高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二单元2.1直线的倾斜角与斜率（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二单元2.1直线的倾斜角与斜率（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 594.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-06 10:37:28 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二单元2.1直线的倾斜角与斜率
一、单选题
1．已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（ ）
A． B．
C． D．
2．若方程表示平行于轴的直线，则的值是（ ）
A． B． C．， D．1
3．已知直线：，：，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．直线:与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与直线，若直线与直线的夹角是60°，则k的值为（ ）
A．或0 B．或0
C． D．
6．若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若直线：与直线：互相平行，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．已知直线与直线互相平行，则实数的值为( )
A． B．2或 C．2 D．
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
10．在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；
B．直线的倾斜角的取值范围是；
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为；
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
11．颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）．
该研究小组得到以下结论，正确的是（ ）
A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高
B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高
C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高
D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低
12．已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则斜率
B．若斜率，则
C．若倾斜角，则
D．若，则倾斜角
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
14．已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为_______.
15．已知三点，则△ABC为__________ 三角形.
16．已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为______．
四、解答题
17．已知直线与直线．
（1）若，求m的值；
（2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
18．已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）.
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ.
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
19．过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
20．已知直线和直线.
(1)当m为何值时，直线和平行？
(2)当m为何值时，直线和重合？
试卷第2页，共3页
试卷第3页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】分析可知，直线的斜率为，且线段的中点在直线上，可列出关于实数的等式组，由此可得出关于实数的值.
【详解】由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，
直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
所以，，解得.
故选：C.
2．B
【分析】根据直线与x轴平行，由直线方程各项系数的特征，即可求的值.
【详解】直线与轴平行
∴，解得：
故选：B．
3．A
【分析】根据直线与直线的垂直，列方程，求出，再判断充分性和必要性即可.
【详解】解：若，则，解得或，
即或，
所以“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.
4．C
【分析】由题知直线l的倾斜角为30°，从而求得旋转后的倾斜角，利用特殊角的两角和与差的余弦公式求得结果.
【详解】解：设的倾斜角为，则，
，
由题意知，
．
故选：C
5．A
【分析】先求出的倾斜角为120°，再求出直线的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k.
【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为120°.
要使直线与直线的夹角是60°，
只需直线的倾斜角为0°或60°，
所以k的值为0或.
故选：A
6．D
【分析】应用两点式求直线斜率得，结合及，即可求的范围.
【详解】根据题意，直线经过，,，
∴直线的斜率，又，
∴，即，又，
∴；
故选：D．
7．A
【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．
【详解】解：若直线：与直线：互相平行
，
解得
故选：A．
8．D
【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒
【详解】直线斜率必存在，
故两直线平行，则，即，解得，
当时，两直线重合，∴．
故选：D．
9．BCD
【分析】依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】解：设第四个顶点为．
对于A选项，当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
对于B选项，当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
对于C选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；
对于D选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；
故选：BCD．
10．ACD
【分析】根据直线、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】倾斜角为时，直线的斜率不存在，A错误.
直线的倾斜角的取值范围是，B正确.
直线斜率是，但直线的倾斜角不是，C错误.
倾斜角为时，直线的斜率不存在，D错误.
故选：ACD
11．AD
【分析】根据实验数据图表逐个分析选项即可.
【详解】分别将原点与图中各点相连.
设线段的斜率为，根据题意有，
即越小，颗粒物过滤效率越高。
由图可知，；
在第2种口罩的4次测试中，最小，所以第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项A正确；
在第1种口罩的4次测试中，最小，所以第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项B错误；
由图知，，所以第3次测试中第2种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项C错误；
，所以第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，选项D正确.
故选：AD.
12．BCD
【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．
【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误.
B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.
C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.
D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.
故选：BCD
13．
【分析】首先求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围；
【详解】解：设点，依题意，．
因为直线与线段有交点，
由图可知直线的斜率的取值范围是．
故答案为：．
14．
【分析】由的几何意义是过两点的直线的斜率，结合图象可得，进而可得结果.
