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第二十三章 旋转
考查题型一 利用旋转的性质求解
典例1．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，点D，E分别为点A，C的对应顶点，连接AD，若ADBC，则∠DBE为（ ）
A．80° B．50° C．55° D．100°
变式1-1．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED．若线段AB＝3，则BE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1-2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△A′B′C′．使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．23cm
变式1-3．（2021·浙江·宁海县跃龙中学三模）如图．在△ABC中、∠BAC＝32°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到，则的度数为（ ）
A．28° B．30° C．32° D．38°
考查题型二 利用旋转的性质求解
典例2．（浙江省温州市岩头片区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）下列银行图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．（2022·广东·深圳市龙华区万安学校九年级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-2．（2022·贵州遵义·模拟预测）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
变式2-3．（2021·湖北襄阳·模拟预测）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考查题型三 求关于原点对称的点的坐标
典例3．（2021·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）点关于原点的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式3-1．（2022·天津市静海区第二中学九年级阶段练面直角坐标系内，与点P(﹣3，2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，-2) B．(2，-3) C．(2，3) D．(﹣3，2)
变式3-2．（2022·黑龙江黑河·九年级期末）点M(4，-3)关于原点对称的点N的坐标是（ ）
A．(-4，-3) B．(-4，3) C．(4，3) D．(-3，4)
变式3-3．（2021·海南省直辖县级单位·九年级期中）已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．5 C．3 D．
考查题型四 画中心对称图形
典例4．如图，下列网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在每图的空白小正方形中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，要求完成3种不同的涂法．
变式4-1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在6×6的正方格中，中心点为点O，图中有4个小正方格被涂黑成“L形”．
(1)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”关于点O成中心对称，
(2)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形、又是中心对称图形（要求画出三种）．
变式4-2．（2022·吉林四平·一模）图①、图②均为的正方形网格，点A、B、C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）
(2)在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）
变式4-3．（2022·四川广安·九年级专题练习）图1、图2、图3都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件．
(1)图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形；
(3)图3中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
考查题型五 利用关于原点对称求参数
典例5．（2022·江西赣州·九年级期末）已知点与点关于原点对称，求点P、Q两点的坐标，并直接写出PQ的长．
变式5-1．（2020·江西·南昌市第十九中学九年级阶段练习）（1）解方程：
（2）已知点P（a+b，-1）与点Q（-5，a-b）关于原点对称，求a，b的值．
变式5-2．在平面直角坐标系中，已知点P（3，－1）关于原点对称的点Q的坐标是，求的值．
变式5-3．在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
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第二十三章 旋转
考查题型一 利用旋转的性质求解
典例1．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，点D，E分别为点A，C的对应顶点，连接AD，若ADBC，则∠DBE为（ ）
A．80° B．50° C．55° D．100°
【答案】B
【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可得∠BAD＝50°，由平行线的性质可求∠DAB＝∠ABC＝50°＝∠DBE．
【详解】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，
∴AB＝BD，∠ABD＝80°，∠DBE＝∠ABC，
∴∠BAD＝50°，
∵ADBC，
∴∠ABC＝∠BAD＝50°，
∴∠DBE＝∠ABC＝50°，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
变式1-1．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED．若线段AB＝3，则BE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由旋转可证△ABE为等边三角形，从而可得BE=AB=3．
【详解】解：由旋转可知AE=AB=3，∠BAE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE=AB=3．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质及等边三角形的判定与性质．
变式1-2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△A′B′C′．使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．23cm
【答案】B
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AB＝2cm，∠BAC＝60°，根据旋转可证△ABB'是等边三角形，从而BB'＝AB＝2cm．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AB＝2AC＝2cm，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，
∴∠BAB'＝∠CA C′＝60°，AB＝AB'，
∴△ABB'是等边三角形，
∴BB'＝AB＝2cm．
故选B
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
变式1-3．（2021·浙江·宁海县跃龙中学三模）如图．在△ABC中、∠BAC＝32°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到，则的度数为（ ）
A．28° B．30° C．32° D．38°
【答案】A
【分析】根据旋转的性质得到，再根∠BAC=32°，即可得到答案．
【详解】解：由旋转的性质可知，
∵∠BAC=32°，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，几何中角度的计算，熟知旋转的性质是解题的关键．
考查题型二 利用旋转的性质求解
典例2．（浙江省温州市岩头片区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）下列银行图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：由中心对称图形的定义：一个平面图形绕一点旋转180°，与原图形完全重合可知，A、B、C、D四个选项中，只有A符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查中心对称图形：一个平面图形绕一点旋转180°，与原图形完全重合，这样的图形才是中心对称图形．
变式2-1．（2022·广东·深圳市龙华区万安学校九年级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据中心对称图形的概念作出判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的判断，熟记中心对称图形的概念是解答本题的关键．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
变式2-2．（2022·贵州遵义·模拟预测）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了数学常识，轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.
