2022-2023学年苏科版八年级数学上册2.4 线段、角的轴对称性 解答专项练习题（含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）请说明AE＝AF的理由；
（2）若AB﹣AC＝2，CF＝1，求线段BE的长．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，MP垂直平分AB，分别交AB、BC于点M、P，NQ垂直平分AC，分别交AC．BC于点N、Q，连接AP、AQ，求∠PAQ的度数．
4．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，AE＝AF，那么AD是∠BAC的平分线吗？请补充完成下列说明过程并在括号内填注依据．
解：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠4＝90°，∠5＝90°（ 　 　）．
∴∠4＝∠5（等量代换）．
∴AD∥EG（ 　 　）．
∴∠1＝∠E（ 　 　），∠2＝　 　（两直线平行，内错角相等）．
又∵　 　（已知），
∴∠3＝∠E（ 　 　）．
∴∠1＝∠2（ 　 　）．
∴AD平分∠BAC（ 　 　）．
5．如图，已知△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30° ，以A 为圆心，任意长为半径画弧交边AB，AC 于点M 和N ，再分别以M、N 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D．
（1）求证：点D 在线段AB 的垂直平分线上；
（2）若△ACD 的面积为3，求△ADB 的面积．
6．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，∠B＝60°，∠C＝26°，求∠FAE的度数．
7．如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积．
8．如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．
（1）OD与OE是否相等．请说明理由；
（2）若△ABC的周长是30，且OF＝3，求△ABC的面积．
9．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为18m，求AB的长；
（2）若∠NCM＝50°，求∠F的度数．
10．已知△ABC中∠BAC＝120°，BC＝26，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB，AC分别交于点D、G．
求：（1）直接写出∠B与∠C的角度之和．
（2）求∠EAF的度数．
（3）求△AEF的周长．
11．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，分别交边AC，AB于点D，点E，CE平分∠ACB．
（1）若AB＝9，BC＝5，求△BCE的周长；
（2）设∠A＝α，∠B＝β，试用含α的式子表示β，再求当α＝28°时，β的值．
12．如图，CD是∠ACE的平分线．DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若BC＝3cm，AC＝5cm，则CE＝　 　．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求线段DE的长．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．
15．阅读材料：学行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填．
想法一：如图④，由图②中的折叠可知，PE⊥AB，由图③中的折叠可知，PE⊥CD，则AB∥CD，依据是 　 　．
想法二：如图④，由图②中的折叠可知，∠1＝90°，由图③中的折叠可知∠2＝90°，则∠1＝∠2，所以AB∥CD，依据是 　 　．
解决问题：如图⑤，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．
16．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD是∠ABC的角平分线．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若DE⊥AB于点E，AC＝6，求AE的长．
17．我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．
如图，已知△ABC的角平分线BD交边AC于点D．
（1）求证：＝；
（2）求证：＝；
（3）如果BC＝4，AB＝6，AC＝5，那么CD＝　 　．
18．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
19．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N．连接AE、AN．
（1）求∠EAN的度数；
（2）若△AEN的周长为15，求BC的长．
参考答案
1．（1）解：∵AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∵∠CPB＝30°，
∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD＝∠DAB＝30°；
（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE＝PD，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴P是线段CD的中点．
2．解：（1）∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF；
（2）∵AE＝AF，
即AB﹣BE＝AC﹣CF，
∴BE＝AB﹣AC+CF＝2+1＝3．
3．解：∵在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴PA＝PB，AQ＝CQ，
∴∠PAB＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∵∠BAC＝105°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝75°，
∴∠PAB+∠CAQ＝75°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠CAQ）＝105°﹣75°＝30°．
4．解：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠4＝90°，∠5＝90°（垂直的定义），
∴∠4＝∠5（等量代换），
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵AE＝AF（已知），
∴∠3＝∠E（等边对等角），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠1；等边对等角；等量代换；角平分线的定义．
5．（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30° ，
∴∠CAB＝60°，
根据作图方法可知，AD 是∠CAB 的角平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D 在线段AB 的垂直平分线上；
（2）在△ACD中，∠CAD＝30°，∠C＝90°，
∴CD＝AD，
∵AD＝BD，
∴CD＝BD，
∴S△ABD＝2S△ACD＝6 ．