【详解】的几何意义是过两点的直线的斜率，如图所示：
由题知点M在直线上，且，当时，；当时，.设，.又，结合图象可得，
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】本题考查了斜率的几何意义，考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题目.
15．直角
【分析】根据直线斜率关系即得.
【详解】如图，猜想是直角三角形，
由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
16．
【分析】首先求得直线的倾斜角，进而判断出两条直线的夹角在内变动时的倾斜角的取值范围，进而即可求得的取值范围．
【详解】直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有
过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是，，．
的斜率的取值范围是，，，即，，，
故答案为：．
17．（1），（2）或
【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值；
（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程
【详解】解：（1）因为，所以，且，
由，得，解得或（舍去）
所以，
（2）因为点在直线上，
所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，
所以，解得或，
所以直线的方程为或
18．(1)
(2)
【分析】（1）设Q（x，y），根据PQ⊥MN得出，然后由PN∥MQ得出，解方程组即可求出Q的坐标；
（2）设Q（x，0）由∠NQP＝∠NPQ得出kNQ＝﹣kNP，解方程求出Q的坐标，然后即可得出结果.
（1）
设Q（x，y），
由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ＝﹣1 即 （x≠3）①
由已知得kPN＝﹣2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，即（x≠1）②
联立①②求解得x＝0，y＝1，∴Q（0，1）；
（2）
设Q（x，0），
∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝﹣kNP，
又∵kNQ，kNP＝﹣2，∴2 解得x＝1，
∴Q（1，0），又∵M（1，﹣1），∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
19．
【分析】作出图形，利用斜率公式分别求得，，根据题意得到或，即可求解.
【详解】如图所示，因为，，，
可得，，
要使得直线与以、为端点的线段有交点，
设直线的倾斜角为，其中，则满足或，
解得或，即直线的倾斜角的取值范围.
20．(1)或
(2)
【分析】（1）（2）由直线平行与重合的公式列方程组求解.
（1）
由题意，，
得，解得或
当或时，直线和平行.
（2）
由题意，，
得，解得，
当时，直线和重合.
答案第8页，共9页
答案第9页，共9页
一、单选题
1．已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（ ）
A． B．
C． D．
2．若方程表示平行于轴的直线，则的值是（ ）
A． B． C．， D．1
3．已知直线：，：，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．直线:与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与直线，若直线与直线的夹角是60°，则k的值为（ ）
A．或0 B．或0
C． D．
6．若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若直线：与直线：互相平行，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．已知直线与直线互相平行，则实数的值为( )
A． B．2或 C．2 D．
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
10．在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；
B．直线的倾斜角的取值范围是；
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为；
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
11．颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）．
该研究小组得到以下结论，正确的是（ ）
A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高
B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高
C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高
D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低
12．已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则斜率
B．若斜率，则
C．若倾斜角，则
D．若，则倾斜角
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
14．已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为_______.
15．已知三点，则△ABC为__________ 三角形.
16．已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为______．
四、解答题
17．已知直线与直线．
（1）若，求m的值；
（2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
18．已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）.
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ.
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
19．过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
20．已知直线和直线.
(1)当m为何值时，直线和平行？
(2)当m为何值时，直线和重合？
试卷第2页，共3页
试卷第3页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】分析可知，直线的斜率为，且线段的中点在直线上，可列出关于实数的等式组，由此可得出关于实数的值.
【详解】由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，
直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
所以，，解得.
故选：C.
2．B
【分析】根据直线与x轴平行，由直线方程各项系数的特征，即可求的值.
【详解】直线与轴平行
∴，解得：
故选：B．
3．A
【分析】根据直线与直线的垂直，列方程，求出，再判断充分性和必要性即可.
【详解】解：若，则，解得或，
即或，
所以“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.
4．C
【分析】由题知直线l的倾斜角为30°，从而求得旋转后的倾斜角，利用特殊角的两角和与差的余弦公式求得结果.
【详解】解：设的倾斜角为，则，
，
由题意知，
．
故选：C
5．A
【分析】先求出的倾斜角为120°，再求出直线的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k.
