【人教八上数学期中期末复习必备】第11章 三角形（章末复习课件）(共49张PPT)

(共49张PPT)
八上数学期中期末复习课件
人教版八年级上册
第11章 三角形
章末复习
精品复习课件
人教版八年级上册数学复习课件
目录
考点一：三角形的三边关系
01
考点二：三角形中的重要线段
02
考点三：有关三角形内、外角的计算
03
考点四：多边形的内角和与外角和
04
考点五：本章中的思想方法
05
三角形
与三角形
有关的线段
三角形的内角和
多边形的外角和
多边形的内角和
三角形的外角和
边
中线
高
角平分线
知识梳理
一、与三角形有关的线段
1.三角形的三边关系
三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边.
2.三角形的高、中线、角平分线的定义
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高.
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形这条边上的中线.
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
3.三角形的重心
三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.
4.三角形的稳定性
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.
二、与三角形有关的角
1.三角形的内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
2.直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
4.三角形外角和的性质
三角形的外角和等于360°.
三、多边形及其内角和
1.多边形和正多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图 形叫做多边形.各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形.
2. n边形的内角和
n边形的内角和等于(n-2)×180°.
3.多边形的外角和
多边形的外角和等于360°.
4.正多边形的每一个内角度数的表示
5.正多边形的每一个外角度数的表示
6. n边形的对角线
正多边形的各个内角相等,则每个内角的度数为 .
正多边形的各个内角相等，则各个外角相等，即为 .
从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，n边形共有 条对角线.
考点一 三角形的三边关系
例1 已知两条线段的长分别是3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a cm的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得 8-3又∵第三边长为奇数,
∴ 第三条边长为 7 cm或9 cm.
考点讲练
三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.
1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是 .
6归纳
针对训练
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另
两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，
∴分两种情况讨论： 当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5，符合三边关系；
当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4，符合三边关系.
综上所述，另两边长为5,5或6,4.
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.16 B.20或16 C.20 D.12
C
归纳
等腰三角形的腰、底边不明确时，要分情况讨论，还要注意三边能否构成三角形.
2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为 .
5
针对训练
考点二 三角形中的重要线段
例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，BC=8 cm，求边AC的长．
解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD．
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，
∴(BC+BD+CD)－(AC+AD+CD)=3，
∴BC-AC=3．
∵BC=8 cm，
∴AC=5 cm．
无图时，注意分类讨论
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12 cm与15 cm两部分，求三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，∴AD=CD．
设AD=CD=x cm，则AB=2x cm，
当x+2x=12，BC+x=15时，
解得x=4，BC=11 cm.
此时△ABC的三边长为AB=AC=
8 cm，BC=11 cm，符合题意；
当x+2x=15，BC+x=12时，
解得x=5，BC=7 cm．
此时△ABC的三边长为AB=AC=10 cm，BC=7 cm，
符合题意．
例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，
∴S△DBE= S△ABD，S△DCE= S△ADC，
∴S△DBE+S△DCE= S△ABC= ×24=12，
∴S△BCE=12.
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE= ×12=6．
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
归纳
三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
针对训练
C
(1) 若AD⊥BC，垂足为点D，
则( )=( )=90°；
(2) 若点E是边BC的中点，则( )=( )，
且线段AE为( )；
(3) 若AF是△ABC的角平分线，则( )= ( ).
4.如图所示，请按照要求填空.
∠ADB
∠ADC
BE
CE
△ABC的中线
∠BAF
∠CAF
A
B
D
E
F
┌
C
考点三 有关三角形内、外角的计算
例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,
又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ，
则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°，
∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思想设未知数列方程求解.
例6 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°,
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
归纳
5.已知△ABC中，∠B=2(∠A+∠C)，则∠B的度数是( )
A.60° B.100° C.120° D.140°
C
解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
∵∠B=2（∠A+∠C），
∴∠A+2（∠A+∠C）+∠C=180°，
即 3（∠A+∠C）=180°.
∴∠A+∠C=60°，则∠B=120°.
针对训练
6.在△ABC中，AB⊥BC，∠C的度数是70°，则∠A的度数是（ ）
20°
解：∵AB⊥BC， ∴∠B=90°.
∴∠A+∠C=90°，
∵∠C=70°， ∴∠A=20°.
7.在△ABC中，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD的度数是（ ）
A
B
C
D
110°
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∠A=70°，∠B=40°，
∴ ∠ACD=∠A+∠B=110°.
考点四 多边形的内角和与外角和
例7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.
解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则x+4x=180°,解得 x=36°.
∴边数n=360°÷36°=10.
归纳
在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
例8 如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：
∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴六边形ABCDEF的每一个内角都是120°，
∴∠C=∠EDC=∠FAB=120°.
∵∠1=∠2=60°，
∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE.
∵∠C=120°，∠2=60°，
∴∠2+∠C=180°，∴AD∥BC.
8.一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
C
解：设这个多边形的边数为n，则(n-2)×180°= 720°，
解得n=6.
针对训练
9. 已知过多边形的一个顶点可以作出325条对角线，则这个多边形的边数是（ ）.
解析：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得n-3=325，解得n=328.
328
10.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n－2）×180°=3×360°－180°，
解得n=7．
∴这个多边形的边数是7．
考点五 本章中的思想方法
方程思想
例9 如图，在△ABC中，∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数.
A
B
C
E
D
解：设∠C=x °,则∠ABC=x°.
∵△BDE是等边三角形，
∴∠ABE=60°,∴∠ EBC=x°-60°.
