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第二十三章 旋转
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2020·福建泉州·一模）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．正五边形 D．矩形
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断可得．
【详解】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．直角三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，解题的关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（2021·山东济南·中考真题）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
3．（2020·陕西·交大附中分校模拟预测）已知一次函数y＝﹣x+5的图象，绕y轴上一点P（0，a）旋转180°，所得的图象经过点 （0，﹣3），则a的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣3 D．6
【答案】B
【分析】根据题意得出旋转后的函数与y轴的交点，然后根据一次函数y＝﹣x+5求得与y轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
【详解】解：在一次函数y＝﹣x+5中，令x＝0，则y＝5，
即一次函数y＝﹣x+5与y轴交点为（0，5）．
∵旋转后所得的图象经过点 （0，﹣3），
∴旋转后的函数与y轴交点为（0，﹣3），
∵一次函数y＝﹣x+5的图象，绕y轴上一点P（0，a）旋转180°，
∴（0，5）和（0，﹣3）关于点（0，a）对称，
∴a＝＝1，
故选：B．
【点睛】此题考查的是一次函数与旋转问题，掌握旋转的性质和一次函数的性质是解题关键．
4．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=，对角线AC上有一点G（异于A，C），连接 DG，将△AGD绕点A 逆时针旋转60°得到△AEF，则BF的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】A
【分析】过点F作FH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠FHA=90°，△AGD绕点A 逆时针旋转60°得到△AEF，得∠FAD=60°，AF=AD=2，又由四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，得到∠FAH=30°，在Rt△AFH中，FH=AF=1，由勾股定理得AH= ，得到BH=AH+AB=2 ，再由勾股定理得BF=．
【详解】解：如图，过点F作FH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠FHA=90°，
∵△AGD绕点A 逆时针旋转60°得到△AEF
∴∠FAD=60°，AF=AD=2，
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠BAD=90°
∴∠BAF=∠FAD+ ∠BAD=150°
∴∠FAH=180°－∠BAF=30°
在Rt△AFH中，FH=AF=1
由勾股定理得
AH=
在Rt△BFH中，FH=1，BH=AH+AB=2
由勾股定理得
BF=
故BF的长．
故选：A
【点睛】本题考查了图形的旋转，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决此题的关键在于作出正确的辅助线．
5．（2022·江苏·宜兴市新街中学八年级阶段练习）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ）
A．1.4 B．1.8 C．1.2 D．1.6
【答案】A
【分析】由勾股定理可求AB=10，由旋转的性质可得∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，可得AM=MF=CM，可得∠AFC=90°，由锐角三角函数可求AF的长，由直角三角形的性质可求GF的长，即可求AG的长．
【详解】解：如图，连接CF，
∵AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵点M是AC中点，
∴AM=MC=4，
∵将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，
∴∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，
∴AM=MF=CM，
∴∠MAF=∠MFA，∠MFC=∠MCF，
∵∠MAF+∠MFA+∠MFC+∠MCF=180°，
∴∠MFA+∠MFC=90°，
∴∠AFC=90°，
∵×AB×CF=×AC×BC，
∴CF=，
∴AF=，
∵∠A=∠D，∠A=∠AFM，
∴∠D=∠AFM，
又∵∠DFE=90°，
∴DG=GF，∠E=∠GFE，
∴GF=GE，
∴GF=GD=GE=5，
∴AG=AF-GF=-5==1.4，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求AF的长是本题的关键．
6．（2022·安徽·合肥育英学校九年级阶段练习）如图，在ABC中，，，在以BC为腰在BC的一侧构造等腰直角，，则AD的最小为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△B1CA1，可得AC= CA1=5，∠ACA1=90°，AB=A1D=2，再求出AA1，即可得答案．
【详解】解：如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△B1CA1，AA1与CD的交点记为点E，
由于△BCD是等腰直角三角形，∠BCD=90°，
因此点B1与点D重合，
∵AB=2，AC=5，
∴AC= CA1=5，∠ACA1=90°，AB=A1D=2
∴ ，
∵AD的最小，
∴D应和E重合，A1E=2，
∴AD=，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的性质，两点之间线段最短等，解题的关键是做出旋转图形．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2022·广西·南宁市三美学校八年级期末）点关于原点的对称点是__________．
【答案】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是点（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【详解】解：点（6，﹣1）关于原点的对称点的坐标为（﹣6，1）．