变式2-3．（2021·湖北襄阳·模拟预测）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
考查题型三 求关于原点对称的点的坐标
典例3．（2021·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）点关于原点的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点坐标，进而得出答案．
【详解】解：点P（﹣2021，2022）关于原点的对称点坐标为（2021，﹣2022）在第四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，点所在的象限，正确记忆关于原点对称的点横纵坐标互为相反数是解题关键．
变式3-1．（2022·天津市静海区第二中学九年级阶段练面直角坐标系内，与点P(﹣3，2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，-2) B．(2，-3) C．(2，3) D．(﹣3，2)
【答案】A
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：与点P(-3，2)关于原点对称的点的坐标是(3，-2)，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
变式3-2．（2022·黑龙江黑河·九年级期末）点M(4，-3)关于原点对称的点N的坐标是（ ）
A．(-4，-3) B．(-4，3) C．(4，3) D．(-3，4)
【答案】B
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：由M（4，-3）关于原点对称的点N的坐标是（-4，3），
故选：B．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
变式3-3．（2021·海南省直辖县级单位·九年级期中）已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】C
【分析】根据关于原点对称的两点横纵坐标都互为相反数，可得出a、b的值，即可计算的值．
【详解】∵与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查中心对称，理解关于原点对称的两点的关系是解题的关键．
考查题型四 画中心对称图形
典例4．如图，下列网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在每图的空白小正方形中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，要求完成3种不同的涂法．
【答案】见解析
【分析】根据中心对称图形，画出所有可能的图形即可．
【详解】解：在图中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，
答案如图所示；
【点睛】本题考查中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
变式4-1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在6×6的正方格中，中心点为点O，图中有4个小正方格被涂黑成“L形”．
(1)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”关于点O成中心对称，
(2)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形、又是中心对称图形（要求画出三种）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形；
（2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可．
（1）
解：图形如图所示：
（2）
图形如图所示：
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，利用轴对称，中心对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义．
变式4-2．（2022·吉林四平·一模）图①、图②均为的正方形网格，点A、B、C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）
(2)在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形；
（2）直接利用平行四边形的性质得出一个符合题意的图形．
(1)
解：如图①所示：画梯形，
(2)
解：如图②所示：画平行四边形，
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握轴对称图形以及平行四边形的性质是解题关键．
变式4-3．（2022·四川广安·九年级专题练习）图1、图2、图3都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件．
(1)图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形；
(3)图3中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义作图即可；
（2）根据轴对称图形和中心对称图形的定义作图即可；
（3）根据轴对称图形和中心对称图形的定义作图即可；
（1）
解：如图，涂色部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
（2）
解：如图，涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形，
（3）
解：如图，涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，
【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
考查题型五 利用关于原点对称求参数
典例5．（2022·江西赣州·九年级期末）已知点与点关于原点对称，求点P、Q两点的坐标，并直接写出PQ的长．
【答案】点P（－12，－6），点Q（12，6），PQ的长为
【分析】根据两点关于原点对称,横坐标，纵坐标分别互为序号数，建立方程组，确定a，b的值，从而确定点的坐标，利用两点间的距离公式计算PQ的长度
【详解】∵点与点关于原点对称，
∴，
解得，
∴点P（－12，－6），点Q（12，6）．
∴PQ．
【点睛】本题考查了点的对称，二元一次方程组，两点间的距离公式，熟练掌握对称的意义和距离公式是解题的关键．
变式5-1．（2020·江西·南昌市第十九中学九年级阶段练习）（1）解方程：
（2）已知点P（a+b，-1）与点Q（-5，a-b）关于原点对称，求a，b的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）先根据关于原点对称的点坐标变换规律可得一个关于a、b二元一次方程组，再利用加减消元法解方程组即可得．
【详解】（1），
，
或，
或，
即；
（2）关于原点对称的点坐标变换规律：横、纵坐标均互为相反数，
则，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、关于原点对称的点坐标变换规律、解二元一次方程组，熟练掌握方程（组）的解法和关于原点对称的点坐标变换规律是解题关键．
变式5-2．在平面直角坐标系中，已知点P（3，－1）关于原点对称的点Q的坐标是，求的值．
【答案】25
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
解得：，
．
变式5-3．在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
【答案】（1）是，见解析；（2）．
【分析】（1）当时，求得点，再解得点M关于原点对称的点，判断点是否在抛物线上，即可解题；
（2）利用配方法解得点C的坐标，继而解得点C关于原点对称的点，再根据题意代入抛物线中，得到关于的一元一次方程，解方程即可
【详解】解：（1）当时，
点M关于原点对称的点，
当时，
在抛物线上，
抛物线是回归抛物线；
（2）
由题意得，点C关于原点对称的点也在抛物线上，
．
【点睛】本题考查抛物线的性质、抛物线的顶点、中心对称、判断点是否在抛物线上、求二次函数解析式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
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