高中数学人教A版必修第一册4.5.3 函数应用 教案（无答案）

4.5.3　函数模型的应用
【教学目标】
1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)
3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)
【重点难点】
会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2．能建立函数模型解决实际问题．
【教学过程】
一、引导学生分析并整理知识结构
1．常用函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
二、典例分析（课上完成）
【例1】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
【例2】某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝(t∈N*)
设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0【例3】　牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
【例4】某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为s＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少？
注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝
【例5】某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【课堂小结】
1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．
2．解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
【板书设计】
第4章 章末复习课
例1 例2例3 例4
【课后作业】
练习一 班级： 姓名：
必做： 1，2，3,4
选做：5，6
1．思考辨析
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．(　　)
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．(　　)
(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．(　　)
2．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　)
A　 　B　 　C　 　D
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A．y＝0.957 6eq \s\up15()
B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝x
D．y＝1－0.042 4eq \s\up15()
4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　)
A．300只　　　　 B．400只
C．600只 D．700只
5．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
(1)　　　　　　　(2)
6.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
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