在△BCE中，根据三角形内角和定理，
得90°+x°+x°-60°=180°,
解得x=75.∴∠C=75 °.
在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
【变式题】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解：设∠1=x,根据题意得∠2=x.
∵∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，∴∠3=2x, ∠4=x.
又∵∠3= ∠C，∴∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180 °,解得x=36°.∴∠1=36 °.
归纳
分类讨论思想
例10 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则
三角形的周长是　　　　　．
解析： 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
26或22
易错提示：别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
化归思想
A
B
C
D
O
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
例11 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连接CD便转化为求五边形的内角和问题.
A
B
C
F
G
D
E
解：连接CD，由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,∴题图中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=(5-2)×180 °=540 °.
解：∵S△ABD = BD·AE = 1.5 cm ，
AE = 2 cm，
∴BD = 1.5 cm．
又∵AD 是 BC 边上的中线，
∴DC = BD = 1.5 cm，BC = 2BD = 3 cm．
1.如图,在△ABC中,AD,AE分别是边BC上的中线和高,AE=2 cm,
S△ABD=1.5 cm2.求BC和DC的长.
巩固练习
解：（1）x = 40.
（2）x = 70.
（3）x = 60.
（4）x = 100.
（5）x = 115.
2.求出下列图形中x的值.
多边形的边数 7 20
内角和 15×180° 23×180°
外角和
5×180°
360°
17
360°
18×180°
360°
25
360°
3．填表：
答：从八边形的一个顶点出发可以作 5 条对角线，它们将八边形分成 6 个三角形，这些三角形的内角和之和与八边形的内角和相等．
4.从八边形的一个顶点出发,可以作几条对角线 它们将八边形分成几个三角形 这些三角形的内角和与八边形的内角和有什么关系
解：设该多边形的边数为 n，则根据题意可得
(n – 2)×180° = 360° + 540°．
解得 n = 7．
∵这个多边形的各内角都相等，
∴这个多边形的每个内角等于 (360° + 540°) ÷ 7 = ．
5.一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°,并且这个多边形的各内角都相等.这个多边形的每个内角等于多少度
证明：在 △ABC 中， ∠A + ∠1 + 42° = 180°．
∵∠A + 10° = ∠1，
∴∠A + ∠A + 10° + 42° = 180°．
解得∠A = 64°．
∵∠ACD = 64°，∴∠A = ∠ACD.
∴ AB∥CD．
6.如图,∠B=42°,∠A+10°=∠1,∠ACD=64°.求证AB∥CD.
解：∵∠C = ∠ABC = 2∠A，
∠C + ∠ABC + ∠A = 180°，
∴∠C + ∠C + ∠C = 180°．
解得∠C = 72°．
又∵BD 是 AC 边上的高，
∴∠BDC = 90°，
∴∠DBC = 90° – ∠C = 90° – 72° = 18°．
7.如图,△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高.求
∠DBC的度数.
解：∵∠BAC = 50°，∠C = 70°，
∴∠DAC = 90° – ∠C = 20°，
∠ABC = 180° – ∠C – ∠BAC = 60°．
又∵AE，BF 是△ABC 的角平分线，
∴∠ABF = ∠ABC = 30°，
∠BAE = ∠BAC = 25°，
∴∠BOA = 180° – ∠ABF – ∠BAE = 125°．
8.如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点
O,∠BAC=50°,∠C=70°.求∠DAC和∠BOA的度数.
9.如图,填空：
由三角形两边的和大于第三边,得
AB+AD>_________,
PD+CD>_________.
将不等式左边、右边分别相加,得
AB+AD+PD+CD>_________,
即AB+AC>_________.
BD
PC
BD + PC
BP + PC
解：∵五边形 ABCDE 的内角都相等，
∴∠B = ∠C = (5 – 2)×180°÷5 = 108°．
又∵DF⊥AB，∴∠BFD = 90°．
在四边形 BCDF 中，∠CDF = 360° – ∠BFD – ∠B – ∠C = 360° – 90° – 108° – 108° = 54°．
10.如图,五边形ABCDE的内角都相等,DF⊥AB.求∠CDF
的度数.
证明：(1) 如图，∵ BE，CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，
∴∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB．
∴∠BGC = 180° – (∠1 + ∠2) = 180° – (∠ABC + ∠ACB)．
(2) ∵∠ABC + ∠ACB = 180° – ∠A，
∴由 (1) 得，∠BGC = 180° – (180° – ∠A) = 90° + ∠A．
11.如图,△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于
点G.求证:
1
2
证明：在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠C = 90°，
∴∠ABC +∠ADC = 360° – ∠A – ∠C = 180°.
∵BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，
∴∠EBC = ∠ABC，∠CDF = ∠ADC，
∴∠EBC +∠CDF = (∠ABC +∠ADC) = 90°．
又∵∠C = 90°，∴∠DFC +∠CDF = 90°．
∴∠EBC = ∠DFC．∴BE∥DF．
12.如图,在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°,BE平分∠B,DF平分
∠D.求证：BE∥DF.
三角形
与三角形有关的线段
三角形内角和：180°
三角形外角和：360°
三角形的边：三边关系
高线
中线：把三角形面积平分
角平分线
与三角形有关的角
内角与外角关系
三角形的分类
多边形
定义
多边形的内外角和
内角和：(n-2) ×180 °
外角和：360 °
对角线
多边形转化为三角形和
四边形的重要辅助线
正多边形
内角= ;外角=
课堂小结
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin