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九年级数学上册《23.1图形的旋转》课时训练
一、选择题
1．（2021九上·海曙期末）如图， 在 中， ， 以点 为旋转中心， 将 绕点 逆时针旋转得到 ， 点 的对应点分别为 ， 连接 ， 若 ， 则 的值是( )
A． B． C． D．
2．（2021九上·普陀期末）如图，若正六边形 绕着中心 旋转角 得到的图形与原来的图形重合，则 最小值为（ ）
A．180° B．120° C．90° D．60°
3．（2021九上·澄海期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，若∠AOB＝25°，则的度数是（ ）
A．25° B．35° C．40° D．85°
4．（2021九上·无棣期末）如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得到正方形，DB的延长线交EF于点H，则的大小为（ ）
A．76 B．97 C．90 D．114
5．（2021九上·吴兴期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点在方格线的格点上，将AB 绕点 P 顺时针方向旋转 90°，得到线段A′B′，则点 P 的坐标为（ ）
A．(1，2) B．(1，4) C．(0，4) D．(2，1)
6．（2021九上·阳东期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2020的坐标为（ ）
A．(﹣1，1) B．(，0) C．(﹣1，﹣1) D．(0，)
7．（2021九上·宜春期末）如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形．此时点A的对应点恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点之间的距离为（ ）
A．3 B．6 C． D．
8．（2021九上·道里期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，连接BB'，则BB'的长度是（ ）
A．1 B．3 C． D．2
9．（2021九上·天河期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕顶点C逆时针旋转得到Rt△A'B'C，M是BC的中点，P是A′B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值为（ ）．
A．2.5 B．2+ C．3 D．4
10．（2021九上·富裕期末）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A′，且AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．8 D．
11．（2021九上·惠来月考）如图，在正方形中，顶点在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2020次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021九上·岫岩期中）如图， 中， ， ， ，点 是 边上的一个动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则在点 运动过程中，线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13 14 15
13．（2021九上·潮安期末）如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是 ．
14．（2021九上·长沙月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，延长CB交B′C′于点D，若∠BAB′＝40°，则∠C′DC的度数是 °.
15．（2020九上·武汉期中）如图，将 绕顶点 逆时针旋转角度 得到 ，且点 刚好落在 上.若 ， ，则 .
16 17 18
16．（2021九上·红桥期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小为 （度）．
17．（2021九上·临海期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB上一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接PQ，AQ，则△PAQ面积的最大值为 .
18．（2021九上·南宁期中）已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝ .
三、作图题
19．（2021九上·伊通期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
⑴把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
⑵把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
⑶观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
四、解答题
20．（2021九上·天河期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′AB，求∠CC'A的度数．
21．（2021九上·旅顺口期中）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
22．（2021九上·郯城期中）如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
求证：AM=EN．
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九年级数学上册《23.1图形的旋转》课时训练
一、选择题
1．（2021九上·海曙期末）如图， 在 中， ， 以点 为旋转中心， 将 绕点 逆时针旋转得到 ， 点 的对应点分别为 ， 连接 ， 若 ， 则 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE=75°；
∵ 以点 为旋转中心， 将 绕点 逆时针旋转得到 ，
∴AE=AC，
∴∠AEC=∠ECA=75°；
∴∠CAE=180°-2×75°=30°.
2．（2021九上·普陀期末）如图，若正六边形 绕着中心 旋转角 得到的图形与原来的图形重合，则 最小值为（ ）
A．180° B．120° C．90° D．60°
【答案】D
【解析】解：∵正六边形的中心角为360°÷6=60°，正六边形是中心对称图形，
∴ 正六边形ABCDEF 绕着中心O旋转角至少旋转60°得到的图形与原来的图形重合，
∴α的最小值为60°.
3．（2021九上·澄海期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，若∠AOB＝25°，则的度数是（ ）
A．25° B．35° C．40° D．85°
【答案】B
【解析】∵绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，
∴，
又∵
∴，
4．（2021九上·无棣期末）如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得到正方形，DB的延长线交EF于点H，则的大小为（ ）
A．76 B．97 C．90 D．114
【答案】B
【解析】根据旋转的性质，得∠BAE=38°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=45°，∠ABH=135°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠E=90°，
∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°，
5．（2021九上·吴兴期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点在方格线的格点上，将AB 绕点 P 顺时针方向旋转 90°，得到线段A′B′，则点 P 的坐标为（ ）
A．(1，2) B．(1，4) C．(0，4) D．(2，1)
【答案】A
【解析】解：如图，连接AA′，BB′，作AA′，BB′的垂直平分线相交于点P，
∴点P的坐标为（1，2）.
