高中数学人教A版(2019)必修第一册第二单元测试(含解析)

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名称 高中数学人教A版(2019)必修第一册第二单元测试(含解析)
格式 zip
文件大小 523.1KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-06 09:18:39

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文档简介

高中数学人教A版(2019)必修第一册第二单元测试
一、单选题
1.若不等式组的解集非空,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.已知x∈R,则“成立”是“成立”的( )条件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
3.已知,,且,则的最小值为( )
A.8 B. C.9 D.
4.已知,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.如果二次方程ax2+bx+c=0的两根为,3,且a<0,那么不等式ax2+bx+c>0的解集为( )
A.{x|x>3或x<-2} B.{x|x>2或x<-3}
C.{x|-26.集合用列举法可以表示为( )
A. B. C. D.
7.若不等式的解集为,则( )
A. B. C. D.
8.已知,则的最小值是( )
A.7 B. C.4 D.
二、多选题
9.若关于x的一元二次方程有实数根,且,则下列结论中正确的说法是( )
A.当时,, B.
C.当时, D.当时,
10.已知正数a,b满足,若a+b∈Z,则a+b的值可以是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.下列说法正确的是( )
A.命题“”的否定是“”.
B.命题“,”的否定是“,”
C.“”是“”的必要条件.
D.“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
12.已知不等式的解集为,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13.设a>0,b>0,给出下列不等式:
①a2+1>a; ②; ③(a+b); ④a2+9>6a.
其中恒成立的是________(填序号).
14.问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第层楼时,上下楼造成的不满意度为.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第_______楼,会有一个最佳满意度.
15.若,则的最小值是___________.
16.不等式的解集为______.
四、解答题
17.设函数.
(1)若对于一切实数,恒成立,求的取值范围;
(2)解不等式.
18.设,关于的二次不等式的解集为,集合,满足,求实数的取值范围.
19.已知且,试比较与的大小.
20.已知都是正数,且,
(1)求的最小值;
(2)求的最小值.
21.已知,.
(1)求证:;
(2)若,求ab的最小值.
试卷第2页,共3页
试卷第3页,共3页
参考答案:
1.A
【分析】分别解出两个不等式的解,再根据集合交集的概念求解.
【详解】由题意,∴,即,解得.
故选:A.
【点睛】本题考查不等式组的解,考查集合的交集运算,属于基础题.
2.C
【分析】先证充分性,由 求出x的取值范围,再根据x的取值范围化简即可,再证必要性,若,即,再根据绝对值的性质可知.
【详解】充分性:若,则2≤x≤3,

必要性:若,又,

由绝对值的性质:若ab≤0,则,
∴,
所以“成立”是“成立”的充要条件,
故选:C.
3.C
【分析】由题得,再利用基本不等式“1”的代换求最值.
【详解】因为,,,所以,
∴,
当且仅当取得等号,则的最小值为9.
故选:C
4.A
【分析】本题首先可将函数转化为,,然后分为、进行讨论,通过基本不等式即可得出结果.
【详解】,,
当时,,,
当且仅当时取等号;
当时,,,
当且仅当时取等号,
则的取值范围为,
故选:A.
5.C
【分析】本题先根据一元二次方程的两根因式分解,再根据a<0求一元二次不等式的解集即可.
【详解】解析:由二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,且a<0,知不等式ax2+bx+c>0可化为a(x+2)(x-3)>0,即(x+2)(x-3)<0,方程(x+2)(x-3)=0的两根为x1=-2,x2=3,则不等式(x+2)(x-3)<0的解集是{x|-2故选:C.
【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求对应一元二次不等式的解集,是基础题.
6.B
【分析】根据集合中元素满足的条件求出的值,再利用列举法表示可得正确选项.
【详解】因为,所以,可得,
因为,所以,集合,
故选:B.
7.D
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组,可解出答案.
【详解】不等式的解集为,则方程根为、,
则,解得,,
故选:D
8.D
【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】因为,
所以,
当且仅当即时,等号成立.
结合可知,当时,有最小值.
故选:D.
9.ABD
【解析】根据题意得,函数与图象有两个交点,进而数形结合即可得答案.
【详解】解:A中,时,方程为,解为:,,所以A正确;
B中,方程整理可得:,由不同两根的条件为:,所以,所以B正确.
当时,在同一坐标系下,分别作出函数和的图像,如图,
可得,所以C不正确,D正确,
故选:ABD.
【点睛】关键点点睛:本题考查根据一元二次方程的实数根求参数问题,解题的关键是将问题转化为函数与图象有两个交点问题,进而数形结合解决.考查数形结合思想和化归转化思想,是中档题.
10.BC
【分析】利用基本不等式构造关于的一元二次不等式,即可求解.
【详解】解:(当且仅当时,取等号),
即,解得:,又a+b=2时,ab=0,不合题意,
故选:BC
11.BD
【分析】根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题判断A,B选项,根据充分条件,必要条件的定义判断C,D选项.
【详解】对于A选项,命题“”的否定是“,”,故A选项错误;
对于B选项,命题“,”的否定是“,”,故B选项正确;
对于C选项,不能推出,也不能推出,所以“”是“”的既不充分也不必要条件,故C选项错误;
对于D选项,关于x的方程有一正一负根,所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D选项正确.
故选:BD
【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定,充要条件的判断,考查逻辑推理能力,是中档题.本题D选项解题的关键在于根据韦达定理和判别式得等价条件,进而解不等式求得讨论即可.
12.BCD
【分析】对A,根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断;对B,C,利用韦达定理即可判断;对D,根据韦达定理以及,即可求解.
【详解】解:对A,不等式的解集为,
故相应的二次函数的图象开口向下,
即,故A错误;
对B,C,由题意知: 和是关于的方程的两个根,
则有,,
又,故,故B,C正确;
对D,,