故答案为：（﹣6，1）．
【点睛】此题主要考查了原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
8．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）已知点与点关于原点对称，则______．
【答案】-2
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），据此求解即可．
【详解】解：∵点P(m n，1)与点Q(3，m+n)关于原点对称，
∴，
∴
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系和解二元一次方程组，熟知关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数是解题的关键．
9．（2022·上海市罗星中学模拟预测）如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为_______
【答案】或
【分析】分两种情况分析：当点E在BC下方时记点E为点，点E在BC上方时记点E为点，连接，，根据垂直平分线的性质得，，由正方形的性质得，，由旋转得，，故，是等边三角形，，是等腰三角形，由等边三角形和等腰三角形的求角即可．
【详解】
如图，当点E在BC下方时记点E为点，连接，
∵点落在边AD的垂直平分线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵BC绕点C旋转得，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，
当点E在BC上方时记点E为点，连接，
∵点落在边AD的垂直平分线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵BC绕点C旋转得，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查正方形的性质、垂直平分线的性质、旋转的性质，以及等边三角形与等腰三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD的边长是5，E是边BC上一点且BE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，以EF为边向右作等边三角形EFG，连接CG，则CG长的最小值为______．
【答案】
【分析】由题意分析可知，点F为主动点，运动轨迹是线段AB，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，也是一条线段，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段AB上运动，点G的轨迹也是一条线段，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EGH，
从而可知△EBH为等边三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBE=90°，
∴∠GHE=∠FBE=90°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上，
延长HG交DC于点N，
过点C作CM⊥HN于M，则CM即为CG的最小值，
过点E作EP⊥CM于P，可知四边形HEPM为矩形，∠PEC=30°，∠EPC=90°，
则CM=MP+CP=HE+EC=2+=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段最值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是最值问题中比较典型的类型．
11．（2022·广西贵港·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______．
【答案】##50度
【分析】先求出，由旋转的性质，得到，，则，即可求出旋转角的度数．
【详解】解：根据题意，
∵，
∴，
由旋转的性质，则，，
∴，
∴；
∴旋转角的度数是50°；
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．
12．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在ABC中，，在同一平面内，将ABC绕点A逆时针旋转到的位置，使，作交BC于点D，则______．
【答案】30°##30度
【分析】利用旋转的性质可求得AC=AC′，∠CAB=∠C′AB′，由平行线性质和三角形内角和定理可求得∠C′AC；进而求得∠CAB′即可解答；
【详解】解：∵，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
由旋转的性质可得：AC=AC′，∠CAB=∠C′AB′=70°，
∴∠ACC′=∠AC′C=70°，
∴∠C′AC=180°-70°-70°=40°，
∴∠CAB′=∠C′AB′-∠C′AC=70°-40°=30°，
∵，
∴∠AB′D=∠CAB′=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；掌握旋转的性质是解题关键．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．（2022·重庆长寿·九年级期末）在所给的的正方形网格中，按下列要求操作：（单位正方形的边长为1）
(1)请在第二象限内的格点上找一点，使是以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，求点的坐标；
(2)画出以点为中心，旋转180°后的，并求的面积．
【答案】(1)图见解析，点的坐标为
(2)图见解析，4
【分析】（1）根据题意，腰长为无理数且为以AB为底的等腰三角形，只在第二象限，作图即可确定点，然后写出点的坐标即可；
（2）现确定旋转后的点，然后依次连接即可，根据旋转前后三角形的面积不变，利用表格及勾股定理确定三角形的底和高，即可得出面积．
（1）
解：如图所示，点的坐标为；
，为无理数，符合题意；
（2）
如图所示：点的坐标，点的坐标为，
∵旋转180°后的的面积等于的面积，
，
∴，
∴的面积为4．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的定义及旋转图形的作法，理解题意，熟练掌握在坐标系中旋转图形的作法是解题关键．
14．（2021·新疆吐鲁番·九年级阶段练习）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(2，4)．
（1）画出ABC关于原点O对称的，直接写出点的坐标；
