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第二十一章 一元二次方程
考查题型一 利用一元二次方程的根求未知数的值
典例1．（2022·陕西安康·九年级期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】
把x＝2代入x2﹣mx+2＝0，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
【详解】
解：根据题意，得，即，
解得，．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了解一元一次方程．
变式1-1．（2022·四川宜宾·九年级期末）已知x＝2是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．6 B．－6 C．0 D．0或－6
【答案】B
【分析】
由2是一元二次方程x2 +x+ m = 0的一个解，将x= 2代入方程得到关于m的方程，求出方程的解，即可得到m的值．
【详解】
解：∵2是一元二次方程x2+x+m=0的一个解，
∴将x = 2代入方程得： 4+ 2+m= 0，
解得： m= -6．
故选：B．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解，即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
变式1-2．（2022·河南周口·九年级期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】
把一元二次方程的根代入一元二次方程中，即可求得k的值．
【详解】
∵关于x的一元二次方程有一个根是，
∴，
解得：k= 2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的概念，理解一元二次方程解的含义是本题的关键．
变式1-3．（2022·浙江温州·八年级期中）若关于x的方程有一个根为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把代入方程得，然后解关于的一次方程即可；
【详解】
解：把代入方程得，
解得，
故选： B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值．
考查题型二 运用整体代入思想求代数式的值
典例2．（2022·四川乐山·九年级期末）已知m是方程的一个根，则代数式的值是______．
【答案】2026
【分析】
先根据一元二次方程根的定义得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2026．
【点睛】
本题考查了代数式求值，一元二次方程的解，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
变式2-1．若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m＋n的值是___．
【答案】7
【分析】
根据题意得到﹣3m+n＝﹣3，然后代入代数式10﹣3m＋n求解即可．
【详解】
解：由题意得：3m﹣n＝3，
∴﹣3m+n＝﹣3，
∴原式＝10﹣3＝7．
故答案为：7．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．
变式2-2．若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】1
【分析】
将利用多项式的乘法计算得含有m+n和mn的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求得m+n及mn的值，将其代入化简后的式子即可求解．
【详解】
解：∵，为一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=2，mn=-2，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解本题的关键．
变式2-3．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是______．
【答案】2020
【分析】
根据一元二次方程根的定义，将代入可得，然后代入代数式求值即可求解．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程的一个解是，
∴
故答案为：2020
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
考查题型三 用适当的方法解一元二次方程
典例3．（2022·陕西安康·九年级期末）解方程：．
【答案】，
【分析】
由，得出，开方得，即可解出
【详解】
∵，
∴，
∴或，
则，．
【点睛】
本题考查直接开方法求解一元二次方程，将题给式子移项，化为的形式，再利用数的开放直接求解．
变式3-1．（2022·广东·可园中学七年级期中）解方程：．
【答案】，
【分析】
利用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：，
，
，
，
，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
变式3-2．（2021·湖南永州·九年级期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)x＝2或x＝－1
(2)x＝－4或x＝1
【分析】
（1）根据直接开方法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
（1）解：，，∴或，∴x＝2或x＝－1，
（2）解：，，∴或，∴x＝－4或x＝1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元一次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
变式3-3．（2022·河北沧州·九年级期末）用适当的方法解下列方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)x1=+1，x2=-+1
(2)x1=-3，x2=6
【分析】
（1）运用配方法解一元二次方程；
（2）先将方程整理，再利用因式分解法解一元二次方程．
（1）解： ， ，x1=+1，x2=+1；
（2）解：，，，或，x1=-3，x2=6．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解题的关键．
考查题型四 一元二次方程根的判别式的运用
典例4．（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣2k）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|+1＝x1x2，求k的值．
【答案】(1)k≤
(2)k＝﹣3
【分析】
（1）根根的判别式即可求出答案；
（2）根据根与系数的关系，可得|2（k﹣1）|+1＝k2，再由k≤，可得﹣2（k﹣1）+1＝k2，即可求出答案．
（1）解：方程整理为x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0，根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤；
（2）解：根据题意得x1+x2＝2（k﹣1），x1 x2＝k2，∵|x1+x2|+1＝x1x2，∴|2（k﹣1）|+1＝k2，∵k≤，∴2（k﹣1）＜0，∴﹣2（k﹣1）+1＝k2，整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝﹣3，k2＝1（舍去），∴k＝﹣3．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
变式4-1．（2022·陕西安康·九年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
【答案】(1)m的取值范围为
(2)，
【分析】
（1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解；
（2）利用（1）中的答案代入求解即可．
（1）根据题意得，解得，即m的取值范围为；
（2）符合的m的最大整数为1，则方程为：，∴，∴，．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程的能力，属于基础题．
变式4-2．（2022·河北沧州·九年级期末）关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2－1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)求当m=5时此方程的根．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，据此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）将m=5代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
（1）由题意得：，解得：；
（2）当m=5时，，解得：.