又,
,故D正确.
故选:BCD.
13.①②③
【分析】利用做差法判断①,利用基本不等式判断②③,特殊值代入判断④即可得出结论.
【详解】由于a2+1-a=,故①恒成立;
由于=++≥2+2=4,
当且仅当即a=b=1时等号成立,故②恒成立;
由于(a+b)=2++≥2+2=4.当且仅当=,
那么a=b=1时等号成立,故③恒成立;
当a=3时,a2+9=6a,故④不恒成立.
综上,恒成立的是①②③.
故答案为:①②③.
【点睛】本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法,判断不等式是否成立的问题.属于较易题.
14.
【解析】设此人应选第层楼,此时的不满意程度为,可得出,利用基本不等式结合双勾函数的单调性可求得结果.
【详解】设此人应选第层楼,此时的不满意程度为,由题意知,
,当且仅当,即时取等号,
但考虑到,所以,当时,当时,
即此人应选楼,不满意度最低.
故答案为:.
【点睛】利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数单调性求解.
15.
【分析】由,结合基本不等式即可.
【详解】因为,所以,
所以,
当且仅当即时,取等号成立.
故的最小值为,
故答案为:
16.
【分析】把不等式化简为,求出解集即可.
【详解】∵不等式等价于,
所以不等式的解集为.
故答案为:.
17.(1);(2)答案见解析.
【分析】(1)分别在和两种情况下,结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果;
(2)将不等式整理为,分别在,和三种情况下求得结果.
【详解】(1)由知:,
当时,,满足题意;
当时,则,解得:;
综上所述:的取值范围为.
(2)由得,
即,即;
当时,解得:;当时,解得;当时,解集为.
综上所述:当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为.
18.
【分析】由题意,求出方程的两根,讨论的正负,确定二次不等式的解集A的形式,然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.
【详解】解:由题意,令,解得两根为,由此可知,
当时,解集,因为,所以的充要条件是,即,解得;
当时,解集,因为,所以的充要条件是,即,解得;
综上,实数的取值范围为.
19.答案见解析
【分析】利用“作差法”,通过对分类讨论即可得出.
【详解】.
①当时,,.
②当且时,,.
③当时,,.
综上所述,当时,;
当且时,;
当时,.
【点睛】本题考查“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法,属于中档题.
20.(1) ;(2) .
【分析】(1) 利用1的代换将式子变形,再用基本不等式求最小值;
(2) 先将式子中的1用代换,展开整理,再用基本不等式求最小值.
【详解】(1) .
因为都是正数,所以由基本不等式得,

所以,当且仅当 , 时等号成立.
所以的最小值为 .
(2) .
因为都是正数,所以由基本不等式得,

所以,当且仅当 , 时等号成立.
所以的最小值为.
21.(1)证明见解析;(2)1.
【分析】(1)对不等式两边式子作差,分解因式,判断作差的结果的符号,可得证.
(2)根据,可得,从而得到,进而求得,注意等号成立的条件,得到结果.
【详解】证明:(1)∵,
∴.
(2)∵,,
∴,即,
∴,∴.
当且仅当时取等号,此时ab取最小值1.
【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值,在证明不等式时,可以运用综合法也可以运用分析法,一般的比较大小的最重要的方法就是作差法,然后结合综合法和分析法来一起证明,属于中档题.
答案第6页,共9页
答案第7页,共9页