【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为120°.
要使直线与直线的夹角是60°，
只需直线的倾斜角为0°或60°，
所以k的值为0或.
故选：A
6．D
【分析】应用两点式求直线斜率得，结合及，即可求的范围.
【详解】根据题意，直线经过，,，
∴直线的斜率，又，
∴，即，又，
∴；
故选：D．
7．A
【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．
【详解】解：若直线：与直线：互相平行
，
解得
故选：A．
8．D
【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒
【详解】直线斜率必存在，
故两直线平行，则，即，解得，
当时，两直线重合，∴．
故选：D．
9．BCD
【分析】依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】解：设第四个顶点为．
对于A选项，当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
对于B选项，当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
对于C选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；
对于D选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；
故选：BCD．
10．ACD
【分析】根据直线、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】倾斜角为时，直线的斜率不存在，A错误.
直线的倾斜角的取值范围是，B正确.
直线斜率是，但直线的倾斜角不是，C错误.
倾斜角为时，直线的斜率不存在，D错误.
故选：ACD
11．AD
【分析】根据实验数据图表逐个分析选项即可.
【详解】分别将原点与图中各点相连.
设线段的斜率为，根据题意有，
即越小，颗粒物过滤效率越高。
由图可知，；
在第2种口罩的4次测试中，最小，所以第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项A正确；
在第1种口罩的4次测试中，最小，所以第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项B错误；
由图知，，所以第3次测试中第2种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项C错误；
，所以第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，选项D正确.
故选：AD.
12．BCD
【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．
【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误.
B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.
C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.
D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.
故选：BCD
13．
【分析】首先求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围；
【详解】解：设点，依题意，．
因为直线与线段有交点，
由图可知直线的斜率的取值范围是．
故答案为：．
14．
【分析】由的几何意义是过两点的直线的斜率，结合图象可得，进而可得结果.
【详解】的几何意义是过两点的直线的斜率，如图所示：
由题知点M在直线上，且，当时，；当时，.设，.又，结合图象可得，
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】本题考查了斜率的几何意义，考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题目.
15．直角
【分析】根据直线斜率关系即得.
【详解】如图，猜想是直角三角形，
由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
16．
【分析】首先求得直线的倾斜角，进而判断出两条直线的夹角在内变动时的倾斜角的取值范围，进而即可求得的取值范围．
【详解】直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有
过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是，，．
的斜率的取值范围是，，，即，，，
故答案为：．
17．（1），（2）或
【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值；
（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程
【详解】解：（1）因为，所以，且，
由，得，解得或（舍去）
所以，
（2）因为点在直线上，
所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，
所以，解得或，
所以直线的方程为或
18．(1)
(2)
【分析】（1）设Q（x，y），根据PQ⊥MN得出，然后由PN∥MQ得出，解方程组即可求出Q的坐标；
（2）设Q（x，0）由∠NQP＝∠NPQ得出kNQ＝﹣kNP，解方程求出Q的坐标，然后即可得出结果.
（1）
设Q（x，y），
由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ＝﹣1 即 （x≠3）①
由已知得kPN＝﹣2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，即（x≠1）②
联立①②求解得x＝0，y＝1，∴Q（0，1）；
（2）
设Q（x，0），
∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝﹣kNP，
又∵kNQ，kNP＝﹣2，∴2 解得x＝1，
∴Q（1，0），又∵M（1，﹣1），∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
19．
【分析】作出图形，利用斜率公式分别求得，，根据题意得到或，即可求解.
【详解】如图所示，因为，，，
可得，，
要使得直线与以、为端点的线段有交点，
设直线的倾斜角为，其中，则满足或，
解得或，即直线的倾斜角的取值范围.
20．(1)或
(2)
【分析】（1）（2）由直线平行与重合的公式列方程组求解.
（1）
由题意，，
得，解得或
当或时，直线和平行.
（2）
由题意，，
得，解得，
当时，直线和重合.
答案第8页，共9页
答案第9页，共9页