【人教八上数学期中期末复习必备】第14章 第十四章 整式的乘法与因式分解 （章末复习课件）(共38张PPT)

(共38张PPT)
八上数学期中期末复习课件
人教版八年级上册
第14章 整式的乘法与因式分解
章末复习
精品复习课件
人教版八年级上册数学复习课件
复习目标
复习重点
复习难点
1. 熟记整式的乘除法法则，正确运用乘法公式.
2. 会将多项式进行因式分解.
3. 能说出整式乘法与因式分解的联系与区别.
整式乘法法则及因式分解.
乘法公式的灵活运用.
目录
考点一：幂的运算
01
考点二：整式的运算
02
考点三：乘法公式的运用
03
考点四：因式分解及应用
04
幂的运算性质
整式的乘法
整式的除法
互逆
运算
乘法公式
（平方差公式、完全平方公式）
特殊
形式
相反变形
因式分解
（提公因式法、
公式法）
相反变形
考点一 幂的运算
例1 下列计算正确的是( )
A．(a2)3＝a5 B．2a－a＝2
C．(2a)2＝4a D．a·a3＝a4
D
例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.
解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.
解：原式=8a3b6 ÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.
归纳总结
针对训练
1.下列计算不正确的是（ ）
A.2a3 ÷a=2a2 B. (-a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7 D. a2 ·a4=a8
2. 计算：0.252021 ×（-4）2021-8100 ×0.5301.
D
解：原式=[0.25 ×（-4）]2021-（23）100 ×0.5300 ×0.5
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5 =-1-0.5=-1.5 .
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值；
(2)比较大小：420与1510.
(2) ∵420=（42）10=1610，
16>15,
∴420>1510.
32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9；
解：(1)∵3m=6,9n=2,
∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12.
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
当x=1,y=3时，
原式=
整式的乘除法主要包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.
归纳总结
针对训练
4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为 .
5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,则这个多项式是 .
a-2b+1
6.计算：
(1)(－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)；
(2)x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)；
(3)(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；
(4)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)；
(5)[x(x2y2－xy)－2y(x2－x3y)]÷xy.
解：（1）原式＝－12x7y9 ；
（2）原式＝－x3＋6x；
（3）原式＝2a3b2＋10a3b3 ；
（4）原式＝4x2＋17xy－10y2 ；
（5）原式＝3x2y－3x .
考点三 乘法公式的运用
例4 先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中 x=3,y=1.5.
解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.
原式=3-1.5=1.5.
解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x
=(2x2-2xy) ÷2x
=x-y.
当x=3,y=1.5时，
归纳总结
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这两个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.
7．下列计算中，正确的是( )
A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－b2
C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2
D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2
8．已知关于x的等式(x＋m)2＝x2＋nx＋36恒成立，则n的值为( )
A．±6 B．±12 C．±18 D．±72
9．若a＋b＝5，ab＝3，则2a2＋2b2＝________．
针对训练
C
B
38
10．计算：
(1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； (2)(a＋b－3)(a－b＋3)；
(3)(3x－2y)2(3x＋2y)2.
解：(1) 原式＝(x＋2y)(x－2y)(x2－4y2)
(2)原式＝[a＋(b－3)][(a－(b-3)]
=(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4；
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9；
(3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4.
11.用简便方法计算：
(1)2002－400×199＋1992；
(2)999×1001.
解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1)
＝999999.
＝10002－1
考点四 因式分解及应用
例5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2－1＝(x＋1)(x－1)
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
B
点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；(2)判断过程要从左到右保持恒等变形.
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( )
A．2(x2－8) B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
C
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.
归纳总结
针对训练
12.分解因式：x2y2－2xy＋1的结果是________．
13.已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝________．
14.已知a－b＝3，则a(a－2b)＋b2的值为________．
15.已知x2－2(m＋3)x＋9是一个完全平方式，则常数m＝________．
(xy－1)2
20
9
－6或0
16．如图，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证的公式是 ________ .
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a-b
a2-b2=(a+b)(a-b)
17．把下列各式因式分解：
(1)2m(a－b)－3n(b－a)；
(2)16x2－64；
(3)－4a2＋24a－36.
解：(1) 原式＝(a－b)(2m＋3n)；
(2) 原式＝16(x＋2)(x－2) ；
(3) 原式＝－4(a－3)2 .
解：（1）原式 = 4x7y9． （2）原式 = 4a2 + 4ab – 3b2．
（3）原式 = 5x4 – 5x2．
（4）原式 = 4x2 + 4xy + y2 – 4x – 2y + 1．
（5）原式 = 3 599.96． （6）原式 = 39 204．
1.计算:
(1)(–2x2y3)2(xy)3; (2)(2a+3b)(2a–b);
(3) 5x2(x+1) (x–1) ; (4)(2x+y–1)2；
(5)59.8×60.2; (6)1982.
