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3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 双曲线的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
注意点：
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
(2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)焦点到渐近线的距离为b.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.
2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案：D
解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
3.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：C
解析：由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2.
4.若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
答案：B
解析：∵e＝，∴＝，即＝3，∴b2＝2a2，∴双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为y＝±x.
4.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：C
解析：由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2.
5.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 ( )
A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2
答案：AD
解析：双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．
6.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.5
答案：B
解析：e＝＝＝.
7.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：由题意，点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝，即a＝2b.又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故所求双曲线方程为－＝1.
8.设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，为30°，∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos 30°，∴(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×，化为e2－2e＋3＝0，解得e＝，故选C．
9.若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160 C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24
答案：D
解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
10.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.2
答案：B
解析：由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，
则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60° |PF1|＝2c，则由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝2c－2a，所以2c＝2c－2a，解得e＝＝.
二、填空题
11.双曲线x2－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________．
答案：
解析：双曲线x2－＝1的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为y＝x，因此焦点到渐近线的距离d＝＝.
12.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________．
答案：y＝±x
解析：∵＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝.又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
13.设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于________．
答案：
解析：设F(c,0)，则过双曲线：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，而渐近线方程是y＝±x，由得B，由得A，＝，＝，由＝－3，得＝－3，则＝－3·，即b＝a，则c＝＝a，则e＝＝．
14.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
答案：－＝1
解析：椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，a2＝64，c2＝64－16＝48，∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝，则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝，从而a′＝6，b′2＝12，故所求双曲线的方程为－＝1.
15.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______.
答案：32
解析：根据题意，双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)，
所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点．虚轴长为6，所以|PQ|＝12.双曲线图象如图．|PF|－|AP|＝2a＝4①，|QF|－|QA|＝2a＝4②，①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，∴周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.
三、解答题
16.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：MF1⊥MF2.
解：(1)∵离心率e＝＝，∴a＝b.
设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，
∵(4，－)在双曲线上，∴n＝42－(－)2＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6，即－＝1.
(2)证明：∵M(3，m)在双曲线上，则m2＝3.
又F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1·kMF2＝·＝－＝－1.
∴MF1⊥MF2.
17.已知双曲线C：－y2＝1(a＞0)，直线l：x＋y＝1，双曲线C与直线l有两个不同交点A，B，直线l与y轴交点为P.
(1)求离心率e的取值范围；
(2)若＝，求a的值．
解：(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，
得方程组有两个不同的解，
消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴解得－＜a＜且a≠±1.
又∵a＞0，∴0＜a＜且a≠1.
∵双曲线的离心率e＝＝，
0＜a＜且a≠1，∴e＞且e≠，
∴双曲线C的离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知P(0,1)，
∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，∴x1＝x2.
∵x1，x2为方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的根，
∴x1＋x2＝x2＝，x1x2＝x＝，
又x1≠0，x2≠0，∴x2＝，＝，解得a＝.
18.已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
解：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|，
即|PF2|＝2a时取等号，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a≥2c e＝≤3，所以e∈(1,3]．
19.已知点A(0,1)，点P在双曲线C：－y2＝1上．
(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；
(2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2，求直线l的方程．
解：(1)设P(x，y)，则|PA|＝＝＝，
当y＝时，|PA|最小，故所求点P的坐标为.
(2)由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y＝kx＋1，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，与双曲线方程联立得(1－2k2)x2－4kx－4＝0，
则Δ＝16(1－k2)＞0且＜0，即k2＜.
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝＝，
S△OMN＝×1×|x1－x2|＝·＝2，
解得k2＝或k2＝(舍去)，即k＝±，
∴l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
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3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 双曲线的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
注意点：
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
(2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)焦点到渐近线的距离为b.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
3.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
4.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 ( )
A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2
6.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.5
7.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
8.设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
9.若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160 C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24
10.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.2
二、填空题
11.双曲线x2－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________．
12.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________．
13.设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于________．
14.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
15.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______.
三、解答题
16.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：MF1⊥MF2.
17.已知双曲线C：－y2＝1(a＞0)，直线l：x＋y＝1，双曲线C与直线l有两个不同交点A，B，直线l与y轴交点为P.
(1)求离心率e的取值范围；
(2)若＝，求a的值．
18.已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
19.已知点A(0,1)，点P在双曲线C：－y2＝1上．
(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；
(2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2，求直线l的方程．
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