函高中数学人教A版必修第一册课件4.5.1 函数的零点与方程的解 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
普通高中课程标准试验
教科书数学A版 人民教育出版社
4.5.1函数的零点与方程的解
隋唐数学家王孝通
7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程的数值解法
北宋数学家贾宪
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法
南宋数学家秦九韶
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法
概念
挪威数学家阿贝尔
19世纪挪威数学家阿贝尔 证明了五次及五次以上代数方程没有根式解。指数方程、对数方程等超越方程也没有求根公式.
概念
普通高中课程标准试验
教科书数学A版 人民教育出版社
4.5.1函数的零点与方程的解
2) 一元二次方程x2－2x－3=0的实数解？
引例1：
函数y=x2－2x－3，问:
3）函数y=x2－2x－3，试问图像与x 轴交点的
横坐标
1) 当x取何值时，y=0？
零点
方程f(x)=0的实数解
函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标
1.函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。
函数y=f(x)的零点
注意： 函数的零点不是点，而是数。
*
*
2.函数的零点与方程的实数解关系
做一做:
函数f(x)=x2-1的零点是(　　)
A.(±1,0) B.(1,0)
C.0 D.±1
解析:解方程x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
答案:D
例1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16;
分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.
(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为2.
f(x)=x2-2x-3
观察1 函数f(x)= x2-2x-3在其零点附近函数值的变化情况.
（1）f(-2)f(1)__0,
<
函数在开区间
（-2，1）内有零点-1；
函数在开区间（1，4）内有零点3；
（2）f(1)f(4)__0,
<
*
*
观察2 函数y=f(x)在其零点附近的函数值的变化情况.
（1）f(a)f(b)__0,
<
函数在开区间（a，b）内有零点；
函数在开区间（b，c）内有零点；
（2）f(b)f(c)__0,
<
函数在开区间（c，d）内有零点；
（3）f(c)f(d)__0,
<
*
*
思考：函数f(x)满足什么样的条件，一定能判断其在
区间（a，b）上一定有零点呢？
函数零点存在定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，
那么，
函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，
这个c就是方程f(x)=0的根.
思考：在满足定理中的条件下，要保证存在唯一的零点，还需要什么条件？
例2.(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x,f(x)对应值表,函数在区间[1,6]上的零点至少有 个
(2)函数y=2x+x的零点所在的区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
1
2
3
4
5
6
2
3.2
-7
11
2
-1
3
B
由f(2)<0,f(3)>0，
则f(2)·f(3)<0，
所以函数在区间(2,3)内有零点.
又函数f(x)在定义(0,+∞)内是增函数，所以函数至多有一个零点；
解法一：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
例3. 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
综上，函数有且仅有一个零点.
*
*
解法二：
例3. 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数。
方程lnx+2x－6=0根的个数
方程lnx=-2x+6根的个数
函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根
函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数
等价于
等价于
等价于
*
*
*
一个关系：函数零点与图象、方程根的关系一个定理：零点存在性定理.
三种题型：
求函数的零点；
求零点所在区间.
判断零点个数；
两种思想：
函数方程思想；
数形结合思想.
函数零点
与方程的解