高中数学人教A版必修第一册课件 3.2.1《函数的单调性》 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
3.2.1单调性与最大（小）值
（第一课时）
第三章
函数的概念与性质
3.2　函数的基本性质
T(℃)
气温T是关于时间t的函数曲线图
4
8
12
16
20
24
t
o
-2
2
4
8
6
10
思考:气温发生了怎样的变化？
在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？
2、随x的增大，y的值有什么变化？
画出函数f(x)=x的图象，观察其变化规律：
1、从左至右图象上升还是下降
2、在区间 ________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______ ．
(-∞,+∞)
增大
上升
1、在区间 ____ 上，f(x)的值随着x的增大而 ______．
2、 在区间 _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____．
(-∞,0]
[0,+∞)
增大
减小
画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
如何利用函数解析式f(x)=x2来描述图象这种变化规律
一、函数单调性定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x11．增函数
一、函数单调性定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．
2．减函数
1、函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，是函数的一个局部性质；
注意：
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.
判断：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数吗
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
例如：y=x在整个定义域(-∞,+∞) 上单调递增; y=x2在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]单调递减.
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
二、函数单调区间定义
练习：分别画出下列函数的图象，并根据
它们的图象指出其单调区间。
（1）y=2x+1 （2）y=(x-1)2-1
（3）y= （4）y=2
y
x
o
y
(1)y=2x+1
x
o
2)y=(x-1)2-1
1
2
-1
y
O
x
增区间为
增区间为
减区间为
减区间为
(4)y=2
无单调性
O
y
x
例1：根据定义，研究函数f (x)=kx +b(k≠0)的单调性。
证明：函数f (x)=kx +b（k≠0）的定义域是R。
则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)
=k(x1- x2)
由x1②当k<0时，k(x1- x2)>0 ，
于是f(x1)-f(x2) >0，即f(x1) >f(x2)
这时， f (x)=kx +b是减函数。
①当k>0时，k(x1- x2)<0 ，
于是f(x1)-f(x2) <0，即f(x1)这时， f (x)=kx +b是增函数。
变形
定号
作差
结论
取值
例题讲解
x1, x2∈R,且x1用定义证明函数的单调性的步骤:
(1) 设x1＜x2, 并是某个区间上任意两个数;
(2) 作差 f(x1)－f(x2) ;
(3)判断 f(x1)－f(x2) 的符号:
(4) 作结论.
① 分解因式, 得出因式x1－x2 .
② 配成非负实数和.
方法小结
例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1由V1，V2∈ (0，+∞)且V10, V2- V1 >0
又k>0,于是
所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
……取值
……………定号
……结论
变形
作差
………
三、函数单调性的方法步骤
1 取值:任取x1，x2∈D，且x12 作差:f(x1)－f(x2)；
3 变形:（通常是因式分解或配方等）；
4 定号:（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 结论:（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
练习1：画出下列函数图像，并写出单调区间：
数缺形时少直观
x
y
_____________
,
讨论1：根据函数单调性的定义
2试讨论　　　　　　　在　　　 和　　　 上的单调性？
？
变式2：讨论 的单调性
成果交流
变式1：讨论 的单调性
x
y
y=-x2+2
1
-1
1
2
2
-1
-2
-2
_______;
_______.
练习2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
单调增区间
单调减区间
a>0
a<0
的对称轴为
返回
例3.判断函数 在定义域 (1,+∞)上的单调性.
描点作图
1. 任取x1，x2∈D，且x12. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5. 下结论
主要步骤
并给出证明
形少数时难入微
证明：在区间 上任取两个值 且
则
，且
所以函数 在区间上 是增函数.
取值
作差
变形
定号
结论
返回
四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域.
⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：
⑴设 是给定区间内的任意两个值，且
⑵作差 并将此差变形(要注意变形的程度).
⑶判断 的正负（说理要充分）.
⑷根据 的符号确定其增减性.
数与形,本是相倚依,
焉能分作两边飞;
数无形时少直觉,
形少数时难入微;
数形结合百般好,
隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数统一体,
永远联系莫分离.
——华罗庚