【人教八上数学期中期末复习必备】 第13章 第十三章 轴对称（章末复习课件）(共42张PPT)

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八上数学期中期末复习课件
人教版八年级上册
第13章 轴对称 章末复习
精品复习课件
人教版八年级上册数学复习课件
目录
考点一：轴对称及轴对称图形
01
考点二：关于坐标轴对称的点的坐标
02
考点三：线段垂直平分线的性质和判定
03
考点五：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的应用.
0
5
考点六：等边三角形的性质及判定的应用.
06
考点四：等腰三角形的性质和判定
04
学习目标：
了解轴对称的概念，掌握线段的垂直平分线的性质，理解等腰三角形、等边三角形的性质、判定，会用轴对称的性质解决问题.
学习重点：
轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形、等边三角形的性质和判定.
轴对称
等腰三角形
轴对称图形
垂直平分线
等腰三角形
等边三角形
轴对称的性质
关于坐标轴对称的点的坐标
轴对称作图
性质和判定
性质
判定
性质
判定
含30°角的直角三角形的性质
轴对称
考点一 轴对称及轴对称图形
例1 下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60 km/h”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（　　）
A
B
C
D
B
针对训练
1.在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
2.如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为______.
60°
考点二 关于坐标轴对称的点的坐标
例2 按要求完成作图：
(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标：
x
y
O
A
B
C
解析：(1)先找出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连线即可；
(2)找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，A'C与x轴的交点即是点P的位置.
A1
B1
C1
A'
P(-3,0)
1
1
3.在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值分别为（ ）
A. 3，-2 B. -3，-2 C. 3，2 D. -3，2
C
针对训练
方法总结
坐标轴中作轴对称图形，一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征，找出对称点，而后连线即可.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y) ，关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
考点三 线段垂直平分线的性质和判定
例3 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.
求证：点E在线段AC的垂直平分线上．
解析：要证明点E在线段AC的垂直平分线上，即要证明AE=EC.根据题意及线段垂直平分线的定义，得出AB=AE.而后根据AB+BD=
DC，进行等量变换，可到AE=EC.
证明：∵AD是高，∴AD⊥BC.
又∵BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴AB+BD=AE+DE.
又∵AB+BD=DC，
∴DC=AE+DE，
∴DE+EC=AE+DE,
∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
A
B
C
M
N
4.如图：△ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM=3 cm，△ABC的周长是22 cm，则△ABN的周长是 .
16 cm
针对训练
方法总结
线段的垂直平分线一般会与中点、90°角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化.
考点四 等腰三角形的性质和判定
例4 如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.
求证： ∠BAC=2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
解析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则
∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
∴ ∠2+ ∠ACB=90 °.
∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.
∴ ∠2= ∠DBC.
∴ ∠BAC= 2∠DBC.
方法总结
在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的方法是作顶角的平分线，而后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现线段或角之间的相互转化.
例5 等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数.
解：设该等腰三角形中，小角的度数为x,则大角的度数为2x.
当x为底角时， x +x+ 2x=180°，
解得 x=45°，则2x=90°.
当x为顶角时， x +2x+ 2x=180°，
解得x =36°.
故该等腰三角形顶角的度数为90°或36°.
方法总结
在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况：(1)在求角度时，未指明底角和顶角；(2)在求三角形周长时，未指明底边和腰；(3)未给定图形时，有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
针对训练
5.如图，△ABC中，∠A=36 °，AB=AC, BD平分∠ABC交AC于点D,则图中的等腰三角形共有 个.
3
B
C
D
A
6.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1,EB1分别交边AC于M、H点.若∠ADM=50 °,则∠HEC的度数为 .
70 °
A
B
C
D
E
B1
M
H
7.如图,在△ABC中,AD是角平分线,AC=AB+BD.
求证：∠B=2∠C.
证明：在AC上截取AE=AB，连接DE.
E
∵AD是角平分线，∴∠EAD=∠BAD.
又∵AD=AD，∴△EAD≌△BAD，
∴DE=DB，∠AED=∠B.
∵AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC，∴CE=ED.
∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C，即∠B=2∠C.
想一想：还有别的证明方法吗？
提示：延长AB至F，使BF=BD，连接DF.
8.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．
求证：BF=2CF．
证明：如图，连接AF.
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵AC的垂直平分线是EF，
∴CF=AF，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°.
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF，
∴BF=2CF．
例6. 如图，△ABC是一个直角三角形，其中BC⊥AC，∠A=30°，
AB=10cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC，垂足分别是B1、C1 ，
那么B1C1的长是多少
考点五：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的应用.
解：∵BC⊥AC，∠A=30°，AB=10，
∴BC=5，∠B=60°.
∵CB1⊥AB，
∴∠BCB1=30°.
∴B1B=2.5.
∴AB1=7.5.
∵B1C1⊥AC，∠A=30°，
∴B1C1=3.75.
答：B1C1的长是3.75cm.
考点六：等边三角形的性质及判定的应用.
②
例7. 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，
且AE=BD. 试探索以下问题：
（1）当点E为AB的中点时，如图① ，求证：EC=ED；
（2）如图②，当点E不是AB的中点时，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
求证：△AEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由.
①
例7. 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，
且AE=BD. 试探索以下问题：
（1）当点E为AB的中点时，如图①，求证：EC=ED；
(1)证明：∵等边三角形ABC中，E为AB的中点，
∴∠ABC=60°，AE=BE，∠ECB=∠ECA=30°.
∵AE=BD，
∴BE=BD.
∴∠BED=∠D =30°.
