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第11章 三角形 【单元测试卷】
一．选择题（共10小题）
1．已知三角形的两边a＝3，b＝7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是（ ）
A．4＜c＜7 B．7＜c＜10 C．4＜c＜10 D．7＜c＜13
2．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC
3．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（ ）
A．120° B．60° C．140° D．无法确定
5．一定在△ABC内部的线段是（ ）
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
6．适合条件∠A＝∠B＝∠C的三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
7．一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
8．如图，在Rt△ADB中，∠D＝90°，C为AD上一点，∠ACB＝6x，则x值可以是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
9．如图，AB∥DF，AC⊥CE于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于（ ）
A．110° B．100° C．80° D．70°
10．如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
二．填空题（共10小题）
11．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于 ．
12．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 ．
13．已知△ABC中，AB＝2，BC＝5，且AC的长为偶数，则AC的长为 ．
14．已知△ABC的两条边长分别为5和8，那么第三边长x的取值范围 ．
15．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
16．若a，b，c是△ABC的三边，请化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝ ．
17．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝ ．
18．在△ABC中，AB边上的高是 ，BC边上的高是 ；在△BCF中，CF边上的高是 ．
19．如图，在△ABC中，AB＝2012，AC＝2010，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
20．如图
①AD是△ABC的角平分线，则∠ ＝∠ ＝∠ ，
②AE是△ABC的中线，则 ＝ ＝ ，
③AF是△ABC的高线，则∠ ＝∠ ＝90°．
三．解答题（共6小题）
21．已知，a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．
22．已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）在（1）的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．
23．一个三角形的两边长为3和5，
（1）求它的第三边a的取值范围；
（2）求它的周长L的取值范围；
（3）若周长为偶数，求三角形的第三边长．
24．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处，
（1）若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
（2）若∠B+∠C＝130°，求∠1+∠2的度数．
25．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，点E在AB上，连接CE、DE．
（1）若∠1＝35°，∠2＝25°，则∠CED＝ °；
（2）若∠1＝∠2，求证：∠3+∠4＝90°．
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第11章 三角形【单元测试卷】
一．选择题（共10小题）
1．已知三角形的两边a＝3，b＝7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是（ ）
A．4＜c＜7 B．7＜c＜10 C．4＜c＜10 D．7＜c＜13
【分析】首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，根据a＜b＜c即可得c的取值范围．
【解答】解：根据三角形三边关系可得4＜c＜10，
∵a＜b＜c，
∴7＜c＜10．故选B．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：＞已知的两边的差，而＜两边的和．需注意本题的第三边要比其余两边较大的边要大．
2．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC
【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A＝∠D，
（1）AB＝DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）EF＝BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；
（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．
3．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
4．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（ ）
A．120° B．60° C．140° D．无法确定
【分析】以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，再根据∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，即可得到∠DBC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和定理可得∠BDC的度数．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，
∴∠DBC+∠DCB＝×60°＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
【点评】此题考查三角形的内角和，角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°．
5．一定在△ABC内部的线段是（ ）
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
【分析】根据三角形的高，角平分线，中线的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在△ABC内部，故本选项正确；
B、钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部，故本选项错误；
C、任意三角形的一条中线、二条角平分线都在三角形内部，但三条高不一定在三角形内部，故本选项错误；
D、直角三角形的三条高有两条是直角边，不在三角形内部，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，是基础题，熟记概念是解题的关键．
6．适合条件∠A＝∠B＝∠C的三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
【分析】设∠A＝x，则∠B＝x，∠C＝3x．根据三角形的内角和是180°，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状．
【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝x，∠C＝3x．
根据三角形的内角和定理，得
x+x+3x＝180，x＝36．
则∠C＝108°．
则该三角形是钝角三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．
三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形．
7．一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为4x，根据邻补角的定义得到x+4x＝180°，解出x＝36°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数．
【解答】解：设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为4x，依题意有
x+4x＝180°，
解得x＝36°，
这个多边形的边数＝360°÷36°＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的外角定理：多边形的外角和为360°．也考查了邻补角的定义．
8．如图，在Rt△ADB中，∠D＝90°，C为AD上一点，∠ACB＝6x，则x值可以是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得∠ACB＞90°，再根据∠ACB是钝角小于180°列式，然后求解即可．
【解答】解：根据三角形的外角性质，∠ACB＝6x＞90°，
解得x＞15°，
∵∠ACB是钝角，
∴6x＜180°，
∴x＜30°，
∴15°＜x＜30°，
纵观各选项，只有20°符合．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，要注意∠ACB小于180°的暗含条件．
9．如图，AB∥DF，AC⊥CE于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于（ ）
A．110° B．100° C．80° D．70°
【分析】如图，由AC⊥BC于C得到△ABC是直角三角形，然后可以求出∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°，而∠ABC＝∠1＝70°，由于AB∥DF可以推出∠1+∠CEF＝180°，由此可以求出∠CEF．
【解答】解：∵AC⊥BC于C，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
∴∠ABC＝∠1＝70°，
∵AB∥DF，
∴∠1+∠CEF＝180°，
即∠CEF＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
【点评】本题比较简单，考查的是平行线的性质及直角三角形的性质．
10．如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于 5+3或5+5 ．
【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝；②Rt△ABC中，AC＝BC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长为5+3或5+5．
【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝，
设BC＝a，AC＝b，则
，
解得a+b＝5，或a+b＝﹣5（舍去），
∴△ABC的周长为5+5；
如图所示，Rt△ABC中，AC＝BC，
设BC＝a，AC＝b，则
，
解得，
∴△ABC的周长为3+5；
综上所述，该三角形的周长为5+3或5+5．
故答案为：5+3或5+5．
【点评】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算．
12．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 AD ．
【分析】根据三角形的高的概念解答即可．
【解答】解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，
故答案为：AD
【点评】此题考查三角形的高，关键是根据三角形的高的概念解答．
13．已知△ABC中，AB＝2，BC＝5，且AC的长为偶数，则AC的长为 4或6 ．
【分析】根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，解答即可．
【解答】解：5﹣2＜AC＜5+2，
所以3＜AC＜7，
因为AC是偶数，所以AC为4或6；
故答案为：4或6．
【点评】本题考查三角形的三边关系．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
14．已知△ABC的两条边长分别为5和8，那么第三边长x的取值范围 3＜x＜13 ．
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出x的取值范围．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，x，8，
∴8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13．
故答案为：3＜x＜13．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
15．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 5 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
16．若a，b，c是△ABC的三边，请化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝ a+b+c ．
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可确定绝对值符号内的式子的符号，从而去掉绝对值符号，然后进行化简即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b．
即a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0．
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c﹣a）﹣（c﹣a﹣b）
＝a+b+c．
故答案为：a+b+c．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，以及绝对值的性质，正确运用定理：三角形两边之和大于第三边是关键．
17．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝ 2a﹣2b ．
【分析】先根据三角形的三边关系定理得出a+c＞b，b+c＞a，再去掉绝对值符号合并即可．
【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c＞b，b+c＞a，
∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝（a﹣b+c）﹣（b+c﹣a）＝a﹣b+c﹣b﹣c+a＝2a﹣2b，
故答案为：2a﹣2b．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值，整式的加减的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．
18．在△ABC中，AB边上的高是 CE ，BC边上的高是 AD ；在△BCF中，CF边上的高是 BC ．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义判断．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AD；在△BCF中，CF边上的高是BC；
故答案为：CE；AD；BC．
【点评】本题主要考查了三角形高线的定义，解决问题的关键是掌握：钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
19．如图，在△ABC中，AB＝2012，AC＝2010，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ 2 ．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∴△ABD与△ACD的周长之差
＝（AB+BD+AD）﹣（AC+DC+AD）
＝AB﹣AC
＝2012﹣2010
＝2．
则△ABD与△ACD的周长之差＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
20．如图
①AD是△ABC的角平分线，则∠ BAD ＝∠ DAC ＝∠ BAC ，
②AE是△ABC的中线，则 BE ＝ EC ＝ BC ，
③AF是△ABC的高线，则∠ AFB ＝∠ AFC ＝90°．
【分析】根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空．
【解答】解：①AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，
②AE是△ABC的中线，则BE＝EC＝BC，
③AF是△ABC的高线，则∠AFB＝∠AFC＝90°，
故答案为：BAD；DAC；BAC；BE；EC；BC；AFB；AFC
【点评】此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．
三．解答题（共6小题）
21．已知，a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
【解答】解：|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|
＝﹣（a﹣b﹣c）+2（b﹣c﹣a）+（a+b﹣c）
＝﹣a+b+c+2b﹣2c﹣2a+a+b﹣c
＝﹣2a+4b﹣2c．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．
22．已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）在（1）的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．
【分析】（1）根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c，b﹣c﹣a及c﹣a﹣b的符号，再根据绝对值的性质化简；
（2）将a＝5，b＝4，c＝3代入计算即可．
【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b
＝a+b+c；
（2）当a＝5，b＝4，c＝3时，
原式＝5+4+3＝12．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系以及绝对值的性质的运用，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
23．一个三角形的两边长为3和5，
（1）求它的第三边a的取值范围；
（2）求它的周长L的取值范围；
（3）若周长为偶数，求三角形的第三边长．
【分析】根据三角形的三边关系定理可得第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．再根据范围确定a的值．
【解答】解：（1）根据三角形的三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，
即：2＜a＜8，
（2）∵第三边a的取值范围为2＜a＜8，
∴它的周长L的取值范围2+3+5＜L＜5+3+8
即10＜L＜16；
（3）∵第三边a的取值范围为2＜a＜8，
周长为偶数，
∴第三边的长为4或6．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
24．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处，
（1）若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
（2）若∠B+∠C＝130°，求∠1+∠2的度数．
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠D＝∠A，根据平行线的性质得到∠1＝∠A，∠2＝∠D，所等量代换得到∠1＝∠2．
（2）根据三角形的内角和定理得到∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝130°，根据折叠的性质得到∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE，所根据四边形的内角和等于360°得到∠AED+∠AFD＝260°，于是得到结论．
【解答】解：（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵∠D是由∠A翻折得到，
∴∠D＝∠A，
∵DE∥AC，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠D，
∴∠1＝∠2．
（2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝130°，
∵△DEF是△AEF由翻折得到，
∵∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE，
∴∠AED+∠AFD＝260°，
∵∠1+∠2+∠AED+∠AFD＝360°，
∴∠1+∠2＝100°．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，四边形内角和定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
25．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，点E在AB上，连接CE、DE．
（1）若∠1＝35°，∠2＝25°，则∠CED＝ 80 °；
（2）若∠1＝∠2，求证：∠3+∠4＝90°．
【分析】（1）根据三角形内角和定理，求解即可；
（2）根据平角定义求出∠CDE的度数，再根据三角形内角和定理即可求得．
【解答】解：（1）∵∠1＝35°，∠2＝25°，∠B＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠2
＝180°﹣90°﹣25°
＝65°，
∠CED＝180°﹣∠1﹣∠CEB＝180°﹣35°﹣65°＝80；
故答案为：80．
（2）∵∠1＝∠2，
∵∠B＝90°，
∴∠2+∠BEC＝90°，
∴∠1+∠BEC＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠3+∠4＝180°﹣∠CDE＝180°﹣90°＝90°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角知识，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
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