高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一单元空间向量与立体几何 单元测试（含解析）

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一单元空间向量与立体几何单元测试
一、单选题
1．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
5．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（ ）．
A． B．
C． D．
6．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（ ）
A． B． C．5 D．7
8．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．对于任意非零向量，，以下说法错误的有
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
10．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积不变
B．平面
C．
D．平面平面
11．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是（　　）
A．PC与平面BCD所成的最大角为45°
B．存在某个位置，使得PB⊥CD
C．当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，PC
D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
12．已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．在三棱锥O-ABC中，OA OB OC两两垂直，，，，D是AB的中点，则CD与平面OAB所成的角的正切值为___________.
14．如图所示，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则________.
15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设，，，则向量用表示为________．
16．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
四、解答题
17．在多面体中，正方形和矩形互相垂直，、分别是和的中点，．
（1）求证：平面．
（2）在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；
18．《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.
（1）若P为的中点，求证：平面.
（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
19．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
20．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
试卷第6页，共6页
试卷第5页，共6页
参考答案：
1．B
【分析】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面与平面所成二面角的余弦值为求出的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案
【详解】解：如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，
平面的一个法向量为，
由题意得，解得或（舍去），
延长，设，连接，交于，延长，交的延长线于，连接，交于，则五边形为截面图形，
由题意求得，，，，，，截面五边形如图所示，
则等腰三角形底边上的高为，等腰梯形的高为，
则截面面积为
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为求出，属于中档题
2．A
【分析】建立空间直角坐标系，写出，的坐标，由夹角公式可得结果.
【详解】如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
故选：A.
3．B
【分析】过点作，垂足为，然后在中求解.
【详解】过点作，垂足为，
在中，，，，
得、，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
故选：B．
4．C
【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式可判断①的正误，利用锥体的体积公式可判断②的正误，利用空间向量法可判断③④的正误．
【详解】如下图所示：
设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、、、，设点，其中.
对于①，不是定值，①错误；
对于②， 在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，则平面，
，则点到平面的距离为定值，而的面积也为定值，
所以，三棱锥的体积为定值，②正确；
对于③，，，所以，，
因此，对任意点，都有，③正确；
对于④，，，，
，这样的不存在，所以，不存在点，使得平面，④错误．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建系，设出点的坐标，然后根据向量的运算求解判断．
5．B
【分析】由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可．
【详解】连接ON，则
由题可得
故选：B.
6．B
【分析】直接由空间向量的夹角公式计算即可
【详解】，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
7．D
【解析】求出，，利用与数量积为0，求解即可.
【详解】，
可得，，
故选：D
8．C
【分析】以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，
所以，，,
所以点P到AB的距离．
故选：C.
9．BD
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；取，且可判断B选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；求得，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选：BD.
【点睛】本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题.
10．ABD
【分析】利用等体积法判断体积不变，A正确；证明平面平面，即知平面，B正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C错误D正确即可.
【详解】解：对于A，的面积是定值，，平面，平面，
∴平面，故到平面的距离为定值，
∴三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确；
对于B，，
∴平面平面，平面，平面，故B正确；
对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，P在上，故可设，
则，
，，
则不一定为0，
和不垂直，故C错误；
对于D，设，
则，
，，，，
设平面平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
.
∴平面和平面垂直，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
空间中证明平行（垂直）的位置关系的方法：
（1）通过线面、面面平行（垂直）的判定定理和性质定理直接证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用相量法求解证明即可.
11．BC
【分析】A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．可得PC与平面BCD所成的角为∠PCO，
当PC时∠PCO＝60°＞45°，即可判断；
B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB 平面PBQPB⊥CD，即可判断；
C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，即可得△POC为等腰直角三角形，即可判断；
D，若B到平面PDC的距离为，则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．
【详解】解：选项A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．
由题可知，△ABD和△BCD均为等边三角形，
由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，
当PC时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，即选项A错误；
选项B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，∴PQ⊥CD，
又BQ∩PQ＝Q，BQ、PQ 平面PBQ，∴CD⊥平面PBQ，
∵PB 平面PBQ，∴PB⊥CD，即选项B正确；
选项C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，
∵PB＝PD，∴OP⊥BD，
∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC，
又OP＝OC，∴△POC为等腰直角三角形，
∴PCOP，即选项C正确；
选项D，∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，
∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，
则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．
故选：BC．
12．AC
【解析】根据空间向量模的计算公式以及向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】，
若且，
则，解得或，
所以或.
故选：AC
13．2
【分析】由已知建立空间直角坐标系，求出的坐标和平面的法向量，由数量积公式可得与平面所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案.
【详解】因为两两垂直， 所以以为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接，
所以，，，，
，由于底面，所以是底面的法向量，
且，设与平面所成的角为，
所以，
所以，所以.
即与平面所成的角正切值为.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.
14．
【分析】分析可知平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得的值.
【详解】由题意可知，平面的一个法向量为，所以，.
故答案为：.
15．.
【分析】根据向量的线性运算可得答案.
【详解】解：因为＝－2，∴，∴，
∴.
故答案为：.
16．##-0.125
【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.
【详解】连接，如图，
因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，
则平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中点，则，又，
，当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
17．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的一个法向量的坐标，由已知条件可得出，可求得的值，进而可求得的长.
【详解】（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面；
（2）因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，，
设平面的法向量为，
由，令，可得，
要使得平面，则，所以，，解得，
则，此时，.
【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
18．（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）取的中点H，连接PH，HC.，利用中位线定理证明四边形PHCN为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设，其中，，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出等式，求解即可得到答案．
【详解】解析（1）证明：取的中点H，连接PH，HC.
在堑堵中，四边形为平行四边形，
所以且.
在中，P，H分别为，的中点，
所以且.
因为N为BC的中点，所以，
从而且，
所以四边形PHCN为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（2）以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴 y轴 z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.
易知平面ABC的一个法向量为.
假设满足条件的点P存在，令，
则，.
设平面PMN的一个法向量是，
则即
令，得，，
所以.
由题意得，解得，故点P不在线段上.
【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系求二面角具体做法：
1. 设分别设出两个平面的法向量,n1=(x1, y1, z1); n2=(x2, y2, z2)
2. 求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）
3. 利用法向量垂直平面,即垂直平面内所有直线,建立方程组（3元一次方程组,仅两个方程）
（1）建立的条件是,两个相互垂直的向量,乘积为0
（2）由于法向量有3个未知数,我们通常只用建立两个方程组成的方程组.
（3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值,
4.利用空间向量数量积求得两个法向量的余弦值.
5. 判断范围,注意正负取值.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；
（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【详解】（1）证明：
在正方形中，，因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面平面，
所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以
因为，所以平面．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，设，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
［方法二］：定义法
如图2，因为平面，，所以平面．
在平面中，设．
在平面中，过P点作，交于F，连接．
因为平面平面，所以．
又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角．
设，在中，易求．
由与相似，得，可得．
所以，当且仅当时等号成立．
［方法三］：等体积法
如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求．
设，在三棱锥中，．
在三棱锥中，．
由得，
解得，
当且仅当时等号成立．
在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．
20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
答案第2页，共20页
答案第3页，共20页