（2）画出ABC绕点O逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标．
【答案】（1）作图见解析，（-1，﹣1）；（2）作图见解析，（-1， 1），（-2， 3），（-4， 2）；
【分析】（1）根据A（1，1），B（3，2），C（2，4）．即可画出△ABC关于原点O对称的的△A1B1C1，进而可以写出点A1的坐标；
（2）根据旋转的性质即可画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；进而可以写出点的坐标即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
所以点A1的坐标为：（-1，﹣1）；
（2）△A2B2C2即为所求；
点的坐标分别为：（-1， 1），（-2， 3），（-4， 2）；
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换和中心对称变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
15．（2022·湖北黄石·模拟预测）如图，中，点E在BC边上，，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得，连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，利用“SAS”证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，进而得到的度数，再由全等三角形的性质得出，最后根据三角形外角的性质即可求解．
(1)
证明：∵，
∴．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴．
在与中，
，
∴，
∴；
(2)
解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．
16．（2022·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC三个顶点的坐标分别为A（－3，－1），B （－4，－4），C（－1，－3）
(1)以O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A1B1C1；
(2)以O为对称中心，作出△ABC关于点O的中心对称图形ΔA2B2C2；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先作出点A、B、C旋转后点的坐标、、，然后顺次连接三个点，即可得出旋转后的三角形；
（2）先作出点A、B、C关于原点O对称的点、、，然后顺次连接三个点，即可得出旋转后的三角形．
(1)即为所求作的三角形，如图所示：
(2)即为所求作的三角形，如图所示：
【点睛】本题主要考查了旋转和中心对称作图，作出对应点的坐标是解题的关键．
17．如图，所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上，请按要求画图：
(1)在网格中画出△ABC向下平移5个单位得到的；
(2)在网格中画出关于直线l对称的；
(3)在网格中画出将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到的．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）先根据平移的性质画出点，再顺次连接即可得；
（2）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得；
（3）先根据旋转的性质画出点，再顺次连接点即可得．
(1)解：如图，即为所作．
(2)解：如图，即为所作．
(3)解：如图，即为所作．
【点睛】本题考查了平移、轴对称、旋转作图，熟练掌握各作图方法是解题关键．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2022·吉林·中考真题）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．
(1)在图①中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形；
(2)在图②中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】（1）以所在直线为对称轴，找出点的对称点即为点，再顺次连接点即可得；
（2）根据点平移至点的方式，将点进行平移即可得点，再顺次连接点即可得．
（1）解：如图①，四边形是轴对称图形．
（2）解：先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点，则将点按照同样的平移方式可得到点，如图②，平行四边形是中心对称图形．
【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形、平移作图，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键．
19．（2022·四川凉山·中考真题）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设点的坐标为，则，根据旋转的性质可得，从而可得，将点代入抛物线的解析式求出的值，由此即可得；
（3）先根据点坐标的平移规律求出点，作点关于轴的对称点，连接，从而可得与轴的交点即为所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案．
（1）解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为．
（3）解：抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
20．如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF．
【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ．
【答案】【猜想】CD= BC- CF，理由见解析；【探究】CF= BC+ CD，理由见解析；【应用】
【分析】【猜想】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得结论；
【探究】利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得出结论；
【应用】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，∠ACF=∠ABD = 135°，求出∠DCF= 90°，在Rt△DCF中利用勾股定理求出DF，利用直角三角形的斜边中线的性质可得结论．
