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第二十四章 圆
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题意，将圆心点向下平移1.5个单位，即可判断圆与x轴的位置关系．
【详解】解：如图，圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，
平移后的点P的坐标为，
，
半径为，
，
圆P与x轴相交，
故选
【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，结合题意判断圆与x轴的位置关系是解题的关键．
2．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3.8cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上都有可能
【答案】A
【详解】如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到OA=．
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．
故选A．
3．（2022·甘肃武威·中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
【答案】D
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
4．（2019·湖北宜昌·九年级期末）已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．0
【答案】D
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【详解】∵直线m与⊙O公共点的个数为2个
∴直线与圆相交
∴d＜半径＝4
故选D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交 d＜r②直线l和⊙O相切 d＝r，③直线l和⊙O相离 d＞r．
5．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
6．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．
【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵是的直径，垂直于弦于点，
∴
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵
∴，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______．
【答案】2
【分析】先利用垂径定理得到CE=DE=1，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC的长．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=1，∠OEC=90°，
∵∠BOC=2∠A=2×15°=30°，
∴OC=2CE=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
8．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
【答案】62
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得．
【详解】解：连接，
∵AB是的直径，
∴，
，
，
故答案为：62
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
9．如图，在⊙O中，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB=40°，则∠C的度数为_____．
【答案】20°##20度
【分析】根据圆周角定理即可直接求解．
【详解】解：∵∠AOB＝40°，∠C∠AOB，
∴∠C40°＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．（2019·安徽·中考真题）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
【答案】
【分析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.
【详解】解：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC=，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，
故答案为.
【点睛】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
11．（2019·湖北恩施·模拟预测）如图，，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作，过点作的平行线交两弧于点、，则阴影部分的面积是________.
【答案】
【分析】连接CE，如图，利用平行线的性质得∠COE＝∠EOB＝90°，再利用勾股定理计算出OE＝，利用余弦的定义得到∠OCE＝60°，然后根据扇形面积公式，利用
S阴影部分＝S扇形BCE S△OCE S扇形BOD进行计算即可．
【详解】解：连接CE，如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥OE，
∴∠COE＝∠EOB＝90°，
∵OC＝1，CE＝2，
∴OE＝，cos∠OCE＝，
∴∠OCE＝60°，
∴S阴影部分＝S扇形BCE S△OCE S扇形BOD＝，
故答案为．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
12．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
【答案】36
【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，根据等腰三角形的性质可求出∠EAC＝∠DCA＝72°，进而可得四边形AEDF是平行四边形，求出∠DFC的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC==36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，
∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正五边形的性质以及三角形的内角和定理是正确解答的前提．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．（2021·山东滨州·九年级期中）如图，和是⊙的两条切线，A，B是切点．C是上任意一点，过点C画⊙的切线，分别交和于D，E两点，已知，求的周长．
【答案】
【分析】根据切线长定理可得，，即可得出的周长即PA+PB的长度．
【详解】解：∵DA、DC是圆O的切线，
∴DA=DC，
同理可得EC=EB，
∴C△PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm．
【点睛】此题考查了切线长定理的运用，解题的关键是熟练掌握切线长定理．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
14．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．
【答案】详见解析
【分析】先根据可得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得．
【详解】证明：∵
∴
∴
【点睛】本题考查圆心角定理推论，解题关键是熟知同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．
15．如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径．
【答案】
【分析】连接CO，利用垂径定理求解再令⊙O的半径为rm，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案.
【详解】解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，
∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2．
在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm，
∵OC2＝OM2＋CM2，
∴，
解得：r＝．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键.
16．如图，⊙O的半径弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．已知，．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求EC的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据垂径定理可得，再由勾股定理可求得半径的长；
（2）连接构造出，利用勾股定理可求得，再利用勾股定理解即可求得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴
∴设的半径
∴
∵在中，
∴
∴
∴半径的长为．
（2）连接，如图：
∵是的直径
∴，
∵
∴在中，
∵
∴在中，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等，做出合适的辅助线是解题的关键．
17．已知：如图，在中，为互相垂直的两条弦，，D、E为垂足．
(1)若，求证：四边形为正方形．
(2)若，判断与的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)OD＜OE
【分析】（1）先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD＝AB，AE＝AC，且∠ADO＝∠AEO＝90°，加上∠DAE＝90°，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB＝AC，所以AD＝AE，于是可判断四边形ADOE是正方形；
（2）由（1）得四边形ADOE是矩形，可得OE＝AD＝AB，OD＝AE＝AC，又AB＞AC，即可得出OE和OD的大小关系．
（1）
证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ADOE为矩形，
且OD平分AB，OE平分AC，
∴BD＝AD＝AB，AE＝EC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴四边形ADOE为正方形．
（2）
解：OD＜OE，
理由如下：由（1）得四边形ADOE是矩形，
∴OE＝AD，OD＝AE，
∵AD＝AB，AE＝AC，
∴OE ＝AB，OD＝AC，
又∵AB＞AC，
∴OD＜OE．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形的判定．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（1）求图（1）中阴影部分的面积（单位：厘米）；
（2）如图（2）所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，求阴影部分面积．（结果保留）
【答案】（1）图（1）中阴影部分的面积为4平方厘米；（2）阴影部分面积为平方厘米．
【分析】（1）由图可知，图（1）中右边正方形中的阴影部分的面积等于左边正方形中的空白部分的面积，通过割补法可得阴影部分的面积为一个正方形的面积，计算即可得解；
（2）阴影部分的面积=梯形ABCG的面积+扇形GCE的面积-三角形ABE的面积，据此解答即可．
【详解】解：（1）由图可知，图（1）中右边正方形中的阴影部分的面积等于左边正方形中的空白部分的面积，
∴S阴影=2×2=4（平方厘米）；
（2）如图，
S阴影=S梯形ABCG+S扇形GCE-S△ABE==25π（平方厘米）．
【点睛】本题考查了扇形的面积，梯形的面积，三角形的面积，正方形的面积等知识．解题的关键是把阴影部分分成常见的平面图形的和与差，进一步求得面积．
