2022-2023学年人教版数学八年级上册 13.4课题学习 最短路径问题 同步自主提升训练题 （含解析）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.4课题学习 最短路径问题》
同步自主提升训练题（附答案）
一．轴对称-最短路线问题
1．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　）
A．B．C．D．
2．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
5．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
6．如图，已知∠MON＝60°，P为∠MON内一点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　）度．
A．40 B．60 C．100 D．120
7．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（　　）
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6．若点P在∠ACB的角平分线所在的直线l上，那么|AP﹣BP|的最大值为　 　．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC+FG的最小值为 　 　．
10．如图，已知∠MON＝50°，P为∠MON内一定点，点A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时，则∠APB度数是　 　．
11．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为　 　cm．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为 　 　．
13．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一动点，连PC、PD，则PD+PC的最小值为　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　 　．
15．在△ABC中，∠A＝50°，点O为△ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当△OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为 　 　度．
16．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝5cm，∠BCD+∠CDA＝150°．延长CB、DA交于E点，且B恰好为EC中点．P、Q分别是线段AD、EC上的动点，则CP+PQ最小值是 　 　cm．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为　 　．
18．如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小，画出图形并证明．
19．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝6，AC＝4，BC＝7，
（1）求PA+PB的最小值，并说明理由；
（2）求△APC周长的最小值．
20．如图，已知△ABC的面积为10，BC＝5，∠A＝30°，点D，E，F分别是边AB、BC、AC上的动点，求△DEF周长的最小值．
参考答案
一．轴对称-最短路线问题
1．解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
2．解：过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′
∵BD平分∠ABC，N，N′关于BD对称，
∴点N′在BA上，MN＝MN′，
∴CM+MN＝CM+MN′≥CE，
∴当点C，M，N′共线，且与CE重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，
∴×4 CE＝8，
∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．
故选：B．
3．解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
4．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，
∵等边△ABC中，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF＝BF，
即BF+EF＝CF+EF＝CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
在△ADB和△CEB中，
∵，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD＝5，
即BF+EF＝5，
故选：B．
5．解：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF＝∠ACB＝30°，
故选：C．
6．解：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣60°＝120°，
∴∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝60°，
∴∠APB＝120°﹣60°＝60°．
故选：B．
7．解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故选：B．
8．解：如图，在线段CB上取点A'，使得CA'＝CA，
∵点P在∠ACB的角平分线所在的直线l上，
∴∠ACP＝∠A'CP，
在△ACP和△A'CP中，
∴△ACP≌△A'CP（SAS），
∴AP＝A'P，
∴|AP﹣BP|＝|AP'﹣BP|．
∵BC＝8，AC＝6．
∴A'B＝BC﹣CA'＝BC﹣CA＝8﹣6＝2，
∵在△PA'B中，BP﹣AP'＜A'B，
∴BP﹣AP'＜2，
∵当P、A'、B在同一直线上时，BP﹣AP'取最大值A'B＝2，
∴|AP﹣BP|＝|AP'﹣BP|≤2
∴|AP﹣BP|的最大值为2．
故答案为：2
9．解：如图，连接AG，CF，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴＝20，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
10．解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，
还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，
而∠MON＝50°，
∴∠P1OP2＝100°，
∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，
∴∠APB＝2×40°＝80°．
故答案为：80°．
11．解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．
12．解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC＝×BC×AF＝10，
∵BC＝4，
∴AF＝5，
∴△PBF周长＝AF+FB＝5+2＝7，
∴△PBF周长的最小值为7，
故答案为7．
13．解：如图，连接BP，
∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB＝AC，
∴AP垂直平分BC，
∴CP＝BP，
∴PD+PC＝PD+PB，
∴当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，
又∵△ABD是等边三角形，AB＝BD＝4，
∴PD+PC的最小值为4，
故答案为：4．
14．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC AD＝AC BQ，
∴BQ＝＝＝9.6．
故答案为：9.6．
15．解：作点O关于AC的对称点O'，作点O关于AB的对称点O''，连结O'O''，
∵AC⊥OO'，AB⊥OO''，OM＝O'M，ON＝O''N，
∴O'P＝OP，O''Q＝OQ，
当O'，P，Q，O''四点共线时，
△OPQ的周长最小，
即OP+OQ+PQ＝O'P+O''Q+PQ＝O'O''，
此时∠POQ＝180°﹣∠OPQA﹣∠OQP＝180°﹣2∠O'﹣2∠O''，
∵∠A＝50°∴∠APQ+∠AQP＝180°﹣50°＝130°，
∴∠O'PM+∠O''QN＝130°，
∴90°﹣∠O'+90°﹣∠O''＝130°，
∴∠O'+∠O''＝50°，
∴∠POQ＝180°﹣2（∠O'+∠O''）＝180°﹣2×50°＝80°．
故答案为：80．
16．解：如图，作点C关于DE的对称点F，连接CF，EF，则EC＝EF，
∵∠BCD+∠CDA＝150°，
∴∠DEC＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
连接CP，PF，PQ，则CP＝FP，
∴CP+QP＝FP+PQ，
∴当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EC时，CP+PQ的最小值为FQ的长，
此时，Q为EC的中点，故与A重合，
∵AB⊥BC，AB＝5cm，
∴BE＝5cm，
∴Rt△QEF中，FQ＝BE＝15（cm），
∴CP+PQ最小值值为15cm，
故答案为：15．
17．解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，
∴PN+PM＝PN+PM'，
当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，
此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，
∴M'N＝AM'＝×（6﹣1）＝，
∴PM+PN的最小值为，
故答案为：．
18．解：如图所示，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，连接BP，
则BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P＝AB'，
∴PA+PB的值最小等于线段AB'的长，
19．解：（1）PA+PB＝AB＝6；
原因：两点之间，线段最短；
（2）∵m是BC的垂直平分线，点P在m上，
∴点C关于直线m的对称点是点B，
则PB＝PC，
∵C△ABC＝AP+PC+AC，
∵AC＝4，
要使△APC周长最小，
即AP+PC最小，
当点P是m与AB的交点时，PA+PB最小，
即PA+PB＝AB，此时C△APC＝AB+AC＝6+4＝10．
20．解：如图，
作AE⊥BC于点E，作点E关于AB的对称点E′，
∴AE＝AE′，∠EAB＝∠E′AB，
作点E关于AC的对称点E″，
∴AE＝AE″，∠EAC＝∠E″AC，
∴AE′＝AE″，
∵∠BAC＝30°，
∴∠E′AE″＝60°，
∴△AE′E″是等边三角形，
∴E′E″＝AE′＝AE，
连接E′E″，交AB于点D，交AC于点F，
连接DE、DF，
∴DE＝DE′，EF＝E″F，
∴△DEF周长的最小值即为E′E″的长，
∵S△ABC＝BC AE，
即10＝5AE，
解得AE＝4，
∴E′E″＝AE＝4，
所以△DEF周长的最小值为4．