中小学教育资源及组卷应用平台
第11章 三角形
基础演练
一、单选题
1．（2022·湖南怀化·八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．过n边形的一个顶点做对角线，可把这个n边形分成（n﹣3）个三角形
B．三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性没有利用价值
C．将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为540°
D．一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加180°，外角和不变
2．（2020·湖北荆门·八年级期中）正六边形的对角线共有( )
A．9条 B．15条 C．12条 D．6条
3．（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级期中）如图，将△ABC沿AC边所在直线平移至△EDF，ED交BC于点H，则①AE＝CF，②AB＝ED，③，④∠HCF＝∠HEC+∠B中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2021·河北沧州·八年级期中）下图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．表示等腰三角形，表示等边三角形，表示三边均不相等的三角形
B．表示等边三角形，表示等腰三角形，表示三边均不相等的三角形
C．表示三边均不相等的三角形，表示等腰三角形，表示等边三角形
D．表示三边均不相等的三角形，表示等边三角形，表示等腰三角形
5．（2022·广西来宾·八年级期中）如图，在中，，则与∠A互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020·湖北荆门·八年级期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．若∠A＝43°时，点D在△ABC内，则∠ABD+∠ACD的值是( )
A．43° B．47° C．53° D．57°
7．（2021·福建·厦门市湖里中学八年级期中）如图，在ABC中，，，BD平分∠ABC，则∠DBC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．70°
8．（2022·贵州贵阳·八年级期末）如图，在中，，，ABCD，则的度数为（ ）
A．90° B．85° C．60° D．55°
9．（2021·广东·道明外国语学校八年级阶段练习）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．梯形 B．长方形 C．等腰三角形 D．平行四边形
10．（2021·湖南株洲·八年级期中）如图，线段把分成面积相等的两部分，则线段是（ ）
A．的中线 B．的高 C．的角平分线 D．以上都不对
11．（2021·重庆梁平·八年级期中）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点一定在三角形内部
B．三角形的三条中线的交点一定在三角形内部
C．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部
D．三角形的高，中线和角平分线都有三条
12．（2021·北京市昌平区东方红学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．BE B．AE C．BF D．CF
13．（2021·吉林·八年级期末）小东要从下面四组木棒中选择一组制作一个三角形作品，你认为他应该选（ ）组．
A．，， B．，， C．，， D．，，
二、填空题
14．（2022·上海外国语大学苏河湾实验中学八年级期中）如果多边形的内角和是2160 ，那么这个多边形的边数是________．
15．（2022·湖南怀化·八年级期中）一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则它是 _____边形．
16．（2022·陕西延安·八年级期末）若一个正多边形的每个外角度数都为60°，则从该多边形的一个顶点一共可以引出___________条对角线.
17．（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．
（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．
（4）、、这三个三角形的面积之比等于_______．
18．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为_______．
19．（2021·全国·八年级课前预习）小学阶段，通过度量或剪拼的方法，得出任意一个三角形的内角和等于_______度．
20．（2022·全国·八年级）如图，E为△ABC的重心，ED＝3，则AD＝______.
21．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在中，，CD是AB边上的中线，如果，那么的值是________．
22．（2022·广西河池·八年级期末）若中，是钝角，是边上的高，若，，则的面积等于______．
23．（2022·湖北咸宁·八年级期末）若一个三角形两条边的长分别是3，5，第三条边的长是整数，则该三角形周长的最大值是___．
24．（2021·新疆和田·八年级期中）已知一个三角形的两边长分别是和，则第三边长的取值范围是____．若是奇数，则的值是______．
三、解答题
25．（2022·广西来宾·八年级期中）如果一个多边形的每一个外角都等于与它相邻的内角，那么这个多边形是几边形？求这个多边形的每一个内角是多少度．
26．（2020·湖北荆门·八年级期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼合得到的：
(1)如图1，请你计算出的∠ABC的度数．
(2)如图2，若，请你计算出∠AFD的度数．
提升演练
一、单选题
1．（2022·全国·八年级课时练习）数学课上，老师在组织同学们探索多边形的内角和公式时，同学们提出了将此问题转化为已学的三角形内角和知识进行探索的思路．如图是四名同学探索多边形内角和公式时运用的不同的分割方法，将多边形转化为多个三角形，并得出了相同的结论．这四名同学在探索过程中主要体现的数学思想是（ ）
A．建模思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．转化思想
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，数轴上-6，-3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（ ）
A．-1 B．0 C．2.5 D．3
3．（2022·全国·八年级专题练习）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC中，M是BC上一点，则有，如图②，△ABC中，M是BC上一点，且BM＝BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是1，则△ADN的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南·长沙市华益中学八年级阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务．
教材P84页探究了三角形中边与角之间的不等关系如下：
如图，在△ABC中，若ABACBC，则∠C∠B∠A．若∠C∠B∠A，则AB >AC >BC．
根据上述材料得出的结论，判断下列说法，不正确的是（ ）
A．在△ABC中，AB >BC，则∠A >∠B
B．在△ABC中，AB >BC >AC，∠C=89°，则△ABC是锐角三角形
C．在Rt△ABC中，若∠B=90°，则最长边是AC
D．在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，则AB=BC
二、填空题
5．（2022·北京昌平·八年级期末）我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的______．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD ______（填“增大”或“减小”）________°．
7．（2022·上海市张江集团中学八年级期末）梯形的四条边长分别为4、5、6、7，这样不同形状的梯形可以画出___个．
8．（2022·全国·八年级课时练习）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝____°．
9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，分别是的边，上的点，连接，将沿DE折叠得到，交于点，过点作，交于点，已知，，那么______°．
10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点O是△ABC的三条角平分线的交点，连结AO并延长交BC于点D，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，直线MC和直线BO交于点N，OH⊥BC于点H，有下列结论：
①∠BOC+∠BMC＝180°；
②∠N＝∠DOH；
③∠BOD＝∠COH；
④若∠CBA＝∠CAB，则MN∥AB；
其中正确的有 _____．（填序号）
11．（2022·全国·八年级课时练习）多边形的内外角和：
n边形(n≥3)的内角和是___________外角和是______正n边形的每个外角的度数是______，每个内角的度数是___________ ．
12．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点，恰好重合于点，，则__________．
13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF（B、E、F在同一条直线上），若∠B＝46°，AC与DE相交于点G，∠AGD和∠DFB的平分线GP、FP相交于点P，则∠P=______°．
14．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，在正四边形、正五边形中，相邻两条对角线的夹角分别为，，则为______°，以此类推，正n边形相邻两条对角线的较大夹角为______°．
15．（2022·全国·八年级专题练习）一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是_____ ．
三、解答题
16．（2021·河北保定·八年级期中）在三角形纸片中，点D，E分别在边，上，将沿折叠，点C落在点的位置．
(1)如图1，当点C落在边上时，若，______________；
(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；
(3)如图3，当点C落在外部时，请直接写出与，之间的数量关系．
17．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在三角形ABC中CD为的平分线，交AB于点D，，．
(1)求证：；
(2)如果，，试证明．
18．（2022·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．
(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 a 15 20 30
上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 ．
(2)小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
(3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 °．
19．（2022·全国·八年级课时练习）已知：在下列平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点3个单位长度；点C在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度；点B坐标，
(1)在平面直角坐标系中分别描出A，B，C三个点，画出．
(2)求的面积：
(3)已知点P在x轴上，以A，C，P为顶点的三角形面积为3，请直接写出P点的坐标．
20．（2022·全国·八年级课时练习）已知，直线GE上有一点C，B在直线GE外
(1)如图1，点A在GE上，作∠BAG，∠BCG的平分线 AF，CF交于点F，请直接写出∠B与∠F数量关系．
(2)如图2，A在直线外（在B点的下方，直线GE的上方），过A作HD∥GE，试说明∠BCE+∠ABC＝∠BAD．
(3)如图3，HD∥GE，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，两线交于点F．问∠B与∠F有何数量关系，试说明．
21．（2022·全国·八年级课时练习）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
22．（2021·江西景德镇·八年级期末）含30度角的直角三角板和直尺按如图所示方式放置，直尺与三角板的外围边缘分别交于A，B，C，D四点．
(1)若∠3=95°，试求∠2的大小．
(2)∠1与∠2的和是否的定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
一、填空题
1．（2021·浙江·八年级期末）如图，已知中，，如图：设的两条三等分角线分别对应交于则_____；请你猜想，当同时n等分时，条等分角线分别对应交于，则______（用含n和的代数式表示）．
二、解答题
2．（2022·全国·八年级课时练习）在中，，，于D．
（1）如图①，已知于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．
3．（2022·全国·八年级课时练习）已知：在中，平分，平分，、交于点．
(1)如图1：若，求的度数；
(2)如图2：点是延长线上一点，连接、，，求证：；
(3)如图3：在（2）的条件下，过点作，交于点，点在线段的延长线上，连接，若，，，求的度数．
4．（2021·广东·江门市第二中学八年级开学考试）（1）如图，点在射线上，求证：．
（2）如图，在直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点是线段上一点，满足，点是线段上一动点（不与，重合），连接交于点．当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
5．（2022·江西景德镇·八年级期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
（3）如图3，点P是线段AD上的动点（不与A，D重合），连接PF、PG，的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．
6．（2021·浙江·台州市书生中学八年级开学考试）在中，．
（1）如图①，、的平分线相交于点，则________；
（2）如图②，的外角、的平分线相交于点，则_________；
（3）探究
探究一：如图③，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，求的度数．（用的代数式表示）
探究二：已知，四边形的内角的平分线所在直线与其外角的平分线所在直线相交于点，，
①如图④，若，则__________（用、的代数式表示）
②如图⑤，若，则___________（用、的代数式表示）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第11章 三角形
基础演练
一、单选题
1．（2022·湖南怀化·八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．过n边形的一个顶点做对角线，可把这个n边形分成（n﹣3）个三角形
B．三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性没有利用价值
C．将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为540°
D．一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加180°，外角和不变
【答案】D
【分析】根据矩形的性质，三角形的稳定性，多边形的内角和定理与外角和定理即可得到结论．
【详解】A、过n边形的一个顶点做对角线，可把这个n边形分成(n-2)个三角形，故不符合题意；
B、三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性也有利用价值，故不符合题意；
C、将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为540°或180°或360°，故不符合题意；
D、一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加180°，外角和不变，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形的稳定性，多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键．
2．（2020·湖北荆门·八年级期中）正六边形的对角线共有( )
A．9条 B．15条 C．12条 D．6条
【答案】A
【分析】根据对角线条数的公式n（n-3）计算可得．
【详解】解：正六边形的对角线共有×6×（6-3）=9条，
故选：A．
【点睛】此题考查了多边形对角线的计算公式，熟记公式是解题的关键．
3．（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级期中）如图，将△ABC沿AC边所在直线平移至△EDF，ED交BC于点H，则①AE＝CF，②AB＝ED，③，④∠HCF＝∠HEC+∠B中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据平移的性质及三角形外角性质进行判断即可．
【详解】由平移可知，AE=CF，AB=ED，，∠A=∠HEC，
∵∠HCF＝∠A+∠B，
∴∠HCF＝∠HEC+∠B，
∴正确的有：①②③④，共4个．
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，三角形外角性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
4．（2021·河北沧州·八年级期中）下图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．表示等腰三角形，表示等边三角形，表示三边均不相等的三角形
B．表示等边三角形，表示等腰三角形，表示三边均不相等的三角形
C．表示三边均不相等的三角形，表示等腰三角形，表示等边三角形
D．表示三边均不相等的三角形，表示等边三角形，表示等腰三角形
【答案】D
【分析】根据三角形按边分类得到三边都不相等的三角形和等腰三角形两类，其中等腰三角形分为腰与底相等的等腰三角形（等边三角形）和腰与底不相等的等腰三角形即可求解．
【详解】解：三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形分为腰与底相等的等腰三角形（等边三角形）和腰与底不相等的等腰三角形两类．
故选：D
【点睛】本题考查了三角形分类，熟知三角形分类标准是解题关键，注意对三角形分类要标准统一，做到不重不漏．
5．（2022·广西来宾·八年级期中）如图，在中，，则与∠A互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，
∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，
∴与∠A互余的角有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．
6．（2020·湖北荆门·八年级期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．若∠A＝43°时，点D在△ABC内，则∠ABD+∠ACD的值是( )
A．43° B．47° C．53° D．57°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝137°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．
【详解】解：在△ABC中，
∵∠A＝43°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣43°＝137°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝137°﹣90°＝47°；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
7．（2021·福建·厦门市湖里中学八年级期中）如图，在ABC中，，，BD平分∠ABC，则∠DBC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．70°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理可得，利用角平分线计算即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∵BD平分，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用角平分线计算和三角形内角和定理，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．
8．（2022·贵州贵阳·八年级期末）如图，在中，，，ABCD，则的度数为（ ）
A．90° B．85° C．60° D．55°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°，
∴∠A=∠ACD=40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键．
9．（2021·广东·道明外国语学校八年级阶段练习）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．梯形 B．长方形 C．等腰三角形 D．平行四边形
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【详解】解：根据题意，
等腰三角形具有稳定性，
其他四边形都没有稳定性；
故选：C
【点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
10．（2021·湖南株洲·八年级期中）如图，线段把分成面积相等的两部分，则线段是（ ）
A．的中线 B．的高 C．的角平分线 D．以上都不对
【答案】A
【分析】作三角形ABC的高AE，根据三角形面积公式，分别表示出S△ABD和S△ACD，即可得出BD=CD，即线段AD是三角形的中线．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
根据题意得：，
∵，，
∴，
∴BD=CD，
∴线段AD是的中线．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，三角形的中线可分三角形为面积相等的两部分．
11．（2021·重庆梁平·八年级期中）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点一定在三角形内部
B．三角形的三条中线的交点一定在三角形内部
C．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部
D．三角形的高，中线和角平分线都有三条
【答案】A
【分析】根据三角形的角平分线、高、中线的定义判断即可．
【详解】A、三角形的三条高的交点在三角形内部、外部或顶点上，本选项说法错误，符合题意；
B、三角形的三条中线的交点一定在三角形内部，本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部，本选项说法正确，不符合题意；
D、三角形的高，中线和角平分线都有三条，本选项说法正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的角平分线、高、中线，解题的关键是根据三条高线可以交在三角形的内部或外部或一角的顶点上．
12．（2021·北京市昌平区东方红学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．BE B．AE C．BF D．CF
【答案】B
【分析】利用三角形的高的定义可得答案．
【详解】解：在△ABC中，BC边上的高为AE，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
13．（2021·吉林·八年级期末）小东要从下面四组木棒中选择一组制作一个三角形作品，你认为他应该选（ ）组．
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】利用三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、，不能够组成三角形，不符合题意；
C、，不能够组成三角形，不符合题意；
D、，能够组成三角形，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边只差小于第三边是解题的关键．
二、填空题
14．（2022·上海外国语大学苏河湾实验中学八年级期中）如果多边形的内角和是2160 ，那么这个多边形的边数是________．
【答案】14
【分析】根据多边形的内角和公式列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
则（n 2）·180°＝2160°，
解得：n＝14．
则这个多边形的边数是14．
故答案为：14．
【点睛】此题考查了多边形内角和，比较简单，结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解是关键．
15．（2022·湖南怀化·八年级期中）一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则它是 _____边形．
【答案】八
【分析】根据题意可得这个多边形的内角和为，再根据多边性的内角和定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这个多边形的内角和为，
设这个多边形的边数为n，
∴，
解得：n=8，
即它是八边形．
故答案为：八
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和综合题，熟练掌握多边形的内角和与外角和定理，多边形的外角和等于360°是解题的关键．
16．（2022·陕西延安·八年级期末）若一个正多边形的每个外角度数都为60°，则从该多边形的一个顶点一共可以引出___________条对角线.
【答案】3
【分析】根据多边形外角和均为，结合题中条件求出正多边形的边数，进而根据对角线的构成特点即可得出结论．
【详解】解：一个正多边形的每个外角度数都为60°，
根据边形的外角和均为，这个正多边形为正六边形，
根据对角线的定义，从该多边形的一个顶点出发引出对角线的话，除了它自己与自己，还有它与左右相邻的两点，共三个点的连线不能形成对角线，则从该六边形的一个顶点一共可以引出条对角线，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据多边形外角和为及外角度数求正多边形的边数，解决问题的关键是掌握多边形一个定点引出的对角线条数为．
17．（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．
（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．
（4）、、这三个三角形的面积之比等于_______．
【答案】 6 ，， ，， BC：CD：DE
【分析】（1）直接观察图形可找出三角形的直角三角形；
（2）观察图形可找到以线段AC为公共边的三角形；
（3）观察图形可知线段CD所在的三角形以及BD边所对的角；
（4）通过 可得出结果．
【详解】（1）由图可知，
图中三角形有△ABC、△ADB、△AEB、△ACD、△ACE、△ADE，
图中有6个三角形，
由图可知，直角三角形有，，；
（2）由图可知，
以线段AC为公共边的三角形是，，；
（3）由图可知，
线段CD所在的三角形是，
BD边所对的角是；
（4）
故答案为：6；，，；，，；；；BC：CD：DE．
【点睛】本题主要考查三角形和直角三角形的识别，三角形的角以及面积比，属于基础题，熟练掌握三角形的概念是解题关键．
18．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为_______．
【答案】46°
【分析】由题意得∠C′＝90°，由折叠得∠CDE＝∠C′DE，那么∠CDE＝180°﹣∠1＝112°，故∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°，进而推断出∠C′DA＝112°﹣68°＝44°，从而求得∠2．
【详解】解：由题意得：∠C′＝90°，
由折叠得∠CDE＝∠C′DE．
∵∠1＝68°，
∴∠CDE＝180°﹣∠1＝112°．
∴∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°．
∴∠C′DA＝112°﹣68°＝44°．
∴∠2＝180°﹣∠C′﹣∠C′DA＝46°．
故答案为：46°．
【点睛】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．
19．（2021·全国·八年级课前预习）小学阶段，通过度量或剪拼的方法，得出任意一个三角形的内角和等于_______度．
【答案】180
20．（2022·全国·八年级）如图，E为△ABC的重心，ED＝3，则AD＝______.
【答案】9
【分析】根据重心的性质可求得AE=6，即可求得AD
【详解】∵E为△ABC的重心，ED＝3，∴AE＝2ED＝6，∴AD＝AE＋ED＝6＝3＝9
【点睛】本题考查重心的性质，解题的关键是掌握重心的性质.
21．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在中，，CD是AB边上的中线，如果，那么的值是________．
【答案】
【分析】画出图形，根据中线的定义结合题意可得，即得出．
【详解】如图，
∵CD是AB边上的中线，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查三角形中线的定义．掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段是解题关键．
22．（2022·广西河池·八年级期末）若中，是钝角，是边上的高，若，，则的面积等于______．
【答案】2
【分析】根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵是边上的高，，，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
23．（2022·湖北咸宁·八年级期末）若一个三角形两条边的长分别是3，5，第三条边的长是整数，则该三角形周长的最大值是___．
【答案】15
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的取值，即可求解．
【详解】解：设该三角形的第三边的长为x，根据题意得：
，即 ，
∵第三条边的长是整数，
∴x取3，4，5，6，7，
∴第三边最长为7，
∴该三角形周长的最大值是3+7+5=15．
故答案为：15
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．
24．（2021·新疆和田·八年级期中）已知一个三角形的两边长分别是和，则第三边长的取值范围是____．若是奇数，则的值是______．
【答案】 或
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边是奇数求得第三边的长．
【详解】解：设第三边长为，
根据三角形的三边关系，得：，
即，
又∵三角形的第三边长是奇数，
∴满足条件的数是或，
∴的值是或．
故答案为：；或．
【点睛】本题考查三角形三边关系，一元一次不等式组的整数解，注意奇数这一条件．掌握三角形三边关系是解题的关键．
三、解答题
25．（2022·广西来宾·八年级期中）如果一个多边形的每一个外角都等于与它相邻的内角，那么这个多边形是几边形？求这个多边形的每一个内角是多少度．
【答案】这个多边形是四边形，它的每一个内角是90°
【分析】首先求得外角的度数，根据正多边形外角和=360°，利用360°除以外角的度数即可解决问题．
【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于与它相邻的内角，
∴每个外角的度数是180°÷2=90°，
则边数是360°÷90°=4．
故这个多边形的每一个内角是90°，它是四边形．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和等于360°，正确理解多边形的内角和是解本题的关键．
26．（2020·湖北荆门·八年级期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼合得到的：
(1)如图1，请你计算出的∠ABC的度数．
(2)如图2，若，请你计算出∠AFD的度数．
【答案】(1)∠ABC＝75°
(2)∠AFD＝75°
【分析】（1）由∠F＝30°，∠EAC＝45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC＝90°，易得∠ABC的度数；
（2）首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AEBC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．
（1）∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，
∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°，
∵∠FBC＝90°，
∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝90°－15°＝75°；
（2）
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠C＝180°―∠B―∠BAC＝30°，
∵AEBC，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠CAE+∠E＝30°+45°＝75°
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
一、单选题
1．（2022·全国·八年级课时练习）数学课上，老师在组织同学们探索多边形的内角和公式时，同学们提出了将此问题转化为已学的三角形内角和知识进行探索的思路．如图是四名同学探索多边形内角和公式时运用的不同的分割方法，将多边形转化为多个三角形，并得出了相同的结论．这四名同学在探索过程中主要体现的数学思想是（ ）
A．建模思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．转化思想
【答案】D
【分析】根据题意即可得到结论．
【详解】解：探究多边形内角和公式时，从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割成（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和即为n边形的内角和，这一探究过程运用的数学思想是转化思想，同理可得其他的做法也是将多边形转化为多个三角形，因此应用的是转化思想．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，数学思想，熟练掌握数学思想是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，数轴上-6，-3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（ ）
A．-1 B．0 C．2.5 D．3
【答案】C
【分析】设B代表的数为x，则AC=3，AB和BC可以用x表示出来，然后根据三角形的三边关系求出x的取值范围即可得到解答．
【详解】解：设B代表的数为x，则由题意可得：
AC=AM=3，AB=x-（-3）=x+3，
BC=BN=NA-AB=9-(x+3)=6-x，
∴由三角形的三边关系可得：
解之可得：0故选C．
【点睛】本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次不等式组的求法是解题关键．
3．（2022·全国·八年级专题练习）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC中，M是BC上一点，则有，如图②，△ABC中，M是BC上一点，且BM＝BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是1，则△ADN的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接CD，有中线的性质得S△ADN＝S△CDN，同理S△ABN＝S△CBN，设S△ADN＝S△CDN＝a，则S△ABN＝S△CBN＝，再求出S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，然后由面积关系求出a的值，即可解决问题．