19．如图，CD与EF是⊙O的直径，连接CE、CF，延长CE到A，连接AD并延长，交CF的延长线于点B，过点F作⊙O的切线交AB于点G，点D是AB的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求FG的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接DE，根据CD和EF都是⊙O的直径得到∠DEA=∠ECF=90°，根据直角三角形的性质得到CD=AD=BD，利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE=∠CDE，进而得到∠ADE=∠OED，即可得到；
（2）根据直角三角形斜边上的中线求得,勾股定理求得,由（1）可得,根据切线的性质可得，根据，代入数值，即可得到FC．
（1）
证明：连接DE，
∵CD和EF都是⊙O的直径，
∴∠DEA=∠ECF=90°，
∵D是AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠ADE=∠CDE，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠CDE，
∴∠ADE=∠OED，
∴；
（2）
连接DF，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠FCE=∠CED=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴FC=DE，DE∥BC，
∴，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵AB=2CD=5，AC=3，
∴，
∴FC=2．
是的切线，
【点睛】此题考查了圆周角定理，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
20．如图，是的直径，点是上一点，点是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的半径；
（3）若于点，点为上一点，连接，，，请找出，，之间的关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）3；（3），理由见解析
【分析】（1）先求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB，进而得出∠OAD＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出△AOC是等边三角形，得出AC＝OC，再判断出AC＝CD，即可得出结论；
（3）先判断出∠CAP＝∠CEM，进而得出△ACP≌△ECM（SAS），进而得出CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，再判断出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
∴直线是的切线；
（2）解：如图1，连接，
由（1）知，，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
即的半径为3；
（3），
理由：如图，
，
，
连接，延长至，使，连接，
，为的直径，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，，
过点作于，
，
在中，，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E．
(1)求证：四边形ADOE是正方形；
(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)cm
【分析】（1）根据ACAB，ODAB，OEAC，可得四边形ADOE是矩形，由垂径定理可得AD=AE，根据邻边相等的矩形是正方形可证；
（2）连接OA，由勾股定理可得．
（1）
证明：∵ACAB，ODAB，OEAC，
∴四边形ADOE是矩形，，，
又∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形．
（2）
解：如图，连接OA，
∵四边形ADOE是正方形，
∴cm，
在Rt△OAE中，由勾股定理可得：cm，
即⊙O的半径为cm．
【点睛】本题考查圆与正方形，熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质，是解题的关键．
22．（2021·江西·中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为．
【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=，即可证明∠CAD=∠ECB；
（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=，
∵∠EBC+∠ABC=，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=，
∴∠D+∠CAD=，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC=，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E=，
∴∠OCE+∠E=18，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=2，AC=2，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF=，
∴，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23．（2019·福建省福州第八中学九年级期中）已知P为⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合)，连接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ
（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径。
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，设∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α与β的数量关系。
【答案】（1）；（2）α+2β=90°，见解析
【分析】（1）连接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB是⊙O的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；
（2）连接OA、OB、OQ，由证得∠APQ=∠BPQ，即可证得OQ⊥ON，然后根据三角形内角和定理证得2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，，即可证得α+2β=90°．
【详解】（1）连接AB，
∵∠APQ=∠BPQ=45°，
∴∠APB=∠APQ+BPQ=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB=，
∴⊙O的半径为；
（2）α+2β=90°，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ=∠BPQ，
∴，
∴∠AOQ=∠BOQ，
∵OA=OB，
∴OQ⊥AB，
∵ON∥AB，
∴NO⊥OQ，
∴∠NOQ=90°，
∵OP=OQ，
∴∠OPN=∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ=180°，
∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，
∴∠NOP+2∠OPN=90°，
∵∠NOP=α，∠OPN=β，
∴α+2β=90°．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
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第二十四章 圆
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3.8cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上都有可能
3．（2022·甘肃武威·中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
4．（2019·湖北宜昌·九年级期末）已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．0
5．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______．
8．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
9．如图，在⊙O中，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB=40°，则∠C的度数为_____．
10．（2019·安徽·中考真题）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
11．（2019·湖北恩施·模拟预测）如图，，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作，过点作的平行线交两弧于点、，则阴影部分的面积是________.
12．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．（2021·山东滨州·九年级期中）如图，和是⊙的两条切线，A，B是切点．C是上任意一点，过点C画⊙的切线，分别交和于D，E两点，已知，求的周长．
14．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．
15．如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径．
16．如图，⊙O的半径弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．已知，．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求EC的长．
17．已知：如图，在中，为互相垂直的两条弦，，D、E为垂足．
(1)若，求证：四边形为正方形．
(2)若，判断与的大小关系，并证明你的结论．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（1）求图（1）中阴影部分的面积（单位：厘米）；
（2）如图（2）所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，求阴影部分面积．（结果保留）
19．如图，CD与EF是⊙O的直径，连接CE、CF，延长CE到A，连接AD并延长，交CF的延长线于点B，过点F作⊙O的切线交AB于点G，点D是AB的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求FG的长．
20．如图，是的直径，点是上一点，点是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的半径；
（3）若于点，点为上一点，连接，，，请找出，，之间的关系，并证明．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E．
(1)求证：四边形ADOE是正方形；
(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．
22．（2021·江西·中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
六、解答题（本大题共12分）
23．（2019·福建省福州第八中学九年级期中）已知P为⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合)，连接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ
（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径。
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，设∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α与β的数量关系。
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