【人教八上数学期中期末复习必备】第12章 全等三角形（章末复习课件）(共41张PPT)

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八上数学期中期末复习课件
人教版八年级上册
第12章 全等三角形 章末复习
精品复习课件
人教版八年级上册数学复习课件
目录
考点一：全等三角形的性质
01
考点二：全等三角形的判定
02
考点三：全等三角形的性质与判定的综合应用
03
考点四：利用全等三角形解决实际问题
04
考点五：角平分线的性质与判定
05
全等
三角形
性质
基本性质和其他重要性质
判定
判定方法基本思路
作用
是证明两条线段相等和角相等的常用方法
寻找现有条件（包括图中隐含条件）
选定判定方法，证明准备条件
角的平分线
的性质定理
角的平分线
的判定定理
证明两条线段相等
证明角相等
辅助线
添加方法
知识梳理
能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，
重合的角叫做对应角.
重合的边叫做对应边，
一、全等三角形的性质
B
C
E
F
如图，若△ABC≌△DEF：
其中点A和 ，点B和 ，点C和 是对应顶点.
AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边.
∠A和 ，∠B和 ， ∠C和 是对应角.
A
D
点D
点E
点F
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
A
B
C
D
E
F
性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
如图：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF
（ ），
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
（ ）.
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
应用格式：
1.三边对应相等的两个三角形全等(可以简写为“边边边”或“SSS”).
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
用符号语言表达为：
二、三角形全等的判定方法
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”).
F
E
D
C
B
A
AC=DF，
∠C=∠F，
BC=EF，
∠A=∠D ，
AB=DE，
∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF（ASA）.
3.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
用符号语言表达为：
F
E
D
C
B
A
4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
A
B
C
D
E
F
注意：①对应相等;
②“HL”仅适用直角三角形;
③书写格式应为:
∵在Rt△ ABC 和Rt△ DEF中，
AB =DE，
AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
三、 角平分线的性质与判定
考点一 全等三角形的性质
例1 如图，已知△ACE≌△DBF，CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
解：（1）∵△ACE≌△DBF，
∴AC=BD，则AB=DC.
∵BC=2，∴2AB+2=8，
∴AB=3，∴AC=3+2=5；
（2）∵△ACE≌△DBF，
∴∠ECA=∠FBD，
∴CE∥BF．
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.
方法总结
例2 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC.
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
分析：运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定．
考点二 全等三角形的判定
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用
例3 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F.
求证：∠DEC=∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
分析：
欲证∠DEC=∠FEC
由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE
只需要证明△DEG ≌ △DCG
A
B
C
D
F
E
G
证明： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °.
在△AGE和△AGC中，
∠AGE=∠AGC，
AG=AG，
∠EAG=∠CAG，
∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)，
∴ GE =GC.
∵AD平分∠BAC,∴ ∠EAG=∠CAG.
A
B
C
D
F
E
G
在△DGE和△DGC中，
EG=CG，
∠ EGD= ∠ CGD=90 °，
DG=DG，
∴ △DGE ≌ △DGC(SAS)，
∴ ∠DEG = ∠ DCG.
∵EF//BC,
∴ ∠FEC= ∠ECD，
∴ ∠DEG = ∠ FEC.
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
方法总结
考点四 利用全等三角形解决实际问题
例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？
A
B
C
D
分析：将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，AD⊥BC.
A
B
C
D
解：相等.理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
AD=AD，
AB=AC，
∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL).
∴BD=CD.
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：
（1）先明确实际问题；
（2）根据实际抽象出几何图形；
（3）经过分析，找出证明途径；
（4）书写证明过程.
方法总结
考点五 角平分线的性质与判定
例5 如图，∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+ ∠BAP=180 °.
求证:PA=PC.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
分析：由角平分线的性质易想到过点P向∠ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.
E
F
证明：过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
E
F
又∵∠1=∠2，∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.
∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,∠BAP+∠EAP=180 °，
∴ ∠EAP=∠PCB.
在△APE和△CPF中，
∠PEA=∠PFC=90 °，
∠EAP=∠FCP，
PE=PF，
∴ △APE ≌ △CPF(AAS)，
∴ AP=CP.
证法2思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有△PAB≌△PDB,再证△PDC是等腰三角形即可获证.
A
C
N
)
)
1
2
P
B
证明过程请同学们自行完成！
D
【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.
解：如图，△ABC ≌ △ADC，△AEO ≌ △OFC，△AGM ≌ △CHN．
1.图中有三个正方形,请你说出图中所有的全等三角形.
巩固练习
解：（1）有，△ABD ≌△CDB．
（2）有，如 △ABD 和 △AFD，△AFD 和 △BCD，△ABF 和 △DBF，△ABE 和 △DFE．
2.如图,在长方形ABCD中,AF⊥BD,垂足为E,AF交BC于点F,连
接DF.
