13.3.1等腰三角形（1） 课件（25张PPT）

(共25张PPT)
13.3.1等腰三角形
人教版八年级上册
教学目标
（1）知道等腰三角形的性质
（2）能运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
新知导入
我们知道有两边相等的三角形叫等腰三角形。
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
在前面学习轴对称图形中，大家知道等腰三角形是轴对称图形吗 能否运用轴对称图形的性质来探究等腰三角形的性质？
新知讲解
知识点1
探索并证明等腰三角形的性质
探究
　　如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
D
AB=AC
等腰三角形
新知讲解
【思考】△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
新知讲解
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
新知讲解
等腰三角形的性质:
性质1：等腰三角形的两个底角相等；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
猜想
A
B
C
【思考】如何构造两个全等的三角形？
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
新知讲解
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线.
还有其他的证法吗？
新知讲解
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
新知讲解
由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌△CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
【想一想】
新知讲解
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
即：等腰三角形
顶角平分线
底边上的高线
底边上的中线
具备其中一条
另外两条成立
新知讲解
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）
数学语言：如图, 在△ABC中,
　　在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
巩固练习
1、 在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
72°
30°
【课本P77 练习 第1题】
巩固练习
【课本P77 练习 第2题】
2. 如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°）， AD是底边BC上的高. 标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，并写出图中所有相等的线段.
巩固练习
【课本P77 练习 第3题】
3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数.
例题讲解
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
例题讲解
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° .
解得x=36 ° .
∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
例题讲解
例2 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
例题讲解
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG–DG＝CG–EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
课堂总结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质
易错点拨
（1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论
（2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线”
随堂练习
1.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．30° B．60° C．75° D．85°
C
2.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．20°
C．20°或80° D．50°或80°
C
随堂练习
3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的度数.
解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
∵AD=AC，∴∠ADC=∠C.
∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.
设∠B=x，则∠BAC=2∠BAD=2x，
∠C=∠ADC=∠B+∠BAD=2x，
∴∠B+∠BAC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，∴∠B=36°.
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE，求证：EF⊥ BC.
证明：作AD⊥BC，垂足为D.
∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD.
∵∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF.
∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF.
∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin