高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一单元空间向量与立体几何 单元测试（含解析）

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一单元空间向量与立体几何单元测试
一、单选题
1．如图，正方形与正方形互相垂直，G是的中点，则（ ）
A．与异面但不互相垂直 B．与异面且互相垂直
C．与相交但不互相垂直 D．与相交且互相垂直
2．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（ ）．
A． B．
C． D．
6．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．AC1=6
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
10．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
11．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（ ）
A． B．
C． D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．设是两个空间向量，则一定共面
B．设是三个空间向量，则一定不共面
C．设是两个空间向量，则
D．设是三个空间向量，则
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设，，，则向量用表示为________．
15．在空间直角坐标系中，点满足：，平面过点，且平面的一个法向量，则点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于__________.
16．如图所示，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则________.
四、解答题
17．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，.
（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.
18．如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
19．在多面体中，正方形和矩形互相垂直，、分别是和的中点，．
（1）求证：平面．
（2）在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；
20．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
试卷第6页，共6页
试卷第5页，共6页
参考答案：
1．A
【分析】根据异面直线的定义可判断与异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断与不互相垂直.
【详解】解：因为，，所以，
所以与确定一个平面，
所以，
因为，所以与异面，
因为正方形与正方形互相垂直，平面平面，
平面且，所以平面，又，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则，，，，
所以，
因为，
所以与不垂直，即与不互相垂直，
故选：A.
2．B
【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．
【详解】
故选：B
3．D
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
4．B
【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．
【详解】
连接，可得，又，
所以．
故选：B.
5．B
【分析】由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可．
【详解】连接ON，则
由题可得
故选：B.
6．B
【分析】取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
所以，平面的一个法向量为
设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，
所以，
即AM与平面所成角的正弦值为．
故选：B．
7．A
【分析】本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.
【详解】因为，，所以，
则，，
由点到直线的距离公式得，
故选：A.
8．C
【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
9．AB
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可.
【详解】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以·=·=·=6×6×cos 60°=18，
(++)2=+++2·+2·+2·
=36+36+36+3×2×18=216，
则||=|++|=6， 所以A正确；
·=(++)·(-)
=·-·+-·+·- =0，所以B正确；
显然△AA1D 为等边三角形，则∠AA1D=60°.
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为=+-=+ ，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cos<>===，所以D不正确.
故选:AB.
10．BD
【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；
根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；
利用向量夹角公式计算可知C错误；
根据法向量的求法可知D正确.
【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；
对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；
对于C，，，
即和夹角的余弦值为，C错误；
对于D，设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
即平面的一个法向量为，D正确.
故选：BD.
11．BC
【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果.
【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，
二面角的大小可能为或.
故选：BC.
12．AC
【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A、B、C、D的结论即可．
【详解】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，故A正确；
对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B错误；
对于C：因为是两个空间向量，则，故C正确；
对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D错误．
故选：AC．
13．x=，y=，z=．
【分析】利用向量的加法公式得出=+=+，再用表示出，即可求出x，y，z的值.
【详解】∵=+=+=+
+=
∴x=，y=，z=．
故答案为：x=，y=，z=．
14．.
【分析】根据向量的线性运算可得答案.
【详解】解：因为＝－2，∴，∴，
∴.
故答案为：.
15．
【分析】由题意，点在球面上，所以点P在平面上所围成的封闭图形即为平面截球面所得的截面圆，根据球的截面性质求出截面圆的半径即可求解.
【详解】解：由题意，点在以为球心，半径为4的球面上，
所以点P在平面上所围成的封闭图形即为平面截球面所得的截面圆，
因为平面的方程为，即，
所以球心到平面的距离为，
所以截面圆的半径，截面圆的面积为，
所以点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于.
故答案为：.
16．
【分析】分析可知平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得的值.
【详解】由题意可知，平面的一个法向量为，所以，.
故答案为：.
17．（1）证明见解析；（2）与平面所成角的正弦值为.
【分析】（1）、取的中点，连接，证明结合，先证明平面，得到，再证明，然后证明平面；
（2）、以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及，利用向量法求线面角.
【详解】（1）证明：作的中点，连接，因为是正三角形，所以，
又平面，所以平面，又平面，所以，
因为∥，所以，又平面，所以平面；
（2）以为坐标原点, 所在直线分别为为轴非负半轴，建立空间直角坐标系如图示，
则，所以，
设平面的法向量为，则，取，则，
设与平面所成角为，则.与平面所成角的正弦值为.
18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；
（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .
【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法
如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
[方法二]:空间向量坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：几何法
延长到，使得，连接，交于，
又∵，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
连接，作,垂足为,连接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直线平面,
又∵直线平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，
根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.
设正方体的棱长为2，则,,∴,
∴,
∴,
即直线与平面所成角的正弦值为.
[方法二]：向量法
接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，
又∵,∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
[方法三]：几何法+体积法
如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．
因为，
所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．
设正方体的棱长为2，在中，易得，
可得．
由，得，
整理得．
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
[方法四]：纯体积法
设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，
在中，，
，
所以，易得．
由，得，解得，
设直线与平面所成的角为，所以．
【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；
（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.
19．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的一个法向量的坐标，由已知条件可得出，可求得的值，进而可求得的长.
【详解】（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面；
（2）因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，，
设平面的法向量为，
由，令，可得，
要使得平面，则，所以，，解得，
则，此时，.
【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；
（2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.
【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论
在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.
在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点在平面内.
［方法二］：空间向量共线定理
以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．
设，则．
所以．故．所以，点在平面内．
［方法三］：平面向量基本定理
同方法二建系，并得，
所以．
故．所以点在平面内．
［方法四］：
根据题意，如图3，设．
在平面内，因为，所以．
延长交于G，
平面，
平面．
，
所以平面平面①．
延长交于H，同理平面平面②．
由①②得，平面平面．
连接，根据相似三角形知识可得．
在中，．
同理，在中，．
如图4，在中，．
所以，即G，，H三点共线．
因为平面，所以平面，得证．
［方法五］：
如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O为的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内．
（2）［方法一］【最优解】：坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.
则、、、，
，，，，
设平面的一个法向量为，
由，得取，得，则，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，，则，
，
设二面角的平面角为，则，.
因此，二面角的正弦值为.
［方法二］：定义法
在中，，即，所以．在中，，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角．
在中，．
所以，则．
［方法三］：向量法
由题意得，
由于，所以．
如图7，在平面内作，垂足为G，
则与的夹角即为二面角的大小．
由，得．
其中，，解得，．
所以二面角的正弦值．
［方法四］：三面角公式
由题易得，．
所以．
．
．
设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得
，所以．
【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出．
（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．
答案第18页，共20页
答案第19页，共20页