6．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝26°，
∵∠B＝60°，∠C＝26°，
∴∠BAC＝180°﹣26°﹣60°＝94°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAC＝∠BAC＝47°，
∴∠FAE＝21°．
7．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AG⊥EF，EG＝FG，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
∵DE＝3，
∴DF＝3，
∵AB+AC＝10，
∴△ABC的面积＝
＝
＝15．
8．解：（1）OD＝OE，
理由：∵O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OD＝OF，OF＝OE，
∴OD＝OE；
（2）连接OA，
∴△ABC的面积＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB OD+BC OF+AC OE，
∵OE＝OD＝OF，
∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC） OF＝×30×3＝45．
9．（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA＝MC，BN＝CN，
∵△CMN的周长为18m，
∴CM+MN+CN＝18m，
∴AB＝AM+MN+BN＝CM+MN+CN＝18m；
（2）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA＝MC，BN＝CN，
∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，
∵∠A+∠B+∠ACB＝∠A+∠B+∠NCB+∠NCM+∠MCA＝180°，
∴2∠A+2∠B+∠NCM＝180°，
即2∠A+2∠B+50°＝180°，
∴∠A+∠B＝65°，
∵DM⊥AC，EN⊥BC，
∴∠A+∠AMD＝90°，∠B+∠BNE＝90°，
∴∠AMD+∠BNE＝90°+90°﹣65°＝115°，
∵∠NMF＝∠AMD，∠MNF＝∠BNE，
∴∠NMF+∠MNF＝115°，
∴∠F＝180°﹣（∠NMF+∠MNF）＝180°﹣115°＝65°．
10．解：（1）∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝180°﹣120°＝60°；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE，
∵FG垂直平分AC，
∴∠C＝∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC＝∠B+∠C＝60°，
∴∠EAF＝120°﹣60°＝60°；
（3）∵BC＝26，
∴BE+FE+FC＝26，
∵EB＝AE，AF＝FC，
∴EA+AF+EF＝26，
∴△AEF的周长为26．
11．解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝14；
（2）∵EA＝EC，
∴∠ECA＝∠A＝α，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ECA＝α，
∴β＝180°﹣3α，
当α＝28°时，β＝180°﹣3×28°＝96°．
12．（1）证明：连接AD，BD，
∵PD垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵CD平分∠ACE，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AFD＝∠BED＝90°，
在Rt△ADF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△BDE（HL），
∴AF＝BE；
（2）解：设CE＝CF＝x，则AF＝AC﹣CF＝5﹣x，BE＝BC+CE＝3+x，
∵AF＝BE，
∴5﹣x＝3+x，
∴x＝1，
∴CE＝1cm．
故答案为：1cm．
13．解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝4﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴22+（4﹣x）2＝12+x2，
解得：x＝，
则DE＝．
14．解：（1）∠ABC的平分线如图所示．
（2）作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3，
∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABD＝BC CD+AB DH＝×3BC+3AB＝（BC+AB）＝3×16＝24．
15．解：阅读材料：想法一：PE⊥AB，PE⊥CD，
∴AB∥CD （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
想法二：由图②中的折叠得，PE⊥AB，
∴∠1＝90°，
由图③中的折叠得，PE⊥CD，
∴∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴AB∥CD （同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行；
解决问题：证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，
∴AD∥EG，
∴∠1＝∠2，∠E＝∠3，
又∵∠E＝∠1，
∴∠2＝∠3，
∴AD平分∠BAC．
16．解：（1）∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°；
（2）∵∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC＝6，
∵∠ABD＝∠A＝36°，
∴AD＝BD，
∵DE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝AC＝3．
17．（1）证明：作DF⊥BC于F点，作DH⊥AB于H点，如图，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴DF＝DH，
∴＝＝；
（2）证明：作BE⊥CA于E点，如图，
∵＝＝，
∵＝；
∴＝；
（3）解：∵＝，
∴＝＝，
∴＝，即＝，
∴CD＝AC＝×5＝2．
故答案为：2．
18．解：（1）∵l1垂直平分AB，
∴DB＝DA，
同理EA＝EC，
∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝10；
（2）点O在边BC的垂直平分线上，
理由：连接AO，BO，CO，
∵l1与l2是AB，AC的垂直平分线，
∴AO＝BO，CO＝AO，
∴OB＝OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
19．解：如图：
点C即为所求作的点．
20．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAN＝110°﹣70°＝40°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
同理AN＝CN，
∵△AEN的周长为15，
∴AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC＝15．
故答案为：15．