数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1倾斜角与斜率 课件（共25张ppt）

(共25张PPT)
第二章：直线和圆的方程
在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，这种方法通常称为综合法．本章我们采用坐标法研究几何图形的性质．坐标法是解析几何中最基本的研究方法．
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素—点和代数的基本对象—数(有序数对或数组)对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质．解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进人变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础．
本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等．类似地，通过确定圆的几何要素，建立圆的方程，再通过圆的方程研究与圆相关的问题；最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题．
2.1直线的倾斜角与斜率
我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来．
2.1.1倾斜角与斜率
思考：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？
我们知道：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
设A,B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量，所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线
A
B
那么什么是直线的方向呢？
在平面直角坐标系中，经过一点P可以作出无数条直线（如图），这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．因此，这些直线的区别是它们的方向不同．如何表示这些直线的方向？
我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，则他们与x轴所成的角不同．因此，我们可以利用这些角来表示这些直线的方向．
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
倾斜角α的范围为：0°≤α＜180°
这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
倾斜角
直线l由.因此，可以推断直线l的倾斜角一定与两点的坐标有内在联系.到底具有怎样的联系呢？
如图，向量=(，1)，且直线OP的倾斜角为α.由正切函数的定义，有
(2) 类似地，如果直线l经过P1(-1, 1), P2(, 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系
如图，=(，1 0)=(，1)．
平移向量到，则点P的坐标为(，1)，
且直线OP的倾斜角也是α,由正切函数的定义，
有tanα=
(3) 一般地，如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2,
那么α与P1, P2的坐标有怎样的关系
一般地，如图，当向量,的方向向上时，=()．平移向量到，则点P的坐标为()，且直线OP的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有
同样，当向量的方向向上时，如图
也有
（4）当直线P1P2与x轴垂直或平行时，上式还成立吗？
当直线P1P2与x轴垂直时，
x1=x2，α=90°，没有正切值.
斜率
直线的倾斜角α与直线上的两点P1()，的坐标有如下关系:
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率常用小写字母表示，即.
思考：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化 为什么
当倾斜角α满足0o≤α<90o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大且k＞0;
当倾斜角α=90o，斜率不存在;
当倾斜角α满足90o<α<180o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大，且k＜0.
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同．
因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90o的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．
直线的方向向量与斜率之间有什么关系？
=（1, k）
结论2 若直线l的斜率为k，则它的一个方向向量的坐标为(1,k).
直线的斜率与方向向量
直线的倾斜角、斜率、方向向量及任意两点坐标之间有什么关系？
课本例题
例1 如图，已知A(3，2)，B(,1)，C(0，1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
1.已知下列直线的倾斜角,求直线的斜
(1)；(2)；(3)；(4)
解析：(1)因为α = 30°,所以直线的斜率.
(2)因为,所以直线的斜率=tan =1.
(3)因为，所以直线的斜率.
(4)因为，所以直线的斜率.
练习
2.已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角：
(1)；(2)；(3)；(4)
解析：(1)因为=0,所以直线的倾斜角为0.
(2)因为，所以直线的倾斜角为.
( 3)因为,所以直线的倾斜角为.
(4)因为，所以直线的倾斜角为.
练习
3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角:
（1） C(18，8)， D(4，4)；（2）P(0，0)，Q(1,3).
解析：(1)因为C(18，8)，D ( 4，4)，所以直线CD的斜率，由 >0,可知其倾斜角为锐角.
(2)因为P(0，0)，Q (1，3)，所以直线PQ的斜率，由,可知其倾斜角为钝角.
练习
4.已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角:
(1) A(a,c)，B(b,c); (2) C(a,b)，D(a,c); (3) P(b,b+c)，Q(a,c+a).
解析：(1)由已知得，因为，所以经过点A、B的直线的倾斜角为0°.
(2)因为点C、D的横坐标相同，纵坐标不同，所以经过点CD的直线的倾斜角为90°.
(3)由已知得，因为tan 45°=1，所以经过点P、Q的直线的倾斜角为45°.
练习
5.经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)，求k的值.
解析：由题意得，所以.
练习
课堂小结
直线
倾斜角
确定直线的
几何要素
斜率
点坐标
方向向量
形
数
数
数、形
几何问题
代数问题
数形结合
化归转化
感谢聆听