【点睛】
本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：根据根的个数结合根的判别式得出关于m的一元一次不等式．
变式4-3．（2022·江苏无锡·八年级期末）关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为1，求m的值和另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)，另一根为2
【分析】
（1）根据根的判别式进行判断即可求解．
（2）根据一元二次方程根的定义求得的值，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得另一个解．
(1)
证明：
∵
∴方程总有两个实数根
(2)
令x=1，则1-m+2m-4=0，所以m=3
把m=3代入，则
设另一根为，则
=2
【点睛】
本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式取值对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．若是一元二次方程的两根，，．
考查题型五 一元二次方程根与系数的关系的运用
典例5．（2022·浙江绍兴·八年级期末）设，是一元二次方程的两根，求的值．
【答案】
【分析】
利用韦达定理得到，，，然后代入计算即可．
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
，，
∴．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，即如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商，解题的关键是掌握配方法和根与系数的关系进行解题．
变式5-1．（2021·四川·广安实验学校九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0有实数根．
(1)求 m的取值范围；
(2)设此方程的两个根分别为x1 ，x2，若x1＋x2＝2－x1x2，求 m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意得到，解出即可；
（2）根据根与系数关系解出与，代入即可求的值．
（1）解：关于的一元二次方程有实数根，，解得；
（2）解：由题意，得，，，，整理，得，解得，（舍去），．
【点睛】
本题主要考查利用判别式判断一元二次方程根的个数、根与系数关系，掌握利用判别式判断一元二次方程根的个数以及根与系数关系是解题的关键．
变式5-2．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．
【答案】(1)m≤
(2)1
【分析】
（1）根据△≥0，解不等式即可；
（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．
（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．
（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（x2+1）＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1＝﹣x2﹣x1﹣2＝3﹣2＝1
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”，是解题的关键．
变式5-3．（2022·湖北黄石·模拟预测）已知一元二次方程的两个根是，，则______，
______．
（1）若实数m、n满足，，则的值是______．
（2）若实数s、t分别满足，，且．求的值．
【答案】；
（1）或
（2）
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系代入计算即可求解．
【详解】
解：一元二次方程的两个根是，，
，，
故答案为：；，
（1）实数m、n满足，，
①当时，，
②当时，
、是的两个根，
，
，
，
综上所述，的值为或
故答案为：或，
（2）实数s、t分别满足，，且，
实数，是方程的两个不相等的实数根，
，，
，
的值为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查学生的计算能力，正确运用根与系数的关系是解题的关键．
考查题型六 实际问题与一元二次方程—面积问题
典例6．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个米宽的门，
(1)若，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为平方米
(2)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到平方米？
【答案】(1)长为米，宽为米
(2)不能
【分析】
（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为米，则矩形鸡舍的另一边长为米，根据鸡舍面积为平方米，列出方程并解答；
（2）利用鸡舍面积等于平方米得出一元二次方程，根据判别式可得出答案．
（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为米，则矩形鸡舍的另一边长为米，依题意，得：，解得：，，当时，（舍去），当时，．答：矩形鸡舍的长为米，宽为米．
（2）当鸡舍面积等于平方米时，依题意，得：，整理得：，∴，∴所围成鸡舍面积不能为90平方米．答：所围成鸡舍面积不能为90平方米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式6-1．（2022·浙江湖州·八年级阶段练习）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为．
(1)求小路的宽度；
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】(1)2m
(2)10%
【分析】
（1）设小路的宽度为xm，则长方形的长等于活动区的长加上两侧小路的宽度即为（21+2x）m，长方形的宽等于活动区的宽加上两侧小路的宽度即为（12+2x）m，再根据总面积为的等量关系即可列出方程求解．
（2）设每次降价的百分率为y，先用含y的代数式将降价一次后的承包价格表示出来，然后再利用降价一次的承包价格将降价两次承包价格表示出来，根据两次降价后的承包价格为40.5万元即可列出方程求解．
（1）设小路的宽度是xm，根据题意得：，整理得：，解得：，（舍去）．答：小路的宽度是2m；
（2）设每次降价的百分率为y，依题意得：，解得：，（舍去），答：每次降价的百分率为10%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键．
变式6-2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长．
(1)若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？．
(2)养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)养鸡场的长为米，宽为米
(2)不能，理由见解析
【分析】
（1）设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意；
