高中数学人教A版必修第一册课件5.1.1任意角 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
第一章 三角函数
1.1.1 任意角的概念
1、角的概念
初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
初中学过的角的范围是：0 至 360 。
然而生活中有很多实例的角会不在该范围：
体操运动员转体720 （即“转体2周”），跳水运动员向内、向外转体1080 （“转体3周”）；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
这些例子中有的角不仅不在范围：0 至 360 ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，那么用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”、“零角”
我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0 ）．此时零角的始边与终边重合。
角的记法：角α或可以简记成∠α，或简记为： α.
如∠α=-1500 ， α=00， α=6600 等等……
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
① 角有正负之分; 如： =210 , = 150 , =660 .
② 角可以任意大;
实例：体操动作：旋转2周（360 ×2=720 ） 3周（360 ×3=1080 ）
③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素：
旋转中心、旋转方向和旋转量
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360 ，角度的绝对值可大于360 .于是就会出现720 ， － 540 等角度.
3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：轴线角）
例1：30 、390 、 330 是第几象限角？
4．终边相同的角
⑴ 观察：390 ， 330 角，它们的终边都与30 角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)个周角的和：
390 =30 +360 (k=1), 330 =30 360 (k=－1)
30 =30 +0×360 (k=0), 1470 =30 +4×360 (k=4)
1770 =30 5×360 (k=－5)
⑶ 结论：
所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360 ， k∈Z}
即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和。
⑷注意以下四点：
① k∈Z，
K > 0，表示逆时针旋转，
K < 0,表示顺时针旋转.
② 是任意角；
③ k·360 与 之间是“+”号，如k·360 －30 ,应看成(－30 )+ k·360 ；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360 的整数倍.
所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合：
{β| β=α+k·360 ， k∈Z}
即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和。
例2. 在0 ~360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120 ；(2) 640 ；(3) －950 12′.
解：⑴∵－120 =240 +（-1）×360 ，
∴ －120 的角与 240 的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵ ∵640 =280 +1 × 360 ，
∴ 640 的角与 280 的角终边相同，
它是第四象限角．
即：[00,3600)
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360 ~720 间的角写出来：
(1) 60 ；(2) －21 ；(3) 363 14′.
解：(1) S={β| β=60 +k·360 ，k∈Z },
S中在－360 ～720 间的角是
0×360 +60 =60 ；
－1×360 +60 =－300 ；
1×360 +60 =420 ．
(2) S={β| β= －21 +k·360 ，k∈Z }
S中在－360 ～720 间的角是
0×360 －21 =－21 ；
1×360 －21 =339 ；
2×360 －21 =699 ．
(3) S=｛β| β= 363 14’ +k·360 ，k∈Z }
S中在－360 ～720 间的角是
0×360 +363 14’=363 14’；
－1×360 +363 14’=3 14’；
－2×360 +363 14’=－356 46’．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360 ~720 间的角写出来：
(1) 60 ；(2) －21 ；(3) 363 14′.
课堂练习
1、下列说法中，正确的是（）
A、第一象限的角一定是锐角
B、锐角一定是第一象限的角
C、小于900的角一定是锐角
D、第一象限的角一定是正角
2、-500的角的终边在（）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
3、一角为300，其终边按逆时针方向旋转两周后的角度数为 。
4、已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
　　(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．
5、分针一分钟转过的角度是 度；时针一小时转过的角度是 度；时针一昼夜转过的角度是 度。