高中数学人教A版必修第一册教案 3.2.1《函数的单调性》教学设计

人民教育出版社A版
3.2.1《函数的单调性（第一课时）》教学设计
课型：新授课
一、教学内容解析及学情分析
首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段是学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对函数的增减性有一个初步的感性认识，知图象的变化趋势；第二阶段是在高一学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高二利用导数为工具研究函数的单调性，并知其变化快慢.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高二的学习奠定基础．
其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从观察图象，用自然语言描述函数图象特征，以函数解析式为依据经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
最后，从学科角度来讲.函数的单调性是重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是发展学生逻辑推理，数学抽象，数学运算的重要素材，同时是一节具有奠基意义的数学方法课.
二、教学目标
1．理解函数单调性的概念；掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法；通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证的能力；通过对具体函数单调性的分析证明，培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
2.通过对函数单调性定义的探究，体会数学语言的严谨性、数学体系的完备性，培养科学的严谨性的态度，进一步促学生的逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养的形成。
三、教学重、难点
对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:
首先，用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.如何让学生理解这种符号化的、抽象的数学语言，参与函数单调性概念的形成过程是本节课的第一个难点.
其次，由于学生第一次接触到代数证明，如何运用函数单调性的定义严格证明函数的单调性并完成规范的书面表达则是本节课的另一难点.
根据以上的分析和课程标准对单调性的教学要求，本节课的教学重难点是：
教学重点：函数单调性概念的形成，用定义证明函数的单调性.
教学难点：①形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达；
②用定义证明函数的单调性.
四、教学方法
本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发讲解和学生探究发现的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力.同时使用多媒体辅助教学以及几何画板的使用，增强动感和直观性，充分发挥其快捷、生动、形象的特点，有助于学生对问题的理解和认识，提高教学效果和教学质量；
五、教学过程：
（一）问题情境：
介绍一天气温变化情况，从一日气温变化折线图中提取出一段进行研究。
问题：从左向右看，图象的变化趋势是什么？
函数图象的上升与下降的趋势就反映了函数的单调性.
设计意图：把一天气温变化情况作为情境引入，提高学生学习的兴趣，另外分析一日气温变化折线图，发展学生数据分析的素养，并从图中提取出一段引入函数的单调性这节课，让学生感受数学来自生活.
（二）建构定义:
概念探究阶段
第一次认识：（图形语言）观察函数的图象，
思考1:从左向右看函数在区间上的图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）
思考2:怎样描述图象的上升呢？
第二次认识：（文字语言）教师几何画板展示，点A在上向上运动时，A点坐标的变化.让学生观察到，函数在区间上，随着自变量的增大，函数值也增大.
这是我们从形的角度观察到的，那么怎样用符号和式子描述函数值随着自变量的增大而增大呢？
第三次认识：（符号语言）首先：将两个“增大”符号化，才能比较出大小，
进一步完善表达：
x1, x2∈,当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递增的.
设计意图：通过由图象直观感知 自然语言描述 数学符号语言描述，即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程，学生能够更好的感受数学知识的生成过程，一方面发展学生数学抽象，逻辑推理等素养，一方面让学生类比研究生成数学知识提供思考的方向。
2.对定义的理解：
（1）的任意性；教师课件展示，帮助学生从运动变化的观点理解的任意性.
（2）对的理解：此时与不等，说明变量不同，函数值不同，所以我们不在一点处讨论函数的单调性，在函数连续不断的情况下，当端点在定义域的范围内，区间可开可闭，当端点不在定义域的范围内，区间是开区间.
设计意图：定义是数学的核心，通过教师带领学生理解定义，可以提高学生的认识和理解.
3.本着从特殊到一般的原则，对于一般函数，我们来定义增函数：
设函数的定义域为I，, ，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数.
设计意图：从特殊到一般，培养学生归纳，类比的能力发展学生逻辑推理的素养．
4.对比增函数的定义，由学生归纳出减函数的定义.
设函数的定义域为I，, ，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.
即减函数图象在区间D内呈下降趋势，当x的值增大时，函数值y减小.
设计意图：得出减函数定义，发展学生逻辑推理的素养．
5.函数的单调性定义
如果函数在区间D上是增函数或者减函数，那么就说函数在区间D上具有单调性，函数的单调性也叫函数的增减性；增函数与减函数也分别叫做单调递增函数，单调递减函数；区间D叫做函数的单调区间.
所以，函数的单调性是定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.
探究一：函数在定义域上的单调性是怎样的？
设计意图：再次让学生体会和理解函数单调性的定义，多个单调增（减）区间用“，”“和”连接，不用“∪”.
探究二：根据函数的单调性定义证明函数的单调性．
例1: 用定义证明:函数f(x)=kx+b（k≠0）的单调性.
说明：这两道探究介绍了
（1）判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明;
（2）证明函数单调性的步骤：
设计意图：培养成绩较好的学生归纳总结，帮助成绩较弱的学生能动笔能根据步骤做题，先模仿再创造，发展学生数学运算的素养
练习1： P79 练习2
例2:物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
设计意图：体现数学学科的工具性，基础性。培养学生的逻辑推理能力。
练习2：画出下列函数图像，并写出单调区间
设计意图：体现数形结合思想。深刻体会“数无形时少直觉,形少数时难入微”。
根据定义证明函数 在定义域(1,+∞)上单调递增..
设计意图：再次让学生熟悉用定义函数单调性的步骤。
（五）、小结
1.判定函数单调性的方法：图象法，定义法；
2.定义法步骤：取值，作差，变形，判号，定论；
3.增（减）函数概念的形成，经历了哪些过程？
4.凭借直观的图象，我们能判断函数的单调性，为什么还要用数学符号语言定义增（减）函数呢？
在数学中，描述事物运动变化规律的数学模型是——函数，要把握相应事物的变化规律，就需要了解函数的变化规律，通过今天的学习，我们知道函数的变化规律可以用什么来描述呢？（函数的单调性以及函数的其它性质），所以，实际生活中，我们可以用它来分析事物的变化规律.（展示气温变化曲线图，股票走势图，GDP走势图）
设计意图：让学生体会数学在生活中有着广泛应用.
（六）、课后作业：
课本1、3、4；
（七）、板书设计
3.2.1函数的单调性
一，建构定义：二，定义证明函数的单调性 多媒体 例1例2例3