（2）设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，再利用根据的判别式，即可得出答案．
（1）解：设养鸡场的宽为，则长方形的长为，根据题意，得：，解得：，，当时，，当时，，（不合题意，舍去），答：养鸡场的长为米，宽为米．
（2）不能，理由如下：设养鸡场的宽为，则长方形的长为，根据题意，得：，整理得：，∵，∴方程没有实数根，∴围成养鸡场的面积不能达到．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式．解题的关键：①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②当时，方程无实数根．
变式6-3．（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？
【答案】道路的宽应为2米
【分析】
设道路的宽为米，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长为米，宽为米的矩形，根据矩形的面积公式列方程并求解即可．
【详解】
解：设道路的宽应为米，由题意得：
，
整理得：，
∴，
解得：，，
∵，
解得：，
∴不合题意，舍去，
∴．
答∶道路的宽应为米．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的解法，一元一次不等式组．把修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边，然后利用矩形的面积公式列方程是解答本题的关键．
考查题型七 实际问题与一元二次方程—销售利润问题
典例7．2022年冬奥会吉祥物冰墩墩深受人们喜爱，冬奥会特许商店将进货价为每个30元的冰墩墩饰品以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种冰墩墩饰品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，同时规定售价在40-60元范围内．
(1)当售价上涨元时，销售量为______个；
(2)为了实现销售这种饰品平均每月10000元的销售利润，每个饰品应定为多少元？这时售出冰墩墩饰品多少个？
【答案】(1)
(2)每个饰品应定为50元，这时售出冰墩墩饰品500个
【分析】
（1）根据冰墩墩饰品以40元的价格售出，平均每月能售出600个，墩墩饰品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个列出代数式即可；
（2）根据每个饰品的利润×销售量＝10000列出方程，解方程即可．
（1）解：当售价上涨x元时，销售量为（600 10x）个，故答案为：（600 10x）；
（2）解：设每个饰品上涨元，售价为元，得，解得，，∵售价在40-60元范围内，∴，∴，即，元，个，答：每个饰品应定为50元，这时售出冰墩墩饰品500个．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
变式7-1．（2022·河南安阳·九年级期末）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．
(1)每件商品降价x元时，日销售量为______件；
(2)求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；
(3)丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】(1)
(2)x为20
(3)8折
【分析】
（1）按照“如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件”直接列式即可；
（2）根据（1）设的未知数，根据题意列一元二次方程求解即可；
（3）设该商品需要打a折销售，根据（2）可得售价不得超过（100-20）元，据此不等式求解即可．
（1）解：∵如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件每件商品降价x元时，日销售量为，即件．故答案为．
（2）解：由题意得：即解得，因为尽快销售完该商品，所以答：当x为20时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品．
（3）解：设该商品需要打a折销售由题意得：，解得答：该商品至少需打8折销售．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程和不等式是解答本题的关键．
变式7-2．（2022·内蒙古巴彦淖尔·九年级期末）某超市经销一种商品，每千克成本为40元，每周可卖出300千克，经试销发现，该种商品每千克涨价1元，每周就少卖10千克，该商品的现销售单价60（元/千克），若该种商品每千克涨价x元（0(1)根据题意填写下表：
销售单价x（元/千克） 每千克利润（元） 每周销售量（千克） 每周利润（元）
现在 60 300
涨价后 20+x
(2)为保证每周获得6090元的销售利润，则商品每千克应涨价多少元？
【答案】(1)60+x；20；300-10x；6000；（20+x）(300-10x)
(2)商品每千克应涨价1元或9元
【分析】
（1）根据利润=售价-成本价，销售量=300-10×每千克涨价钱数，周利润=每千克利润×周销售量计算即可．
（2）（20+x）(300-10x)=6090，解方程即可．
（1）根据题意，填表如下：故答案为：60+x；20；300-10x；6000；（20+x）(300-10x)．
销售单价x（元/千克） 每千克利润（元） 每周销售量（千克） 每周利润（元）
现在 60 20 300 6000
涨价后 60+x 20+x 300-10x （20+x）(300-10x)
（2）根据题意，得（20+x）(300-10x)=6090，解得x=1或x=9，都满足0【点睛】
本题考查了利润问题，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
变式7-3．（2022·陕西西安·九年级期末）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少5个．
(1)设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是_____元；这种排球这个月的销售量是_____个；
(2)若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
【答案】(1)（20+x），（400-5x）
(2)售价应定为70元
【分析】
（1）利用每个排球获得的利润=售价-进价，即可用含x的代数式表示出每个排球获得的利润；利用月销售量=400-5×销售单价提高的价格，即可用含x的代数式表示出月销售量；
（2）利用月销售总利润=每个排球的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合要使顾客得到实惠，即可确定x的值，再将其代入（60+x）中即可求出售价．
（1）解：依题意得：当销售单价提高x元时，每个排球获得的利润是60+x-40=（20+x）元，这种排球这个月的销售量是（400-5x）个．故答案为：（20+x）；（400-5x）．