6．（2021九上·阳东期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2020的坐标为（ ）
A．(﹣1，1) B．(，0) C．(﹣1，﹣1) D．(0，)
【答案】C
【解析】解：连接OB，
∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0），
∴OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴B（1，1），
由勾股定理得：，
由旋转性质得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针连续旋转45°，相当于将OB绕点O逆时针连续旋转45°，
∴依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1（0，），B2（－1，1），B2(－，0)，B4（－1，－1），B5（0，－），B6（1，－1），B7（，0），B8（1，1），……，
发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，
∵2020=8×252+4，
∴点B2020与点B4重合，
∴点B2020的坐标为（－1，－1），
7．（2021九上·宜春期末）如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形．此时点A的对应点恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点之间的距离为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】解：连接，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，
∵点是AC的中点， ∴，
∵将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴∠BAA'=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AB=3， ∴AC=2AB=6，
∴．
即点B与点之间的距离为6．
8．（2021九上·道里期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，连接BB'，则BB'的长度是（ ）
A．1 B．3 C． D．2
【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝，
∴∠BAC=90°－∠ABC=60°，AB=2AC=2，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，
∴∠BAB'=∠BAC=60°，AB=AB'，
∴△ABB'是等边三角形，
∴BB'=AB=2，
9．（2021九上·天河期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕顶点C逆时针旋转得到Rt△A'B'C，M是BC的中点，P是A′B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值为（ ）．
A．2.5 B．2+ C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：如图，连接PC
在中，，
∴
∵将绕顶点C逆时针旋转得到
∴也是直角三角形，且
∵P是的中点，
∴
∵M是BC的中点
∴
则由三角形的三边关系定理得：
即
当点P恰好在的延长线上时，
当点P恰好在的延长线上时，
综上，
则线段PM的最大值为3
10．（2021九上·富裕期末）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A′，且AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【解析】解：由题意可得，阴影部分的面积为扇形的面积，
由旋转的性质可得，，
，
11．（2021九上·惠来月考）如图，在正方形中，顶点在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2020次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵点的坐标为，
∴，
由正方形的性质，得，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
由题，可知旋转为每8次一个循环，，
∴第2020次旋转结束时，点与点关于原点对称，
∴，
12．（2021九上·岫岩期中）如图， 中， ， ， ，点 是 边上的一个动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则在点 运动过程中，线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠ABC=60°，
∵AT=TB，
∴BC=BT，
∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ，
∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ，
∴△TBP≌△CBQ（SAS），
∴CQ=PT，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH= AT= AB=5，
∴CQ的最小值为5．
二、填空题
13．（2021九上·潮安期末）如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是 ．
【答案】70°
【解析】解：∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，
∴∠ABC=∠A′BC′=40°，AB=A′B，
∴△AA′B等腰三角形，
∴.
14．（2021九上·长沙月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，延长CB交B′C′于点D，若∠BAB′＝40°，则∠C′DC的度数是 °.
【答案】40
【解析】解：
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，
∴∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，
∵∠BAB'＝40°，
∴∠CAC′＝40°，
∵∠C'DC＝180°﹣∠DEC′﹣∠C′，∠CAC′＝180°﹣C﹣∠AEC，∠DEC′＝∠AEC，
∴∠C′DC＝∠CAC′＝40°.
15．（2020九上·武汉期中）如图，将 绕顶点 逆时针旋转角度 得到 ，且点 刚好落在 上.若 ， ，则 .
【答案】28
【解析】解：∵△ABC绕顶点C逆时针选转角度α得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上.∠A＝34°，∠BCA′＝42°，
∴∠A＝∠A′＝34°，CB＝CB′.
∴∠CBB′＝∠A′＋∠BCA′＝76°.
∴∠CB′B＝∠CBB′＝76°.
∴∠BCB′＝28°.
即α等于28°.
16．（2021九上·红桥期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小为 （度）．
【答案】20
【解析】∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，
∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，
∴∠DAD′=90°-70°=20°，
即α=20°．
17．（2021九上·临海期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB上一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接PQ，AQ，则△PAQ面积的最大值为 .
【答案】1
【解析】解：如图，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，
∴∠PCQ=90°，CP=CQ，
∴∠ACP+∠ACQ=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACP=90°，
∴∠BCP=∠ACP，
∵AC=BC，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴∠B=∠CAQ，BP=AQ，
∵BC=AC=2，
∴∠B=∠CAQ=∠BAC=45°，
∴∠PAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB= ，
设BP=AQ=x，则 ，
∴ ，
∵ ，函数开口向下，函数有最大值，
当 时， .
18．（2021九上·南宁期中）已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝ .
【答案】
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F.如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°.
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝ AP＝ ，PF＝ AP＝ .
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+ ）2+（ ）2＝25+12 .
∴△ABC的面积＝ AB2＝ （25+12 ）＝ ；
三、作图题
19．（2021九上·伊通期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
⑴把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
⑵把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
⑶观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
【答案】（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，
如图所示，分别确定旋转后的对应点，
得到A2B2C2即为所求；
四、解答题
20．（2021九上·天河期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′AB，求∠CC'A的度数．
【答案】解：∵，
∴∠ACC′=∠CAB=70°，
∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，
在△ACC′中，∵AC=AC′
∴∠ACC′=∠CC'A =70°，
21．（2021九上·旅顺口期中）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
【答案】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC＝180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E+20°，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE
∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，
即45°+70°+∠ADC＝180°，
解得：∠ADC＝65°，
22．（2021九上·郯城期中）如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
求证：AM=EN．
【答案】解：由旋转的性质可知：BN=BM，BA=BE．
∵△BAE为等边三角形，∴∠EBA=60°．
又∵∠MBN=60°，∴∠NBE=∠MBA．
在△AMB和△ENB中，∵BN=BM，∠NBE=∠MBA，BA=BE
∴△AMB≌△ENB
∴AM=EN．
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