【详解】解：连接CD，如图：
∵N是AC的中点，
∴＝＝1，
∴S△ADN＝S△CDN，
同理：S△ABN＝S△CBN，
设S△ADN＝S△CDN＝a，
∵△ABC的面积是1，
∴S△ABN＝S△CBN＝，
∴S△BCD＝S△ABD＝﹣a，
∵BM＝BC，
∴＝，
∴＝＝，＝＝，
∴S△CDM＝3S△BDM，S△ACM＝3S△ABM，
∴S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，
∵S△ACM＝S四边形CMDN+S△ADN＝S△CDM+S△CDN+S△ADN，
即：＝﹣a+a+a，
解得：a＝，
∴S△ADN＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了中线的性质，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
4．（2021·湖南·长沙市华益中学八年级阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务．
教材P84页探究了三角形中边与角之间的不等关系如下：
如图，在△ABC中，若ABACBC，则∠C∠B∠A．若∠C∠B∠A，则AB >AC >BC．
根据上述材料得出的结论，判断下列说法，不正确的是（ ）
A．在△ABC中，AB >BC，则∠A >∠B
B．在△ABC中，AB >BC >AC，∠C=89°，则△ABC是锐角三角形
C．在Rt△ABC中，若∠B=90°，则最长边是AC
D．在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，则AB=BC
【答案】A
【分析】根据三角形的边与角之间的关系对各选项进行分析即可．
【详解】解：A、在△ABC中，AB>BC，则∠C>∠A，A说法错误，故A符合题意；
B、在△ABC中，AB>BC>AC，∠C=89°，说法正确，则△ABC是锐角三角形，故B不符合题意；
C、在Rt△ABC中，若∠B=90°，则最长边是AC，说法正确，故C不符合题意；
D、在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，则∠C=55°，得∠A=∠C，则AB=BC，故D说法正确，故D不符合题意．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理等知识点，解答的关键是三角形的内角和定理的掌握与应用．
二、填空题
5．（2022·北京昌平·八年级期末）我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的______．
【答案】不稳定性
【分析】根据四边形的不稳定性，即可求解．
【详解】解：它能伸缩是利用了四边形的不稳定性．
故答案为：不稳定性
【点睛】本题主要考查了四边形的不稳定性，熟练掌握四边形的不稳定性是解题的关键．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD ______（填“增大”或“减小”）________°．
【答案】 增大 10
【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，
∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠ABE+∠ADE=30°，
∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，
∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，
同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，
∴∠BCD增大了10°．
故答案为：增大，10．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中所给的结论是解题的关键．
7．（2022·上海市张江集团中学八年级期末）梯形的四条边长分别为4、5、6、7，这样不同形状的梯形可以画出___个．
【答案】1
【分析】假设存在上下底边长分别4，5；4，6；4，7；5，6；5，7；6，7分类讨论，再根据三角形三边关系判段即可得出结果．
【详解】所示，
假设存在上下底边长分别为4，5的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，6的平行四边形和一个三角形，
则这个三角形三边长分别为7，6，1，
∴这个三角形不存在，
∴假设不成立，这个梯形不存在．
假设存在上下底边长分别为4，6的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，5的平行四边形和一个三角形，
则这个三角形三边长分别为7，4，1，
∴这个三角形不存在，
∴假设不成立，这个梯形不存在．
假设存在上下底边长分别为4，7的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，5的平行四边形和一个三角形，
则这个三角形三边长分别为7，4，1，
∴这个三角形存在，
∴假设成立，这个梯形存在．
假设存在上下底边长分别为5，6的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，5的平行四边形和一个三角形，
则这个三角形三边长分别为7，4，1，
∴这个三角形不存在，
∴假设不成立，这个梯形不存在．
假设存在上下底边长分别为5，7的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，5的平行四边形和一个三角形，
则这个三角形三边长分别为7，4，1，
∴这个三角形不存在，
∴假设不成立，这个梯形不存在．
假设存在上下底边长分别为6，7的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，6的平行四边形和一个三角形，
则这个三角形三边长分别为7，4，1，
∴这个三角形不存在，
∴假设不成立，这个梯形不存在．
综上所述，这样不同形状的梯形可以画1个，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的三边关系，应用分类讨论的思想是解决此题的关键．
8．（2022·全国·八年级课时练习）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝____°．
【答案】48
【分析】设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3=∠A2A3A4=120°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4=108°，则∠B4B3D=72°，由平行线的性质得出∠EDA3=∠B4B3D=72°，再由四边形内角和即可得出答案．
【详解】设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：
∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和=（6-2）×180°=720°，
∴∠A1A2A3=∠A2A3A4= ，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠B2B3B4= ，
∴∠B4B3D=180°-108°=72°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA3=∠B4B3D=72°，
∴α=∠A2ED=360°-∠A1A2A3-∠A2A3A4-∠EDA3=360°-120°-120°-72°=48°，
故答案为：48．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、正五边形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握正六边形和正五边形的性质是解题的关键．
9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，分别是的边，上的点，连接，将沿DE折叠得到，交于点，过点作，交于点，已知，，那么______°．
【答案】50
【分析】由折叠可得，由可知，由为的外角，得出，故，得出 ， ，即可求出的度数．
【详解】解：∵，且
∴
∵为的外角
∴
由折叠可得
∴
∴
解得：，
故答案为：50．
【点睛】本题考查图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角，解题的关键是找出题中的等量关系，利用方程思想来解决问题．
10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点O是△ABC的三条角平分线的交点，连结AO并延长交BC于点D，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，直线MC和直线BO交于点N，OH⊥BC于点H，有下列结论：
①∠BOC+∠BMC＝180°；
②∠N＝∠DOH；
③∠BOD＝∠COH；
④若∠CBA＝∠CAB，则MN∥AB；
其中正确的有 _____．（填序号）
【答案】①③④
【分析】由平分可知：①∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，即∠OBM＝90°，∠OCM＝90°，可知∠BOC+∠BMC＝180°；②利用外角定理，角平分线性质进行计算分析即可；③根据∠BOD＝∠BAD+∠1＝∠BAC+∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∠COH＝90°﹣∠6＝90°﹣∠ACB，可知∠BOD＝∠COH；④若∠CBA＝∠CAB，则∠1＝∠2＝∠BAC，由于∠N＝∠BAC，可知∠1＝∠N，即MN∥AB．
【详解】解：如图所示，延长AC与E，
∵点O是△ABC的三条角平分线的交点，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，
∴∠2+∠3＝∠OBM＝90°，∠6+∠7＝∠OCM＝90°，
∵∠OBM+∠OCM+∠BOC+∠BMC＝360°，
∴∠BOC+∠BMC＝180°，
故①正确；
∵BN平分∠ABC，CM平分∠BCE，∠N+∠2＝∠7，
∴∠N＝∠7﹣∠2＝∠BCE﹣∠ABC，
∵∠BCE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠N＝∠BAC，
∵∠ODH＝∠BAD+∠ABC＝∠BAC+∠ABC，OH⊥BC，
∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣∠BAC﹣∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC≠90°，
∴90°﹣∠BAC﹣∠ABC≠∠BAC，
∴∠N≠∠DOH，
故②错误；
∵∠BOD＝∠BAD+∠1＝∠BAC+∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∠COH＝90°﹣∠6＝90°﹣∠ACB，
∴∠BOD＝∠COH，
故③正确；
∵∠CBA＝∠CAB，
∴∠1＝∠2＝∠BAC，
∵∠N＝∠BAC，
∴∠1＝∠N，
∴MN∥AB，
故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查的是三角形与角平分线的综合运用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
11．（2022·全国·八年级课时练习）多边形的内外角和：
n边形(n≥3)的内角和是___________外角和是______正n边形的每个外角的度数是______，每个内角的度数是___________ ．
【答案】
【分析】根据多边形的内角和定理和外有和定理求解即可．
【详解】解：n边形(n≥3)的内角和是
n边形(n≥3)的外角和是
正n边形的每个外角的度数是的，每个内角的度数是
故答案为：；；；
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形的内角和与外角．
12．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点，恰好重合于点，，则__________．
【答案】
【分析】根据翻折可得∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，得∠MAB+∠NAC＝90°，再由，即可解决问题．
【详解】解：根据翻折可知：∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，
∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC180°＝90°，
∴∠MAB+∠NAC＝90°，
∵∠NAC＝∠MAB，
∴∠NAC+∠NAC＝90°，
∴∠NAC＝54°．
故答案为：54°．
【点睛】本题主要考查翻折变换，熟练掌握和应用翻折的性质是解题的关键．
13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF（B、E、F在同一条直线上），若∠B＝46°，AC与DE相交于点G，∠AGD和∠DFB的平分线GP、FP相交于点P，则∠P=______°．
【答案】67
【分析】设，，根据平移的性质和角平分线的定义可表示出、和，再根据三角形内角和定理得出和的和，进而求出∠P的值．
【详解】解：将DG与PF的交点标为O，如图
由平移的性质得，，
设，，
则，
，
GP平分∠AGD，
FP平分∠DFB，
，
，
，
在中，
在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、全等三角形的性质、平行线的性质和三角形内角和定理，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．
14．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，在正四边形、正五边形中，相邻两条对角线的夹角分别为，，则为______°，以此类推，正n边形相邻两条对角线的较大夹角为______°．
【答案】 108
【分析】根据正多边形的性质，正多边形的内角和定理，三角形的外角的性质，求得相邻两条对角线的较大夹角，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：如图，
四边形是正方形，
可得，
，
五边形是正五边形，
，
，
，
，
同理可得，
当时，正边形相邻两条对角线的较大夹角等于正多边形的一个内角，
正边形相邻两条对角线的较大夹角为，
故答案为：108；.
