高中数学人教A版必修第一册 3.2.2奇偶性 课件 (共23张PPT)

(共23张PPT)
第3章 函数的概念与性质
3.2.2 函数的奇偶性
人教A版2019高中数学必修第一册
前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降” ）的性质.
现在继续研究函数的奇偶性.
探究一 观察二次函数f(x)=x 和g(x)=2-|x|的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
答：这两个函数的图象都关于y轴对称.
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？
偶函数
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等，如：
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
f(x)=x ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
g(x)=2-|x| ··· -1 0 1 2 1 0 -1 ···
偶函数
对于函数f(x)=x ，有
f(-3)=9= f(3)；
f(-2)=4= f(2)；
f(-1)=1= f(1)；
同样，对于函数g(x)=2-|x| ，有
g(-1)=2-|-1|=1= g(1)；
g(-2)=2-|-2|=0= g(2)；
g(-3)=2-|-3|=-1= g(3)······
偶函数
实际上， x∈R，都有f(-x)=(-x) =x =f(x)，这时称函数f(x)=x 为偶函数.
同样， x∈R，都有g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)，这时称函数g(x)=2-|x|为偶函数.
偶函数
偶函数
画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现什么共
同的特征？
可以发现，这两个函数都关于y轴对称.也就是说，当自变量取互为相反数的
两个数时，函数值是相等的，即
对于 ，有
对于 ，有
常见的偶函数有 ， 等等
偶函数
【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果对于 ，都有 ，
且 ，即 的图像关于y轴对称，那么就称 为偶函数.
【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个函数
是偶函数吗？
【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，所
以不一定是偶函数.
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A；
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x)
偶函数
【总结】一般地，一个函数是偶函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
偶函数
偶函数
图像关于y轴对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：
画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现什么共
同的特征？
奇函数
可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为
相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即
对于 ，有
对于 ，有
奇函数
常见的奇函数有 ， , 等等
【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个
函数是奇函数吗？
【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果对于 ，都有 ，
且 ， 即 的图像关于原点成中心对称，那么就称
为奇函数.
【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，
所以不一定是奇函数.
奇函数
要证明某个函数不是奇函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可
【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A；
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x)
【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于原点成中心对称，那么函数就是奇函数
奇函数
奇函数
图像关于原点对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：
如果奇函数在
处有定义，则：
如何证明
这个结论？
函数奇偶性的判断
【例题】判断下列函数的奇偶性.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为 ，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为 ，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是偶函数.
判断函数奇偶性，首先要看定义域.
④ 既是奇函数，又是偶函数.
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法：
【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定
义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下
去的必要.
【2】二看等式：满足第一点之后，判断 与 的关系：
函数
既是奇函数，又是偶函数
① 是偶函数；
② 是奇函数；
③ 是非奇非偶函数；
奇(偶)函数的性质及应用
【探究】（1）如何判断函数 的奇偶性？
【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数
的定义域为R，且有
所以此
函数是奇函数.
（2）已知函数 图像的一部分，如何画出剩余部分？
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】
（1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果
奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调增函数.
②偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果
偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调减函数.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：
设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
【注】上表中不考虑 和 的情况；
中需 ， .
偶
偶
偶
偶
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
偶
偶
奇
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