巩固练习
解：（1）原式 = b2． （2）原式 = a5．
（3）原式 = 2a2x – ．（4）原式 = y – xz .
2.计算:
(1)(2a)3 b4÷12a3b2;
(4)(7x2y3-8x3y2z)÷8x2y2.
解：（1）原式 = (5x + 4y)(5x – 4y)．
（2）原式 = 2(a – b)x．
（3）原式 = (a – 2b)2．
（4）原式 = (3x – 3y + 2)2．
3.分解因式:
(1)25x2–16y2; (2)(a–b)(x–y)–(b–a)(x+y);
(3)a2–4ab+4b2; (4)4+12(x–y)+9(x–y)2.
解：(1.3×105)×(9.6×106) = 1.248×1012 ( t ).
答：在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧 1.248×1012 t 煤所产生的能量．
4.我国陆地面积约是9.6×106 km2.平均每平方千米的陆地上,一
年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105 t煤所产生的能量.求
在我国陆地上,一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧多少吨
煤所产生的能量.
解：2π (R + 1) – 2πR = 2π ≈ 6.28 (m)．
答：这条绳长比地球仪的赤道周长大约多 6.28 m.
如果在地球赤道表面也同样做，其绳长比赤道周长也只大约多 6.28 m．
5.在半径R为0.5 m的地球仪的表面之外,距赤道1 m拉一条绳
子绕地球仪一周,这条绳长比地球仪的赤道的周长多几米
如果在地球赤道表面也同样做,情况又怎样(已知地球半径
为6370 km,π取3.14)
解：（1）原式 = 8x + 29．
（2）原式 = – 4x．
（3）原式 = – y2 + 4z2 – 6yz．
（4）原式 = xy – .
解：（1）原式 = x (x + 3) (x – 3)．
（2）原式 = (4x2 + 1) (2x + 1) (2x – 1)．
（3）原式 = – y (3x – y)2．
（4）原式 = (2a + b)2．
7.分解因式：
(1)x3–9x; (2)16x4–1;
(3)6xy2–9x2y–y3; (4)(2a–b)2+8ab.
解：(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = 25， ①
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 = 9． ②
将 ① – ② 得 4xy = 16，故 xy = 4．
将 ① + ② 得 2(x2 + y2) = 34，故 x2 + y2 = 17.
8.已知(x+y)2=25,(x–y)2=9,求xy与x2+y2的值.
解：
答：4 根立柱的总质量约为 370.32 t．
9.如图,水压机有四根空心钢立柱,每根高都是18 m,外径D为1 m,内径d为 0.4 m.
每立方米钢的质量为7.8 t,求4根立柱的总质量(π取3.14).
（1）解：如 3×9 – 2×10 = 7，14×8 – 7×15 = 7，符合这个规律.
（2）答：是有同样的规律．
（3）证明：设方框中左上角的数字为 n，则其后面的数字为 n + 1，下面的数字为 n + 7，右下角的数字为 n + 8．(n + 1)(n + 7) – n (n + 8) = n + 7n + n + 7 – n – 8n = 7，故不论 n 取何值，结果都是 7.
10.在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图
是2012年8月份的日历.我们任意选择其中所示的方框部分,
将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘,再相减,例如:
7×13-6×14=7,17×23-16×24=7,不难发现,结果都是7.
(1)请你再选择两个类似的部分试一试,看看是否符合这个
规律;
(2)换一个月的月历试一下,是否有同样的规律
(3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.
证明：(2n + 1) – (2n – 1)
= [(2n + 1) + (2n – 1)][(2n + 1) – (2n – 1)]
= 4n×2= 8n．
∵ n 是整数，
∴ 8n 是 8 的倍数，
∴两个连续奇数的平方差是 8 的倍数.
11.求证:当n是整数时,两个连续奇数的平方差(2n+1)2–(2n–1)2是
8的倍数.
12.某种产品的原料提价,因而厂家决定对产品进行提价,现有三
种方案：
(1)第一次提价p%,第二次提价q%;
(2)第一次提价q%,第二次提价p%;
(3)第一、二次提价均为 % .
其中p,q是不相等的正数.三种方案哪种提价最多
(提示:因为p≠q,(p–q)2=p2–2pq+q2＞0,所以p2+q2＞2pq.)
解：设原价为 a（a＞0），则
按方案（1）提价后价格为 a (1 + p%)(1 + q%)；
按方案（2）提价后价格为 a (1 + q%) (1 + p%)；
按方案（3）提价后价格为 a (1 + %)2．
∵ a (1 + %)2 – a (1 + q%) (1 + p%) = ＞0，
∴ a (1 + %)2 ＞ a (1 + q%) (1 + p%)，
即方案（3）提价最多．
谢谢
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