(1)图中有全等三角形吗
(2)图中有面积相等但不全等的三角形吗
证明：∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠ACE = ∠2 + ∠ACE，
即∠ACB = ∠DCE．
在 △ABC 和 △DEC 中，
∴△ABC ≌ △DEC ( SAS).
∴ AB = DE．
3.如图,CA=CD,∠1=∠2,BC=EC.求证AB=DE.
解：依题意知∠CAB = ∠DBA = 90°，∠CAD = ∠DBC，
∴∠CAB – ∠CAD = ∠DBA – ∠DBC，即∠DAB = ∠CBA．
又∵ AB = BA，
∴ △ABC ≌ △BAD（ASA）．
∴ CA = DB．
4.如图,海岸上有A,B两个观测点,点B在点A的正东方,海岛C在观测点A的正北
方,海岛D在观测点B的正北方.如果从观测点A看海岛C,D的视角∠CAD与从
观测点B看海岛C,D的视角∠CBD相等,那么海岛C,D到观测点A,B所在海岸
的距离CA,DB相等.请你说明理由.
证明：∵ D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD = CD，∠BED = ∠CFD = 90°．
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
∴ Rt△BDE ≌ △Rt△CDF (HL)．
∴ DE = DF．
∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上，
即 AD 是 △ABC 的角平分线．
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别
是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
答：应在三条公路所围成的三角形的角平分线交点处修建度假村．
6.如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块平
地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,
应在何处修建
解：C，D 两地到路段 AB 的距离相等．
理由如下：∵AC∥BD，∴∠A = ∠B．
在 △ACE 和 △BDF 中，
∴ △ACE ≌ △BDF (AAS)．
∴ CE = DF．
7.如图，两车从路段AB的两端同时出发,沿平行路线以相同的速度行驶,相同时
间后分别到达C,D两地.C,D两地到路段AB的距离相等吗 为什么
证明：∵ BE = CF，
∴ BE + EC = CF + EC，即 BC = EF．
在 △ABC 和 △DEF 中，
∴△ABC ≌ △DEF (SSS)．
∴∠ABC = ∠DEF，∠ACB = ∠DFE．
∴ AB∥DE，AC∥DF．
8.如图,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:AB∥DE,AC∥DF.
解：∵ BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E = ∠ADC = ∠CAD + ∠ACD = 90°．
∵∠BCE + ∠ACD = ∠ACB = 90°，
∴∠BCE = ∠CAD．
又∵ BC = AC，
∴△BCE ≌ △CAD (AAS)．
∴ CE = AD = 2.5 cm，BE = CD．
∴ BE = CD = CE – DE = 2.5 – 1.7 = 0.8 (cm)．
9.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别
为D,E，AD=2.5 cm,DE=1.7 cm.求BE的长.
解：由题意得 △BCD ≌ △BED，
∴ DE = DC，BE = BC = 6 cm．
∵ AB = 8 cm，
∴ AE = AB – BE = 8 – 6 = 2(cm)．
∴ AD + DE + AE = AD + CD + AE = AC + AE = 5 + 2 = 7 (cm)．
即 △AED 的周长为 7 cm．
10.如图的三角形纸片中,AB=8 cm,BC=6 cm,AC=5 cm,沿过点B的直线折叠这个
三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD.求△AED的周长.
解：AD = A′D′．证明如下：
∵△ABC ≌ △A′B'C'，
∴AB = A'B'，∠B =∠B′，BC = B′C′．
又∵ AD 和 A'D' 分别是 BC 和 B'C' 上的中线，
∴ BD = BC，B′D′ = B′C′．
∴BD = B'D′．
∴△ABD ≌ △A′B′D′ (SAS).
∴ AD = A'D'．
11.如图,△ABC≌△A' B' C' ，AD,A' D' 分别是△ABC,△A' B' C'
的对应边上的中线.AD与A' D' 有什么关系 证明你的结论.
证明：如图，作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F．
∵ AD 是 △ABC 的角平分线，
∴ DE = DF．
∴
即 S△ABD ∶S△ACD = AB ∶AC．
12.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,求证:
S△ABD:S△ACD=AB:AC.
已知：如图，在 △ABC 与 △A'B'C 中，AB = A′B′，AC = A′C′，CD，C'D' 分别是 △ABC，△A'B'C' 的中线，且 CD = C′D'．
求证：△ABC ≌ △A'B′C′．
证明：∵ AB = A'B'，CD，CD' 分别是 △ABC，△A'B′C′ 的中线，
∴ AB = A′B′，即 AD = A′D′．
13.证明:如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等,
那么这两个三角形全等.
在 △ADC 与 △A'D'C′ 中，
∴ △ADC ≌ △A′D′C′ (SSS)．
∴∠A = ∠A′．
在 △ABC 与 △A'B′C′ 中，
∴△ABC ≌ △A'B′C′ (SAS)．
13.证明:如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等,
那么这两小三角形全等.
谢谢
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