又∵∠ECB=30°，
∴∠D=∠ECB=30°.
∴EC=ED.
①
例7. 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，
且AE=BD.试探索以下问题：
（2）如图②，当点E不是AB的中点时，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
求证：△AEF是等边三角形；
(2)证明：∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，
∠AFE=∠ACB=60°.
∵∠A=60° ，
∴∠AEF=∠AFE=∠A.
∴△AEF是等边三角形.
②
例7. 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，
且AE=BD.试探索以下问题：
（3）在（2）的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由.
解：EC与ED还相等. 理由如下:
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=FC.
又∵AE=BD， AE=FE，
∠AFE= ∠ABC=60°，
∴FE=BD，∠CFE=∠EBD=120°.
∴△CFE≌△EBD(SAS).
∴EC=ED.
是
不是
是
是
是
是
1.下列图形是轴对称图形吗 如果是,找出它们的对称轴.
巩固练习
解：如图所示．
2.画出下列轴对称图形的对称轴.
证明：如图，连接 BC．
∵点 D 是 AB 的中点，CD⊥AB，
∴ AC = BC．
同理，AB = BC，
∴ AC = AB．
3.如图,D,E分别是AB,AC的中点,CD⊥AB,垂足为D,
BE⊥AC,垂足为E.求证AC=AB.
解：点 A 与点 B 关于 x 轴对称；点 B 与点 E 关于 y 轴对称；点 C 与点 E 不关于 x 轴对称，因为它们的纵坐标分别是 3，–2，不是互为相反数．
4.如图所示的点A,B,C,D,E中,哪两个点关于 x 轴对称 哪两个点
关于 y 轴对称 点C和点E关于 x 轴对称吗 为什么？
解：∵ DB = BA，CE = CA，
∴∠D = ∠DAB = ∠ABC = 25°，
∠E = ∠CAE = ∠ACB = 40°．
∴∠DAE = 180° – ∠D – ∠E = 115°．
5.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB
=80°,延长CB至D,使DB=BA,延长BC
至E,使CE=CA,连接AD,AE.求∠D,∠E，
∠DAE的度数.
证明：∵AD = BC，AC = BD，AB = BA，
∴△ABD ≌ △BAC (SSS).
∴∠ABD = ∠BAC．
∴EA = EB，
即△EAB 是等腰三角形．
6.如图,AD=BC,AC=BD,求证:△EAB是等腰三角形.
证明：∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴ BC = AB．
∵ CD 是高，
∴∠BCD = 90° – ∠B = ∠A = 30°.
∴ BD = BC = AB．
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,
求证
解：等边三角形有 3 条对称轴，正方形有 4 条对称轴，正五边形有 5 条对称轴，正六边形有 6 条对称轴，正八边形有 8 条对称轴，正 n 边形有 n 条对称轴．
8.试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数.一般地,一个正n边形有多少条
对称轴
解：(1)(4)是轴对称，(2)(3)是平移．(1)的对称轴是 y 轴，(4)的对称轴是 x 轴；(2)中图形 I 先向下平移 3 个单位长度，再向左平移 5 个单位长度得到图形Ⅱ；(3)中图形 I 先向右平移 5 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到图形Ⅱ．
9.如图,从图形I到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称 如果是轴对称,找出对称轴；
如果是平移,是怎样的平移
证明：∵ AD 是 △ABC 的角平分线，DE，DF 分别垂直于 AB，AC，
∴ DE = DF，∠DEA = ∠DFA = 90°．
又∵ DA = DA，
∴ Rt△ADE ≌ Rt△ADF (HL)．
∴ AE = AF．
∴ AD 垂直平分 EF．
10.如图，AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD
的高.求证：AD垂直平分EH.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴ AB = BC = AC，∠A = ∠B = ∠C = 60°，
又∵ AD = BE = CF，
∴ BD = CE = AF．
∴ △ADF ≌ △BED ≌ △CFE (SAS)．
∴ DF = ED = FE．
即 △DEF 是等边三角形．
11.如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE
=CF.求证:△DEF是等边三角形.
解：这五个点为正五边形的 5 个顶点，如图所示.
12.在纸上画五个点,使任意三个点组成的三角形都是等腰三角形,
这五个点应该怎样画
证明：在等边 △ABC 中，∵ BD 是中线，
∴ BD 是 AC 边上的高，且 ∠ACB = 60°.
∴ ∠CBD = 90°– ∠ACB = 30°．
∵ CE = CD，
∴∠E = ∠CDE = ∠ACB = 30°．
∴∠CBD = ∠E．
∴ DB = DE．
13.如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD.
求证DB=DE.
证明：在等腰△ABC 中，∵ AC = BC，∴ ∠CAB = ∠CBA．
∵△BDC 和△ACE 都为等边三角形，∴ ∠CAE = ∠CBD = 60°．
∴ ∠CAB – ∠CAE = ∠CBA – ∠CBD，即∠FAB = ∠FBA.
∴ FA = FB．
又∵ CA = CB，∴ CF 垂直平分线段 AB．
∴ G 为 AB 的中点．
14.如图,△ABC为等腰三角形,△BDC和
△ACE分别为等边三角形,AE与BD相交于
点F,连接CF并延长,交AB于点G,求证：G
为AB的中点.
解：如图，作点 A 关于 MN 的对称点 A′，再作点 B 关于 l 的对称点 B′，连接 A'B'，交 MN 于点 C，交 l 于点 D，则 A→C→D→B 即为所求的最短路径．
15.如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮
马,然后回到B处,请画出最短路径.
谢谢
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