．
【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
