高中数学人教A版必修第一册课件5.7三角函数的应用 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
5.7 三角函数的应用
第五章 三角函数
学习目标
周期性现象的例子可能包括以下几方面：
（1）匀速圆周运动．如表的指针的转动，摩天轮等；
（2）自然界中的周期性现象．如潮汐变化，日升日落，一天当中的气温变化等；
（3）物理学中的周期性现象．如钟摆，弹簧振子运动，发电机产生的交变电流等．
整体感知
问题1　你能举出生活中具有周期性现象的实例吗
模型：简谐运动
新知探究
简谐运动——弹簧振子
T 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0
新知探究
问题1　某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位s）与位移y（单位mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
可以用y＝Asin（ωx＋φ)这个函数模型．
新知探究
思考1　画出散点图并观察，位移y随时间t 的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？
思考2　你能求出函数的解析式吗？
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．
可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数：
y=Asin（ωx+φ ）,x∈［０，＋∞）表示，其中A＞０， ω ＞０．
归纳总结
简谐运动可以用函数 来表示，其中A为振幅（物体离开平衡位置的最远距离）， 为周期， 为频率． 相位，ω为初相．
问题2 图(1)是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t(单位：s)变化的图象.将测得的图象放大，得到图(2).
(1) 是某求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式；
(1)
(2)
应用探究
(2) 当 时，求电流 i.
应用探究
解：（1）可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，
由图(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5；
电流变化的周期为 s，频率为50Hz，即 ，
解得ω=100π；
所以电流随时间变化的函数解析式是
(2)
再由初始状态(t=0)的电流为4.33A，可得sin φ=0.866，因此φ约为 .
应用探究
解：（2）
将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:
理解题意
建立三角函数模型
求解
还原解答
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
例1　如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
典例解析
时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
例2.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值.（精确到0.001）
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
根据图象，可以考虑用函数
来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：
解：（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图.
A=2.5,h=5,T=12, =0;
由 , 得
所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
时刻 0.00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00
水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.750
时刻 12.00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所以
当y≥5.5时就可以进港.令
化简得
由计算器计算可得
解得
因为 ，所以有函数周期性易得
因此，货船可以在凌晨0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右.
（3）设在时刻x货船的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点.
通过计算可得，在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为4米，因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将货船驶向较深的水域.
1.根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.
2.对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.