数学人教A版（2019）必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式（共33张ppt）

(共33张PPT)
基本不等式
教学目标
1.能利用完全平方公式得出的重要不等式进一步得到基本不等式
2.从几何和代数两角度论证基本不等式，培养学生数形结合的思想、直观想象的学科素养.
3.能初步利用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会不等式成立时的三个限制条件（一正、二定、三相等）在求解最值问题中的作用.
相等关系
等式
等式的基本性质
相等关系自身的特性
等式在运算中的不变性
a＝bb＝a
a＝b，b＝ca＝c
a＝ba±c＝b±c
a＝bac＝bc
a＝b，c≠0＝
不等关系
不等式
不等式的基本性质
不等关系自身的特性
不等式在运算中的不变性
a＞bb＜a
a＞b，b＞ca＞c
a＞ba＋c＞b＋c
a＞b，c＞0ac＞bc；
a＞b，c＜0ac＜bc
两个实数大小关系的基本事实
上节回溯
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
一般地，对于任意实数a，b，我们有：
当且仅当a=b时，等号成立 .
即：
即：
一、基本不等式
一般地，对于任意正实数a，b，我们有：
当且仅当a=b时，等号成立 .
我们把 叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数；
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
当且仅当a=b时，上式中的等号成立。
上面通过考察 a2+b2≥2ab 的特殊情况得到了这个
结论，能不能直接利用不等式的性质推导出这个结
论呢？
用不等式表示为
易证 ACD∽ DCB
二. 的几何解释：
显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a=b时，等号成立 .
过C 作弦DE AB 连接AD，BD ，
设AB 为圆的直径，点C 是AB上一点，
由于CD小于或等于圆的半径，
从而
例1　已知 x＞0，求 x＋ 的最小值．
分析：
求 x＋ 的最小值，就是要求一个 y0 (＝x0＋)，使 x>0，都有 x＋≥ y0．观察 x＋，发现 x · ＝1．联系基本不等式，可以利用正数 x 和 的算术平均数与几何平均数的关系得到 y0＝2．
三.例题讲解
3、用均值不等式，应具备三个条件：
四、归纳小结：
1、重要的不等式
一般地，对于任意实数a，b，我们有：
当且仅当a=b时，等号成立 .
2、基本不等式
一般地，对于任意正实数a，b，我们有：
当且仅当a=b时，等号成立 .
一正二定三相等。
基本不等式
教学目标1. 通过例题，掌握基本不等式及应用，培养学生数学抽象的核心素养；
2. 能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养；
新知导入
回顾基本不等式（代数形式及运用其求最值的使用条件）
对于变形为 当且仅当a=b时，等号成立．
通常我们称不等式1为基本不等式.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
新课探究
例2　已知 x，y 都是正数，求证：
（1） 如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2；
证明：因为 x，y 都是正数，所以 ≥．
（1）当积 xy 等于定值 P 时，≥，所以 x＋y≥2，
当且仅当 x＝y 时，上式等号成立．
于是，当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2．
例2　已知 x，y 都是正数，求证：
（2）如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2．
证明：因为 x，y 都是正数，所以 ≥．
（2）当和 x＋y 等于定值 S 时，≤，所以 xy≤S2，
当且仅当 x＝y 时，上式等号成立．
于是，当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2．
①各项皆为正数；
②和或积为定值；
③注意等号成立的条件.
利用基本不等式求最值时，要注意
基本不等式与最值
一“正”二“定”三“相等”
例题讲解
例1：已知x、y都是正数，求证：
≥2
（1）
（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥8x3y3
（2）
例2：
（1）若x>0，求函数 的最小值，并求此时x的值
（2）设 ，求函数 的最大值
课堂小结
本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？
基本不等式
教学目标1. 通过实例，掌握基本不等式及应用，培养学生数学抽象的核心素养；
2. 能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养；
3. 会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养。
运用基本不等式求最值的三个条件：
例3 (1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问
这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
分析：对于(1)，矩形菜园的面积是确定的，长和宽没
有确定. 若长和宽确定了, 篱笆的长也就确定了.
因此我们要解决的问题是: 当面积确定时，长和
宽取什么值时篱笆最短？
解：设矩形菜园的长为xm ，宽为ym ，
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
此时x=y=10.
篱笆的长为2(x+y)m.
当且仅当x=y时，等号成立
例3 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这
个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，
最大面积是多少
分析：对于(2)，矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定. 若长和宽确定了, 矩形菜园的面积也就确定了.
因此我们要解决的问题是: 当周长确定时，长和
宽取什么值时篱笆围成的矩形面积最大？
解：设矩形菜园的长为xm ，宽为ym ，
矩形菜园的面积为xy m2
当且仅当x=y时，即x=y=9，等号成立 .
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2 .
即 x + y =18，
例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：水池呈长方体，它的高为3m，底面的长和宽没有确定.
因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.
如果底面的长和宽确定了，水池总造价也就确定了.
解：设水池底面一边的长度为xm，宽为ym，水池总造价为z元，
由基本不等式，得
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。
课内练习
1.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
建模基本不等式解决实际问题的解题思维流程:(1) 找到解题切入点；(2) 字母表示相关量；(3) 找出已知隐含的“和定值”或“积定值”；(4) 根据目标量表达式的结构特点，观察目标量是否由对应的“积”或“和”决定，进而决定是否应用基本不等式(或变式)解决问题.
课堂小结：你能说一说今天有什么收获吗？