【点睛】本题考查了正多边形的性质，正多边形的内角和定理，三角形的外角的性质，找到规律是解题的关键．
15．（2022·全国·八年级专题练习）一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是_____ ．
【答案】
【分析】分别求乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一， 乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时CD的值，即可求出CD的取值范围．
【详解】解∶当乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一时，即，
∴，
当乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时，即，
∴，
∴，
∴当时， 乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了三角形面积的应用，掌握等高的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键．
三、解答题
16．（2021·河北保定·八年级期中）在三角形纸片中，点D，E分别在边，上，将沿折叠，点C落在点的位置．
(1)如图1，当点C落在边上时，若，______________；
(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；
(3)如图3，当点C落在外部时，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠可知，，根据三角形的外角，即可得出∠C的度数；
（2）根据∠BEC′=40°，∠ADC′=22°求出和的度数，再根据四边形内角和，即可求出∠C的度数；
（3）用∠BEC′，∠ADC'分别表示出和，根据三角形的内角和，即可表示出∠C'．
(1)∵当点C落在边BC上时，是的外角，
∴，
根据折叠可知，，
∵，
∴；
故答案为：；
(2)∵∠BEC′=40°，∠ADC′=22°，
∴，
，
根据折叠可知，，
∴
；
(3)∵根据折叠可知，，，
∴，
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和与外角的性质，灵活运用三角形内角和与外角的性质是解题的关键．
17．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在三角形ABC中CD为的平分线，交AB于点D，，．
(1)求证：；
(2)如果，，试证明．
【分析】（1）先根据角平分线的定义求得∠ACB，进而说明∠ACB=∠3，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明；
（2）先根据两直线平行、内错角相等可得，进而得到∠BCD=∠2可得EF//DC，运用平行线的性质可得∠BFE=∠BDC，最后结合即可证明．
(1)证明：∵CD平分，（已知）
∴（角平分线的定义）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴．
(2)证明：由（1）知（已证）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定义）
∴（等量代换）
∴（垂直的定义）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线线的判定与性质成为解答本题的关键．
18．（2022·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．
(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 a 15 20 30
上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 ．
(2)小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
(3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 °．
【答案】(1)20；2∠EAD=∠C-∠B．
(2)
(3)56
【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系，
（2）分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD=∠BAE和-BAD即可得出答案，
（3）分析同（2）．
（1）解：∵∠B=30°，∠C=70°，∴Rt△ABD中，∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-30°-90°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=（180°-30°-70°）=40°，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°，∴a=20，同理可得2∠EAD=∠C-∠B故答案为：20；2∠EAD=∠C-∠B．
（2）解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
∵PD⊥BC，AF⊥BC，∴PD∥AF，∴∠EPD=∠EAF，∵△ABC内角和为180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，∵AE平分∠BAC，∴又∵∠BAF=90°-∠B，∴∠EAF=∠BAF-∠BAE=综上所述，
（3）解：同（2），依旧可得
【点睛】本题主要是考查三角形的内角和以及角平分线的定义，解题的关键在于各个角之间的转化，同时注意计算不能出错．
19．（2022·全国·八年级课时练习）已知：在下列平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点3个单位长度；点C在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度；点B坐标，
(1)在平面直角坐标系中分别描出A，B，C三个点，画出．
(2)求的面积：
(3)已知点P在x轴上，以A，C，P为顶点的三角形面积为3，请直接写出P点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)P点坐标为或
【分析】（1）根据题意求出点A、B、C的坐标，然后在平面直角坐标系中描点，连线即可；
（2）利用割补法求三角形面积；
（3）先设设P点的坐标（m，0），根据以A，C，P为顶点的三角形面积为3，列方程S△APC=，解方程即可．
(1)解：根据题意点A（0，3），点B（2，-1），点C（4，0），
在平面直角坐标系中描点点A（0，3），点B（2，-1），点C（4，0），顺次连结，
如图三角形ABC为所求；
(2)将△ABC补成正方形ADEF，边长为4，
∴S△AFB=；S△ADC=，S△BEC=，
∴S△ABC=S正方形ADEF-S△AFB-S△ADC-S△BEC=16-4-6-1=5；
(3)∵点P在x轴上，设P点的坐标（m，0），
∵以A，C，P为顶点的三角形面积为3，
∴S△APC=，
∴，
∴，
当时，
∴m=2，
当时，
∴m=6，
∴点P（2，0）或（6，0）．
【点睛】本题考查图形与坐标，平面直角坐标系中作图，割补法求三角形面积，一元一次方程，掌握图形与坐标，平面直角坐标系中作图，割补法求三角形面积，解一元一次方程是解题关键．
20．（2022·全国·八年级课时练习）已知，直线GE上有一点C，B在直线GE外
(1)如图1，点A在GE上，作∠BAG，∠BCG的平分线 AF，CF交于点F，请直接写出∠B与∠F数量关系．
(2)如图2，A在直线外（在B点的下方，直线GE的上方），过A作HD∥GE，试说明∠BCE+∠ABC＝∠BAD．
(3)如图3，HD∥GE，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，两线交于点F．问∠B与∠F有何数量关系，试说明．
【答案】(1)∠B＝2∠F
(2)见解析
(3)∠B＝2∠F；理由见解析
【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠BND＝∠BCE，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，根据角平分线的定义得到∠BAH＝2∠FAH，∠BCG＝2∠FCG，等量代换得到∠BNH＝2∠FMH，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
(1)证明：∵AF、CF分别平分∠CAB、∠GCB，
∴，，
∵∠GCB为△ABC的外角，
∴，
∵为△ACF的外角，
∴，
，
，，
∴，
∴．
(2)，
∴∠BND＝∠BCE，
∵∠BAD＝∠BND+∠ABC，
∴∠BCE+∠ABC＝∠BAD．
(3)∠B＝2∠F；
，
∴∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，
∵FA，FC是∠BAH与∠BCG的角平分线，
∴∠BAH＝2∠FAH，
∠BCG＝2∠FCG，
∴∠BNH＝2∠FMH，
∵∠BNH＝∠B+∠BAH，
∠FMH＝∠F+∠FAH，
∴∠B＝2∠F．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握两直线平行同位角相等，三角形外角的性质，是解题的关键．
21．（2022·全国·八年级课时练习）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；
（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．
（1）解：如图，过点A作AE⊥BC，
则，∵AE=AE，∴．
（2）解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．
（3）解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
22．（2021·江西景德镇·八年级期末）含30度角的直角三角板和直尺按如图所示方式放置，直尺与三角板的外围边缘分别交于A，B，C，D四点．
(1)若∠3=95°，试求∠2的大小．
(2)∠1与∠2的和是否的定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)∠1与∠2的和是定值；
【分析】（1）根据根据三角板形状得出，，根据，得出，即可得出，根据三角形内角和定理得出；
（2）根据外角的性质，得出，根据三角形内角和，得出，即可得出．
(1)解：根据三角板形状可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
(2)∠1与∠2的和是定值；
∵为△ADE的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等，是解题的关键．
一、填空题
1．（2021·浙江·八年级期末）如图，已知中，，如图：设的两条三等分角线分别对应交于则_____；请你猜想，当同时n等分时，条等分角线分别对应交于，则______（用含n和的代数式表示）．
【答案】 60°+α
【分析】根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据三等分的定义求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠On-1BC+∠On-1CB），在△On-1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线，
∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=120°-α；
∴∠BO2C=180°-（∠O2BC+∠O2CB）=180°-（120°-α）=60°+α；
在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵On-1B和On-1C分别是∠B、∠C的n等分线，
∴∠On-1BC+∠On-1CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=，
∴∠BOn-1C=180°-（∠On-1BC+∠On-1CB）=180°-（）=，
故答案为：60°+α，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
二、解答题
2．（2022·全国·八年级课时练习）在中，，，于D．
（1）如图①，已知于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，．
【分析】(1)分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证；
(2)连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证；
(3)作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解．
【详解】解：（1）证明：
（2）如图②，连接PB，
，
（3）如图③，即为图像，
连接PB，作交BC的延长线于E点，
，
【点睛】本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握．
3．（2022·全国·八年级课时练习）已知：在中，平分，平分，、交于点．
(1)如图1：若，求的度数；
(2)如图2：点是延长线上一点，连接、，，求证：；
(3)如图3：在（2）的条件下，过点作，交于点，点在线段的延长线上，连接，若，，，求的度数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)64°
【分析】（1）先证明，，再求解，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）利用三角形的外角的性质证明，从而可得结论；
（3）先证明，设，，求解，，证明，再列方程求解即可．
(1)证明：∵、分别平分与
∴，，
在中，，
∴
∴
∴
(2)证明：∵是得一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴．
(3)解： ，
，
∵平分，平分，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∵，，
而
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的角平分线的定义，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，方程思想的应用，熟练的运算三角形的内角和定理与外角的性质建立角与角之间的关系是解本题的关键．
4．（2021·广东·江门市第二中学八年级开学考试）（1）如图，点在射线上，求证：．
（2）如图，在直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点是线段上一点，满足，点是线段上一动点（不与，重合），连接交于点．当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）不变，值为2
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠A+∠B=180°-∠ACB，根据平角的定义得到∠ACD=180°-∠ACB，等量代换即可得到结论；
（2）过O作OG∥AC，根据平行线的性质得到∠1=∠CAO，求得∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，∠1=∠2，如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，由平行线的性质得到∠4=∠PHC，等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠ACB，∠A+∠B=180°-∠ACB，
∴∠ACD=∠A+∠B．
（2）结论：的值不变，其值为2．
理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3=90°，∠CAO+∠FCO=90°，∠3=∠FCO，
∴∠2=∠CAO，
过O作OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠1=∠2，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴===2．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于试卷压轴题．
5．（2022·江西景德镇·八年级期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
（3）如图3，点P是线段AD上的动点（不与A，D重合），连接PF、PG，的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）∠β+∠α＝90°，理由见解析；（2）135°；（3）不变，1．
【分析】（1）如图1，延长AM交EG于M．由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°，故∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．进而推断出∠β+∠α＝90°．
（2）如图2，延长AC交EG于N．由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°，得∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°，故∠1+∠CGN＝90°．因为∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，所以∠QFC＝，∠GQC＝90°﹣．那么，∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝135°．
（3）由题意知：DF∥EG，得∠FOG＝∠EGO，故＝＝1．
【详解】解：（1）如图1，延长AM交EG于M．
∠β+∠α＝90°，理由如下：
由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°．
∴∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．
∵∠EGB和∠CGM是 对顶角，
∴∠β＝∠CGM．
∴∠β+∠α＝90°．
（2）如图2，延长AC交EG于N．
由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°．
∴∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．
∴∠1+∠CGN＝90°．
∵QF平分∠DFC，
∴∠QFC＝．
同理可得：∠GQC＝90°﹣．
∵四边形QFCG的内角和等于360°．
∴∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB
＝360°﹣（90°﹣）﹣（90°﹣）﹣90°
＝
∴∠FQG＝135°．
（3）如图3，
由题意知：DF∥EG．
∴∠FOG＝∠EGO．
∴＝＝1．
∴的值不变．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内角和等于360°，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内角和等于360°是解题的关键．
6．（2021·浙江·台州市书生中学八年级开学考试）在中，．
（1）如图①，、的平分线相交于点，则________；
（2）如图②，的外角、的平分线相交于点，则_________；
（3）探究
探究一：如图③，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，求的度数．（用的代数式表示）
探究二：已知，四边形的内角的平分线所在直线与其外角的平分线所在直线相交于点，，
①如图④，若，则__________（用、的代数式表示）
②如图⑤，若，则___________（用、的代数式表示）
【答案】（1）125；（2）55；（3）探究一：；探究二：①；②
【分析】（1）求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）探究一：根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠OBC表示出∠OCE，再利用外角性质得到∠BOC=∠OCE-∠OBC，然后整理即可得到∠BOC的度数．
探究二：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BOC+∠OBC=∠OCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可．
【详解】解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=×110°=55°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；
（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∵、分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠=∠DBC，∠=∠ECB，
∴∠+∠=（180°+∠A），
∴∠=180°-（∠+∠）=180°-（180°+∠A）=90°-∠A=55°；
（3）探究一：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCE=（∠A+∠ABC）=∠A+∠OBC，
∵∠OCE是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠A+∠OBC-∠OBC=∠A=n°；
探究二：①由四边形内角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性质得，∠OCE=∠O+∠OBC，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE，
∴∠BOC+∠OBC=（∠A+∠D+∠ABC-180°）=（∠A+∠D）+∠ABC90°，
∴∠BOC=（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=n°，∠D=m°，
∴∠BOC=（n°+m°）-90°；
②如图：同①可求，∠FBC=∠ABC，∠GCE=∠DCE，
∴∠BCO=∠GCE=∠DCE，
∴∠BOC+∠BCO=，
∴∠BOC+∠GCE=，
∴，
∴
∴
∴∠BOC=90°（n°+m°）．
故答案为：125；55；（n°+m°）-90°；90°-（n°+m°）．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