【详解】解：【猜想】CD= BC- CF，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠FAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵CD= BC- BD，
∴CD= BC- CF：
解：【探究】CF= BC+ CD，理由如下：
∵∠BAC= 90°，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形 ADEF是正方形，
∴ AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAD=∠BAC +∠DAC，
∴∠CAF=∠DAF+∠DAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵BD= BC＋CD，
∴CF= BC+CD；
解：【应用】∵∠BAC= 90°，AB= AC,
∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD=CF,
∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，,
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵，
∴ ，
∴CD= BC+ BD，
∴ CD = BC+CF= 2+1=3，
∴ ，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是能够综合运用运用有关的知识解决问题．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．【问题原型】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数，解决方法：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP'、PP'易证△BPC≌△BP'A，则∠BPC＝ 度．
【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝2，PC＝．
（1）∠BPC＝ 度．
（2）求正方形ABCD的边长．
【答案】[问题原型]150；（1）135°；（2）
【分析】[问题原型] 将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP'、PP'，则△BPC≌△BP'A，得到BP=B，A=PC=1，∠PB=60°，∠AB=∠BPC，证得△BP是等边三角形，求出∠BP=∠PB=60°，P=BP=，根据勾股定理逆定理证得△AP是直角三角形，∠AP=90°，即可求出∠AB=∠AP+∠BP=150°；
（1）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA，推出BE=BP=2，AE=PC=，∠PBE=90°，∠AEB=∠BPC，利用勾股定理证得△AEP是直角三角形，求出 ∠AEB=∠AEP+∠BEP=135°，即可得到∠BPC的度数；
（2）如图，延长AE，过点B作BF⊥AE于F，得到∠BEF=45°=∠EBF，求出BF=EF=，勾股定理求出AB即可．
【详解】解：[问题原型] 将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP'、PP'，
∴△BPC≌△BP'A，
∴BP=B，A=PC=1，∠PB=60°，∠AB=∠BPC，
∴△BP是等边三角形，
∴∠BP=∠PB=60°，P=BP=，
∵，
∴△AP是直角三角形，∠AP=90°，
∴∠AB=∠AP+∠BP=150°，
∴∠BPC=150°，
故答案为：150；
（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA，
∴△BPC≌△BEA，
∴BE=BP=2，AE=PC=，∠PBE=90°，∠AEB=∠BPC，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴∠BEP=∠EPB=45°，PE =2，
∵，
∴△AEP是直角三角形，∠AEP=90°，
∴∠AEB=∠AEP+∠BEP=135°，
∴∠BPC=135°；
（2）如图，延长AE，过点B作BF⊥AE于F，则∠F=90°，
∵∠AEP=90°，∠BEP=45°，
∴∠BEF=45°=∠EBF，
∴BF=EF=，
∴AF=AE+EF=2，
∴，即正方形的边长为．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
22．如图，△AOB中，OA=OB=6，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD．OC与AB交于点G，CD分别交OB、AB于点E、F．
(1)∠A与∠D的数量关系是：∠A______∠D；
(2)求证：△AOG≌△DOE；
(3)当A，O，D三点共线时，恰好OB⊥CD，求此时CD的长．
【答案】(1)=
(2)证明见解析
(3)，详见解析
【分析】（1）根据旋转性质及等腰三角形性质即可得答案；
（2）由旋转性质知∠AOB=∠DOC，可证得∠AOG=∠DOE，结合OA=OB及（1）中结论，得证；
（3）分两种情况讨论，设∠A=x°，先利用三角形内角和求出x的值，再借助勾股定理求出CD的长度即可．
（1）
解：由旋转知，∠A=∠C，∠B=∠D，
∵OA=OB，
∴OC=OD，∠A=∠B=∠C=∠D
∴∠A=∠D，
故答案为：=．
（2）
证明：由旋转知，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴∠AOB－∠BOC=∠COD－∠BOC，
即∠AOG=∠DOE，
∵OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
又∵∠A=∠D，
∴△AOG≌△DOE．
（3）
解：分两种情况讨论，
①如图所示，
设∠A=∠B=∠C=∠D=x°，则∠DOB=2x°，
∵OB⊥CD，
∴∠OED=90°，
∴x+2x=90°，
解得：x=30，
即∠D=30°，
在Rt△ODE中，OE=3，由勾股定理得：DE=，
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴CD=2DE=．
②当D与A重合时，如图所示，
同理，得：CD=．
综上所述，当A，O，D三点共线时，OB⊥CD，此时CD的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，解题关键是利用旋转性质得到边、角的关系．
六、解答题（本大题共12分）
23．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．
(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF；
(2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4.