（2）依题意得：（20+x）（400-5x）=10500，整理得：x2-60x+500=0，解得：x1=10，x2=50．又∵要使顾客得到实惠，∴x=10，∴60+x=60+10=70．答：售价应定为70元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每个排球的销售利润及月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
考查题型八 实际问题与一元二次方程—增长率问题
典例8．（2022·湖南湘西·九年级期末）2020年我国国家财政性教育经费占GDP的比例达到4.22%．习近平总书记提出“坚持立德树人，建设教育强国”号召．某县为建设教育强县，加大了教育经费的投入，2019年该县投入教育经费6000万元，2021年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该县将投入教育经费多少万元？
【答案】(1)该县投入教育经费的年平均增长率为20%
(2)预算2022年该县将投入教育经费10368万元
【分析】
（1）设年平均增长率为，由平均增长率中的数量关系（2019年为6000万元（基数），2020年为万元，2021年为万元）建立一元二次方程求解即可得出．
（2）由（1）可知年平均增长率为20%，2022年经费为以经费8640万元为基数第一次增长后的数量，即，计算即可得出结果．
（1）解：设该县投入教育经费的年平均增长率为，根据题意得，，解得：，（舍）．答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%．
（2）解：因为2021年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，所以预算2022年该县将投入教育经费为：（万元）．答：预算2022年该县将投入教育经费10368万元．
【点睛】
本题考查一元二次方程解应用题的理解与实际运用能力．平均增长率中的数量关系：若增长的基数为，平均增长率为，则第一次增长后的数量为，第二次增长后的数量为．列方程解应用题的一般步骤：审清题意、设未知数、列方程、解方程、检验写答．明确平均增长率中的数量关系，是解本题的关键．
变式8-1．（2022·河南平顶山·九年级期末）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和6.05万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率：
(2)如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年8月份的投递任务？
【答案】(1)该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10％
(2)不能完成今年8月份的投递任务，理由见解析
【分析】
（1）设月平均增长率为x，根据5月份与7月份的件数列方程．
（2）先求出8月份能投递的快递件数，与实际作比较即可．
（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，根据题意，得：解得：，(舍)，答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10％．
（2）8月份的快递件数为(万件)，而，所以按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年8月份的投递任务．
【点睛】
本题考查一元二次方程增长率问题，解决本题的关键是明晰增长率的意义．
变式8-2．（2022·河南郑州·九年级期末）年某市商品房的销售均价为元，根据国家房地产市场宏观调控政策，经过两年下调后，到年商品房的销售均价为元．求该地市从年到年平均每年商品房下调的百分率．
【答案】
【分析】
利用平均增长率问题求解即可．
【详解】
解：设这两年平均每年商品房下调的百分率为，
根据题意，得
解这个方程，得，．
（不符合题意，舍去）
所以，平均每年商品房下调的百分率为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，平均增长率问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．
变式8-3．（2022·河南商丘·九年级期末）某口置生产厂生产的口置一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口置需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个
(1)求口罩日产量的月平均增长率：
(2)按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
【答案】(1)口罩日产量的月平均增长率为10%．
(2)预计四月份平均日产量为53240个．
【分析】
（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1＋x）个，三月份平均日产量为40000（1＋x）2个，根据三月份平均日产量达到48400个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率；
（2）利用四月份平均日产量＝三月份平均日产量×（1＋增长率），即可预计出四月份平均日产量．
（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1＋x）个，三月份平均日产量为40000（1＋x）2个，依题意得：40000（1＋x）2＝48400，解得：x1＝ 2.1（不合题意，舍去），x2＝0.1＝10%．答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）48400×（1＋10%）＝53240（个）．答：预计四月份平均日产量为53240个．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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第二十一章 一元二次方程
考查题型一 利用一元二次方程的根求未知数的值
典例1．（2022·陕西安康·九年级期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
变式1-1．（2022·四川宜宾·九年级期末）已知x＝2是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．6 B．－6 C．0 D．0或－6
变式1-2．（2022·河南周口·九年级期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
变式1-3．（2022·浙江温州·八年级期中）若关于x的方程有一个根为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
考查题型二 运用整体代入思想求代数式的值
典例2．（2022·四川乐山·九年级期末）已知m是方程的一个根，则代数式的值是______．
变式2-1．若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m＋n的值是___．
变式2-2．若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
变式2-3．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是______．
考查题型三 用适当的方法解一元二次方程
