2022-2023学年人教版八年级数学上册13.4最短路径问题 专题练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册13.4最短路径问题 专题练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 420.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-07 12:14:39 | ||
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文档简介
最短路径问题 专题练习
1．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（ ）
A． B．
C． D．
2．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．（BM垂直于a） B．（AM不平行BN）
C．（AN垂直于b） D．（AM平行BN）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
5．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
8．在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m．上的一动点，则△APC的周长的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．11 D．13
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
10．如图，OE为∠AOB的角平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线OE，OB上的动点，则PC+PB的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，点P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
13．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，作AD⊥BC于点D，ADAB，点E为AC边上的中点，点P为BC上一动点，则PA+PE的最小值为 ．
15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm
17．如图，AB＝AC＝8，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 ．
思考题
1．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
2．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°
最短路径问题 专题练习（答案）
1．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（ D ）
A． B．
C． D．
2．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ B ）
A． B．
C． D．
3．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ D ）
A．（BM垂直于a） B．（AM不平行BN）
C．（AN垂直于b） D．（AM平行BN）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABCBC ADAC BQ，∴BQ9.6．故选：A．
5．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q，
∵∠OAB＝∠AOB＝15°，∴PH＝PQ，∴PA+PQ＝PA+PH＝AH，∴PA+PQ的最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝6，∠ABH＝30°，∴AHAB＝3，∴PA+PQ的最小值为3，故选：C．
6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
8．在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m．上的一动点，则△APC的周长的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．11 D．13
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴△ACP的周长＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，
∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，
∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，
∴△ACP的周长6+4＝10，
∴△ACP的周长最小值为10，
故选：B．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC AB CE AC BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
10．如图，OE为∠AOB的角平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线OE，OB上的动点，则PC+PB的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：过点B作BD⊥OA交于D点，交OE于点P，过点P作PC⊥OB交于C点，
∵OE为∠AOB的角平分线，
∴DP＝CP，
∴PB+PC＝PD+PB＝BD，此时PC+PB的值最小，
∵∠AOB＝30°，OB＝6，
∴BD＝3，
故选：A．
11．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，点P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故选：B．
12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴E点在AC上，
∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，
由对称性可知，AE＝AB，
∵AB＝4，
∴AE＝4，
在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，
∴∠AEN＝30°，
∴AN＝2，
故选：A．
13．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：∵，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故选：B．
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，作AD⊥BC于点D，ADAB，点E为AC边上的中点，点P为BC上一动点，则PA+PE的最小值为 4 ．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝8，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝4，
延长AD至A'，使AD＝A'D，连接A'E，交BC于P，此时PA+PE的值最小，就是A'E的长，
∵ADAB，AA′＝2AD，
∴AA'＝AB＝AC，
∵AD＝A'D，AD⊥CD，
∴AC＝A'C，
∴△AA'C是等边三角形，
∵E是AC的中点，
∴A'E⊥AC，
∴A'E＝CD＝4，即PA+PE的最小值是4，
故答案为：4．
15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB＝ 30° ．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD＝5，∠AOB∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故答案为30°．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm
【解答】解：∵MN垂直平分AC，
∴MA＝MC，
又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，
∴BC＝20﹣12＝8（cm），
在MN上取点P，
∵MN垂直平分AC
连接PA、PB、PC
∴PA＝PC
∴PA﹣PB＝PC﹣PB
在△PBC中PC﹣PB＜BC
当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm．
故选：B．
17．如图，AB＝AC＝8，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 8 ．
【解答】解：如图．
作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．
则AB＝AB'，PB'＝PB，∠B'AD＝∠BAD＝25°，∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAB'＝110°﹣25°﹣25°＝60°．
∵AB＝AC＝8，
∴AB'＝AC＝8，
∴△AB'C是等边三角形，
∴B'C＝8，
在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，
当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为8．
∴|PB﹣PC|的最大值是8．
故答案为：8．
思考题
1．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°（180°﹣β），
∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝40°，
故选：C．
2．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°
【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故选：C．
1．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（ ）
A． B．
C． D．
2．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．（BM垂直于a） B．（AM不平行BN）
C．（AN垂直于b） D．（AM平行BN）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
5．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
8．在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m．上的一动点，则△APC的周长的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．11 D．13
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
10．如图，OE为∠AOB的角平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线OE，OB上的动点，则PC+PB的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，点P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
13．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，作AD⊥BC于点D，ADAB，点E为AC边上的中点，点P为BC上一动点，则PA+PE的最小值为 ．
15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm
17．如图，AB＝AC＝8，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 ．
思考题
1．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
2．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°
最短路径问题 专题练习（答案）
1．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（ D ）
A． B．
C． D．
2．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ B ）
A． B．
C． D．
3．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ D ）
A．（BM垂直于a） B．（AM不平行BN）
C．（AN垂直于b） D．（AM平行BN）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABCBC ADAC BQ，∴BQ9.6．故选：A．
5．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q，
∵∠OAB＝∠AOB＝15°，∴PH＝PQ，∴PA+PQ＝PA+PH＝AH，∴PA+PQ的最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝6，∠ABH＝30°，∴AHAB＝3，∴PA+PQ的最小值为3，故选：C．
6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
8．在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m．上的一动点，则△APC的周长的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．11 D．13
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴△ACP的周长＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，
∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，
∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，
∴△ACP的周长6+4＝10，
∴△ACP的周长最小值为10，
故选：B．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC AB CE AC BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
10．如图，OE为∠AOB的角平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线OE，OB上的动点，则PC+PB的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：过点B作BD⊥OA交于D点，交OE于点P，过点P作PC⊥OB交于C点，
∵OE为∠AOB的角平分线，
∴DP＝CP，
∴PB+PC＝PD+PB＝BD，此时PC+PB的值最小，
∵∠AOB＝30°，OB＝6，
∴BD＝3，
故选：A．
11．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，点P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故选：B．
12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴E点在AC上，
∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，
由对称性可知，AE＝AB，
∵AB＝4，
∴AE＝4，
在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，
∴∠AEN＝30°，
∴AN＝2，
故选：A．
13．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：∵，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故选：B．
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，作AD⊥BC于点D，ADAB，点E为AC边上的中点，点P为BC上一动点，则PA+PE的最小值为 4 ．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝8，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝4，
延长AD至A'，使AD＝A'D，连接A'E，交BC于P，此时PA+PE的值最小，就是A'E的长，
∵ADAB，AA′＝2AD，
∴AA'＝AB＝AC，
∵AD＝A'D，AD⊥CD，
∴AC＝A'C，
∴△AA'C是等边三角形，
∵E是AC的中点，
∴A'E⊥AC，
∴A'E＝CD＝4，即PA+PE的最小值是4，
故答案为：4．
15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB＝ 30° ．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD＝5，∠AOB∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故答案为30°．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm
【解答】解：∵MN垂直平分AC，
∴MA＝MC，
又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，
∴BC＝20﹣12＝8（cm），
在MN上取点P，
∵MN垂直平分AC
连接PA、PB、PC
∴PA＝PC
∴PA﹣PB＝PC﹣PB
在△PBC中PC﹣PB＜BC
当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm．
故选：B．
17．如图，AB＝AC＝8，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 8 ．
【解答】解：如图．
作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．
则AB＝AB'，PB'＝PB，∠B'AD＝∠BAD＝25°，∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAB'＝110°﹣25°﹣25°＝60°．
∵AB＝AC＝8，
∴AB'＝AC＝8，
∴△AB'C是等边三角形，
∴B'C＝8，
在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，
当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为8．
∴|PB﹣PC|的最大值是8．
故答案为：8．
思考题
1．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°（180°﹣β），
∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝40°，
故选：C．
2．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°
【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故选：C．