【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；
（2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；
②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可．
（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：延长DF交AB于H，连接AF，∵∠EDC=∠BAC=90°，∴DE∥AB，∴∠ABF=∠FED，∵F是BE中点，∴BF=EF，又∠BFH=∠DFE，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，AB=AC，∴BH=CD，AH=AD，∴△ADH为等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，又HF=FD，∴AF⊥DH，∴∠FAD=∠ADF=45°，即△ADF为等腰直角三角形，∴AD=DF;
（2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示，则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，∵F是BE中点，∴BF=EF，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，∴BH=CD，延长ED交BC于M，∵BH∥EM，∠EDC=90°，∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠HBA+∠DCB=45°，∵∠ACD+∠DCB=45°，∴∠HBA=∠ACD，∴△ACD≌△ABH，∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°，即∠HAD=90°，∴∠ADH=45°，∵HF=DF，∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形，∴AD=DF．②由①知，S△ADF=DF2=AD2，由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2，当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4，∴1≤S△ADF≤4．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线．
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第二十三章 旋转
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2020·福建泉州·一模）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．正五边形 D．矩形
2．（2021·山东济南·中考真题）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·陕西·交大附中分校模拟预测）已知一次函数y＝﹣x+5的图象，绕y轴上一点P（0，a）旋转180°，所得的图象经过点 （0，﹣3），则a的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣3 D．6
4．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=，对角线AC上有一点G（异于A，C），连接 DG，将△AGD绕点A 逆时针旋转60°得到△AEF，则BF的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
5．（2022·江苏·宜兴市新街中学八年级阶段练习）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ）
A．1.4 B．1.8 C．1.2 D．1.6
6．（2022·安徽·合肥育英学校九年级阶段练习）如图，在ABC中，，，在以BC为腰在BC的一侧构造等腰直角，，则AD的最小为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2022·广西·南宁市三美学校八年级期末）点关于原点的对称点是__________．
8．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）已知点与点关于原点对称，则______．
9．（2022·上海市罗星中学模拟预测）如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为_______
10．如图，正方形ABCD的边长是5，E是边BC上一点且BE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，以EF为边向右作等边三角形EFG，连接CG，则CG长的最小值为______．
11．（2022·广西贵港·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______．
12．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在ABC中，，在同一平面内，将ABC绕点A逆时针旋转到的位置，使，作交BC于点D，则______．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．（2022·重庆长寿·九年级期末）在所给的的正方形网格中，按下列要求操作：（单位正方形的边长为1）
(1)请在第二象限内的格点上找一点，使是以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，求点的坐标；
(2)画出以点为中心，旋转180°后的，并求的面积．
14．（2021·新疆吐鲁番·九年级阶段练习）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(2，4)．
（1）画出ABC关于原点O对称的，直接写出点的坐标；
（2）画出ABC绕点O逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标．
15．（2022·湖北黄石·模拟预测）如图，中，点E在BC边上，，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得，连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
16．（2022·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC三个顶点的坐标分别为A（－3，－1），B （－4，－4），C（－1，－3）
(1)以O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A1B1C1；
(2)以O为对称中心，作出△ABC关于点O的中心对称图形ΔA2B2C2；
17．如图，所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上，请按要求画图：
(1)在网格中画出△ABC向下平移5个单位得到的；
(2)在网格中画出关于直线l对称的；
(3)在网格中画出将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到的．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2022·吉林·中考真题）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．
(1)在图①中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形；
(2)在图②中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形．
19．（2022·四川凉山·中考真题）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF．
【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．【问题原型】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数，解决方法：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP'、PP'易证△BPC≌△BP'A，则∠BPC＝ 度．
【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝2，PC＝．
（1）∠BPC＝ 度．
（2）求正方形ABCD的边长．
22．如图，△AOB中，OA=OB=6，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD．OC与AB交于点G，CD分别交OB、AB于点E、F．
(1)∠A与∠D的数量关系是：∠A______∠D；
(2)求证：△AOG≌△DOE；
(3)当A，O，D三点共线时，恰好OB⊥CD，求此时CD的长．
六、解答题（本大题共12分）
23．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．
(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
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