典例3．（2022·陕西安康·九年级期末）解方程：．
变式3-1．（2022·广东·可园中学七年级期中）解方程：．
变式3-2．（2021·湖南永州·九年级期中）解方程：
(1)
(2)
变式3-3．（2022·河北沧州·九年级期末）用适当的方法解下列方程．
(1)；
(2)．
考查题型四 一元二次方程根的判别式的运用
典例4．（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣2k）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|+1＝x1x2，求k的值．
变式4-1．（2022·陕西安康·九年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
变式4-2．（2022·河北沧州·九年级期末）关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2－1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)求当m=5时此方程的根．
变式4-3．（2022·江苏无锡·八年级期末）关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为1，求m的值和另一个根．
考查题型五 一元二次方程根与系数的关系的运用
典例5．（2022·浙江绍兴·八年级期末）设，是一元二次方程的两根，求的值．
变式5-1．（2021·四川·广安实验学校九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0有实数根．
(1)求 m的取值范围；
(2)设此方程的两个根分别为x1 ，x2，若x1＋x2＝2－x1x2，求 m的值．
变式5-2．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．
变式5-3．（2022·湖北黄石·模拟预测）已知一元二次方程的两个根是，，则______，
______．
（1）若实数m、n满足，，则的值是______．
（2）若实数s、t分别满足，，且．求的值．
考查题型六 实际问题与一元二次方程—面积问题
典例6．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个米宽的门，
(1)若，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为平方米
(2)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到平方米？
变式6-1．（2022·浙江湖州·八年级阶段练习）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为．
(1)求小路的宽度；
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
变式6-2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长．
(1)若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？．
(2)养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
变式6-3．（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？
考查题型七 实际问题与一元二次方程—销售利润问题
典例7．2022年冬奥会吉祥物冰墩墩深受人们喜爱，冬奥会特许商店将进货价为每个30元的冰墩墩饰品以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种冰墩墩饰品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，同时规定售价在40-60元范围内．
(1)当售价上涨元时，销售量为______个；
(2)为了实现销售这种饰品平均每月10000元的销售利润，每个饰品应定为多少元？这时售出冰墩墩饰品多少个？
变式7-1．（2022·河南安阳·九年级期末）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．
(1)每件商品降价x元时，日销售量为______件；
(2)求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；
(3)丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
变式7-2．（2022·内蒙古巴彦淖尔·九年级期末）某超市经销一种商品，每千克成本为40元，每周可卖出300千克，经试销发现，该种商品每千克涨价1元，每周就少卖10千克，该商品的现销售单价60（元/千克），若该种商品每千克涨价x元（0(1)根据题意填写下表：
销售单价x（元/千克） 每千克利润（元） 每周销售量（千克） 每周利润（元）
现在 60 300
涨价后 20+x
(2)为保证每周获得6090元的销售利润，则商品每千克应涨价多少元？
变式7-3．（2022·陕西西安·九年级期末）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少5个．
(1)设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是_____元；这种排球这个月的销售量是_____个；
(2)若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
考查题型八 实际问题与一元二次方程—增长率问题
典例8．（2022·湖南湘西·九年级期末）2020年我国国家财政性教育经费占GDP的比例达到4.22%．习近平总书记提出“坚持立德树人，建设教育强国”号召．某县为建设教育强县，加大了教育经费的投入，2019年该县投入教育经费6000万元，2021年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该县将投入教育经费多少万元？
变式8-1．（2022·河南平顶山·九年级期末）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和6.05万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率：
(2)如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年8月份的投递任务？
变式8-2．（2022·河南郑州·九年级期末）年某市商品房的销售均价为元，根据国家房地产市场宏观调控政策，经过两年下调后，到年商品房的销售均价为元．求该地市从年到年平均每年商品房下调的百分率．
变式8-3．（2022·河南商丘·九年级期末）某口置生产厂生产的口置一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口置需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个
(1)求口罩日产量的月平均增长率：
(2)按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
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