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3.2.2 双曲线的简单几何性质
第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 双曲线的第二定义
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线．
知识点二 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有0个公共点．
注意点：
直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
知识点三 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，P是其上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1
答案：C
2.双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线l：y＝x的距离d＝，则a＋b＝( )
A.－ B. C.或－ D.2或－2
答案：B
解析：由题意可知a2－b2＝1(a≥1)成立，且＝，解方程组可得a＋b＝，故选B．
3.若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )
答案：C
解析：原方程分别可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两椭圆看，a>0，b>0，但由B中的直线可得a<0，b<0，矛盾，排除B；从D中的直线可得a<0，b>0，矛盾，排除D．由A中的双曲线可得a<0，b>0，但由直线可得a>0，b>0，矛盾，排除A．由C中的双曲线可得a>0，b<0，由直线可得a>0，b<0，故选C．
4.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )
A.(1,2) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(2,1)
答案：C
解析：将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，故选C．
5.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.∪ C. D.
答案：C
解析：双曲线过一、三象限的渐近线的斜率k＝，要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点，只要满足<2即可，即>.∴>，∴>，∴e>，故选C．
6.已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为( )
A.3 B.4 C.6 D.6
答案：D
解析：双曲线C：－＝1，则c2＝4，∴右焦点为F(2,0)，根据题意易得过F的直线斜率存在，设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，∴xA＋xB＝，xAxB＝.∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋xB＝＝8，解得k2＝2，∴xAxB＝＝10，则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24，则|AB|＝＝＝6.
7.设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
答案：D
解析：设F1(－c,0)，A(－c，y0)，则－＝1，∴＝－1＝＝＝，∴y＝，∴|AB|＝2|y0|＝.又＝2，∴·2c· |AB|＝·2c·＝＝2，∴＝，∴＝＝.∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
8.(多选题)已知圆O的半径为定长r，点A是平面内一定点(不与点O重合)，P是圆O上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹可能是( )
A.椭圆 B.双曲线一支 C.直线 D.点
答案：ABD
解析：∵线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，∴|QA|＝|QP|.
①若点A在圆外，则|QO－QP|＝OP，即|QO－QA|＝r
②若点A在圆内，则|QA＋QO|＝|QP＋QO|＝r>OA，此时点Q的轨迹为椭圆；
③若点A在圆上，则AP的中垂线经过圆心O，此时点Q的轨迹为圆心O，故选ABD．
9.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2
C. D.
答案：D
解析：取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为.∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝.故选D.
10.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
答案：C
解析：设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，将x＝c代入双曲线－＝1，得y＝±，不妨取C，B，又A1(－a,0)，A2(a,0)，故＝＝－，＝＝.因为A1B⊥A2C，故－×＝－1，即＝1，即＝1，所以a＝b，故渐近线方程是y＝±x＝±x.
二、填空题
11.过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.
答案：3
解析：易得双曲线的左焦点F1(－2,0)，∴直线AB的方程为y＝(x＋2)，与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，∴|AB|＝·＝×＝3.
12.已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点，则a的取值范围是____________．
答案：－解析：由得(3－a2)x2－2ax－2＝0.∵直线与双曲线相交于两点，∴ －13.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
答案：[2，＋∞)
解析：由题意，知≥，则≥3，所以e＝≥2.
14.双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案：
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，
所以B.所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝.
15.双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左、右顶点为A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线斜率为________．
答案：±1
解析：由题意知F(c，0)，A1(－a，0)，A2(a，0)，其中c＝.联立解得B，C，所以＝，＝.因为A1B⊥A2C，所以·＝(c＋a)(c－a)－＝0，解得a＝b，所以渐近线的斜率为±1.
三、解答题
16.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
解：(1)由消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
由题意，知解得－所以实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)，得x1＋x2＝－，x1x2＝－.
又直线l恒过点D(0，－1)，
则①当x1x2<0时，S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝.
②当x1x2>0时，S△OAB＝|S△OAD－S△OBD|＝＝|x1－x2|＝.
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
由(1)，知上述k的值符合题意，所以k＝0或k＝±.
17.双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，且经过点(3，－2)．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.
解：(1)∵双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ(λ≠0)．
又∵双曲线经过点(3，－2)，代入方程可得λ＝6，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝(x－3)，
联立得x2－18x＋33＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝18，x1x2＝33，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝2＝16，
即弦长|AB|＝16.
18.若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，求k的值．
解：(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，故
即
∴1＜k＜.
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝.
又1＜k＜，∴k＝.
19.已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)．
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．
解：(1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，
联立消去y，得3x2＋2x－2＝0.
设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
则|AB|＝＝＝·
＝×＝.
(2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
∴解得0∵双曲线的离心率e＝＝，
∴e>且e≠.
即离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．
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3.2.2 双曲线的简单几何性质
第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 双曲线的第二定义
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线．
知识点二 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有0个公共点．
注意点：
直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
知识点三 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，P是其上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1
2.双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线l：y＝x的距离d＝，则a＋b＝( )
A.－ B. C.或－ D.2或－2
3.若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )
4.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )
A.(1,2) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(2,1)
5.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.∪ C. D.
6.已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为( )
A.3 B.4 C.6 D.6
7.设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
8.(多选题)已知圆O的半径为定长r，点A是平面内一定点(不与点O重合)，P是圆O上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹可能是( )
A.椭圆 B.双曲线一支 C.直线 D.点
9.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2
C. D.
10.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
二、填空题
11.过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.
12.已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点，则a的取值范围是____________．
13.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
14.双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
15.双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左、右顶点为A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线斜率为________．
三、解答题
16.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
17.双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，且经过点(3，－2)．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.
18.若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，求k的值．
19.已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)．
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．
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