数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共44张ppt）

(共44张PPT)
3.1.1 椭圆及其标准方程
第一课时
第三章 圆锥曲线的方程
1.了解椭圆的实际背景，理解从具体情境中抽象出椭圆的过程.
2.通过对椭圆标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想.
3.掌握椭圆的定义与标准方程．（重点、难点）
学习目标
复习引入
圆的定义是什么？
平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆。
圆的标准方程是什么？

把圆”压扁“得到什么图形
——“传说中的”飞碟
太阳系行星的运动
探究一：椭圆的定义
实验2：把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1,F2（要求绳长要大于两定点的距离），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
实验1 取出事先准备好的一条定长的细绳和一个图板，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖是一个动点，笔尖画出的轨迹是一个图形？
课前准备：一根直尺，两个图钉，一根绳子,一只铅笔
圆
椭圆
数学实验
(1)取一条细绳，
(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2,
(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形.
探究一：椭圆的定义
说明：(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离和是个定值；
根据上面的内容你能给
出椭圆的定义吗？
思考1：①在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
②在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
③在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
(2)点M到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离。
探究一：椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。
思考2：若动点M与两个定点F1,F2的距离的和等于|F1F2|， 动点的轨迹是什么？
线段F1F2
思考3：若动点M与两个定点F1,F2的距离的和小于|F1F2|，动点的轨迹是什么？
轨迹不存在
F2
F1
M
符号表述为：{M||MF1| +| MF2|= 2a ,2a> |F1F2|}
说明：椭圆的定义的正逆用：一方面，符合定义条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．
探究一：椭圆的定义
例1、下列说法正确的是(　　)
A.到F1(-3,0),F2(3,0)两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；
B.到F1(-3,0),F2(3,0)两点的距离之和为4的点的轨迹是椭圆；
C.到F1(-3,0),F2(3,0)两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆；
D.到F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹是椭圆。
解析:A 线段F1F2; B 轨迹不存在; C,根据椭圆的定义,知轨迹是椭圆;D中,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。
C
探究二：探讨建立平面直角坐标系的方案
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
O
x
y
建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性。
1.建系：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。
2.设点：设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a(a>0)，则F1(—c,0)、F2(c,0)。
3.列式：由定义知：
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
y
c
x
MF
y
c
x
MF
+
-
=
+
+
=
∵
(
)
(
)
a
y
c
x
y
c
x
2
2
2
2
2
=
+
-
+
+
+
4.化简：将方程移项后平方得：
两边再平方得：
探究三、椭圆标准方程的推导:
由椭圆定义知：2a＞2c，即a＞c，a2－c2＞0
两边同除以 a2b2得：
这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。
它也是椭圆的标准方程。
理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点.
设参量b的意义：①便于写出椭圆的标准方程；②a，b，c的关系有明显的几何意义，a2=b2+c2（b＞0）
设a2—c2=b2（b＞0） 得
b2x2+a2y2=a2b2
若椭圆焦点F1(0,—c)，F2(0,c)在y轴上，因为这时x轴与y轴交换，所以只要把方程中的x,y互换即可得方程:
y
x
o
F
2
F
1
M
观察下图，你能从中找出表示a，b，c的线段吗？
探究四：椭圆中a,b,c的意义
a、b、c都有特定的意义：
a — 椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；
c — 半焦距.有关系式a2=b2+c2成立。
a
b
c
y
o
F1
F
P
x
a
b
c
方
程
特
点
（2）在椭圆两种标准方程中，总有a＞b＞0；(a最大）
（4）a、b、c都有特定的意义：
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；
c—半焦距.有关系式a2=b2+c2成立。
探究五：解读椭圆的两个标准方程
（3）焦点在分母大的变量所对应的那个轴上；“谁大在谁上”。
（1）方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1；
y
x
o
F
2
F
1
M
y
o
F
1
F
2
M
x
x轴，焦点坐标为（-3，0）和（3，0）
例2、判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。
y 轴，焦点坐标为（0，-2）和（0，2）
判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：
哪个分母大,焦点就在哪条轴上，大的分母就是a2.
口诀：椭圆方程有特点,系数为正加相连，
分母较大定焦点,右边数“1”记心间。
将方程化成标准方程为：
a2=16，b2=8，
所以椭圆的焦点为:
焦点在y 轴上
求椭圆的标准方程的步骤：
1.确定焦点在那条轴上；
2.设出椭圆的标准方程；
3.用待定系数法或定义法求出a、b（或a2，b2）的值，
写出椭圆的标准方程.
解： 2a=10,2c=8， a=5，c=4.
b2=a2—c2=52—42=9
因为椭圆的焦点在x轴上,所以它的标准方程为:
例3、已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10, 求该椭圆的标准方程.
一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值.
例4、已知椭圆两个焦点的坐标分别是(—2,0),(2,0),并且椭圆经过点
求它的标准方程
分析:求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a,b的值
例5、
解：
平面内到两个定点F1，F2的距离和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
a2=b2+c2（a最大）
看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
小结：
作业：p109练习1、2
3.1.1 椭圆及其标准方程
第二课时
第三章 圆锥曲线的方程
1.了解椭圆的实际背景，理解从具体情境中抽象出椭圆的过程.
2.通过对椭圆标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想.
3.掌握椭圆的定义与标准方程．（重点、难点）
学习目标
平面内到两个定点F1，F2的距离和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹，两焦点间的距离|F1F2|叫做焦距。
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
a2=b2+c2（a最大）
看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
复习回顾1：
方
程
特
点
（2）在椭圆两种标准方程中，总有a＞b＞0；(a最大）
（4）a、b、c都有特定的意义：
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；
c—半焦距.有关系式a2=b2+c2成立。
复习回顾2：椭圆的两个标准方程
（3）焦点在分母大的变量所对应的那个轴上；“谁大在谁上”。
（1）方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1；
y
x
o
F
2
F
1
M
y
o
F
1
F
2
M
x
求椭圆标准方程的方法：
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．　
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a＞b＞0这一条件．
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，可把椭圆的方程设成
mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n) (统一方程）
有两个优点：①列出的方程组中分母不含分母；
②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
课前练习1、下列方程哪些表示椭圆？

D
例2、如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（当P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合。）
y
x
o
将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆.
分析：点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M运动，则称点P是点M的相关点，我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程。
探究一：求轨迹方程的方法——相关点法
所以点M的轨迹是椭圆.
o
x
y
P
M
D
寻求点M的坐标(x，y)中x，y与x0，y0之间的关系，然后消去x0，y0，得到点M的轨迹方程。这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法.称为相关点法（或代点法）
解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则点D的坐标为（x0，0）.
由点M是线段PD的中点，得
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x0，y0).
(3)代换：将上述关系式代入点P所在的曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.
说明：（相关点法或代点法）如果一个动点M随着另一个在已知曲线上运动的动点P（相关点）而运动，则求M点的轨迹方程时一般用代点法来求解.基本步骤为：
(2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标；
例3、如图,设点Ａ，Ｂ的坐标分别为(—5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点Ｍ，且它们的斜率之积是　，求点Ｍ的轨迹方程．
分析:把题目条件直接用x，y表示出来,x，y之间的关系式就显示出来了.
变式：课本P109 T4
点M的轨迹是除去(—5,0)，(5,0)两点的椭圆.
探究二：求轨迹方程的方法——直接法
求轨迹方程的常用方法
1．直接法
根据已知条件直接列出动点满足的关系式，进而求得轨迹方程
2．定义法
熟练掌握一些常用图形轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线等，利用
定义求得轨迹方程
3．相关点代入法
某个动点P在已知方程的曲线上移动，另一个动点M随着P的变化而变化，这两个点具有相关性
探究三：利用椭圆的标准方程求参数的取值范围
探究四：椭圆中的焦点三角形问题
例5 椭圆 ，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右
焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,
称之为椭圆的焦点三角形。
例6 椭圆 ，点P在椭圆上运动，F1，F2是椭圆的左、右焦点，
则 的最大值为是（ ）
y
o
F
1
F
2
P(x0,y0)
x
性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2c。
性质二：若椭圆方程为
两焦点分别为F1,F2,设焦点△PF1F2中∠F1PF2=θ，P点的坐标为(x0,y0)，则焦点△PF1F2的面积为
θ
总结：椭圆中的焦点三角形有关的性质
M
N
三
性质二证明:
y
o
F
1
F
2
P(x0,y0)
x
另过P点作x轴的垂线，y0是焦点△PF1F2底边F1F2上的高，
所以焦点△PF1F2的面积=
结论（1）
（2）当P点在椭圆与y轴的交点时，焦点三角形面积最大为bc。
θ
性质四：当点P从右至左运动时，∠F1PF2=θ由锐角变成直角，又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角，再变成锐角，并且发现当点P与椭圆与y轴的交点重合时，∠F1PF2达到最大。
证明:
当且仅当m=n，即P与椭圆与y轴的交点重合时，“=”成立，此时cosθ取的最小值，而角θ取得最大值。
y
o
F
1
F
2
P(x0,y0)
x
作业布置：课本P109：练习1--4