(共22张PPT)
人教版 数学 九年级 上册
时间：
21.1 一元二次方程
2022/9/9
复习回顾
一元一次方程：
二元一次方程：
分式方程：
复习回顾
分析已知量、未知量和
等量关系
方程
数学问题
实际问题
抽象
分析
设未知数
方程的解
检验
实际问题的答案
解方程
知识回顾
判断下列式子是否是一元一次方程：
一元一次方程
1、只含有一个未知数
2、未知数的次数都是1
3、等号两边都是整式
3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能解决相关问题.
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
素养目标
课堂导入
要设计一座2 m高的人体雕像，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
A
C
B
2 m
x m
，即 ．
解：雕像上部的高度AC，下部的高度BC
应有如下关系：
设雕像下部高x m，可得方程
整理得
x2+2x 4=0 ．
x2=2(2 x)，
这个方程与我们学过的一元一次方程不同，x的最高次数是2．如何解这类方程？如何用这类方程解决一些实际问题？这就是本章我们要学习的内容．
知识点1
新知探究
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为x cm，
则盒底的长为(100 2x) cm，宽为(50 2x) cm．
根据方盒的底面积为3 600 cm2，得
(100 2x)(50 2x)=3 600．
整理，得 4x2 300x+1 400=0．
化简，得 x2 75x+350=0 ．
由上面的方程可以得出所切正方形的具体尺寸．
解：
知识点1
新知探究
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
由上面的方程可以得出参赛队数．
全部比赛的场数为4×7=28．
列方程 x（x 1）=28 ，
整理，得 x x=28 ，
化简，得x x=56 ．
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x 1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 x（x 1）场．
解：
知识点1
新知探究
1． 这些方程的两边都是整式；
2． 方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2．
x2 x=56
x2 75x+350=0
x2+2x 4=0
观察由上面的问题得到的方程有什么特点？
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
知识点2
新知探究
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax +bx+c=0 (a≠0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式 ．
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
指出方程各项的系数时要带上前面的符号．
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，为什么规定 a≠0？ b，c可以为0吗？
跟踪训练
新知探究
2．若方程 (m+2)x|m| 3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( )
A．m≠±2 B．m＝2
C．m＝ 2 D．m＝±2
1．下列方程，一元二次方程的个数是( )
①3x2+7=0；②x3+2x=1 x2+x3；③2x2 3y+1=0；④3x2 +6=0．
A．1 B．2 C．3 D．4
B
B
跟踪训练
新知探究
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
1 -4 0
1 2 -14
2 -3 -9
知识点3
新知探究
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：
将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
跟踪训练
新知探究
1． 下列哪些数是一元二次方程 x2-4x+3＝0 的解？
-1， 0， 1， 3．
2． 方程 x2+x－12＝0 的两个根为( )
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
D
随堂练习
1
A．
B．5x2+y=0
C．ax2+bx+c=0
D．(x-1)(x+2)=1
D
不是整式
不是一元
缺少a≠0的条件
下列选项中是一元二次方程的是( )
随堂练习
2
根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)一个圆的面积是 6.28 cm2，求半径；
(2)一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2，求较长的直角边.
解：(1)设圆的半径为 r cm，则圆的面积为（πr2）cm2 ，
所以其一般形式为 πr2-6.28=0．
(2)设较长的直角边长为 a cm，则较短的直角边长为 (a-3) cm，
则直角三角形的面积为[ a(a-3)] cm2 ，
所以其一般形式为 a2-3a-18=0．
随堂练习
3
如果 2 是方程 x2-c=0 的一个根，那么常数 c 是多少？求出这个方程的其他根．
解：因为 2 是方程 x2-c=0 的一个根，
所以 22-c=0，
解得 c=4，
则原方程为 x2-4=0，即x2=4，
因为 4 的平方根为±2，
所以方程 x2-4=0 的另一个根为-2．
随堂练习
4
解： 因为 a 为方程 x2-3x+1=0 的一根，
所以 a2-3a+1=0，
则a3-4a2+4a-1=a(a2-3a+1)-(a2-3a+1)=a×0-0=0．
已知 a 为方程 x2-3x+1=0 的一根，求 a3-4a2+4a-1 的值．
课堂小结
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；（一元）
最高次数是2.（二次）
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要
条件；
解（根）
使方程左右两边相等的未知数的值.
定义
判断
等号两边都是整式，只含一个未知数且未知数的最高次数是2的方程
对接中考
1
若 2n(n≠0) 是关于 x 的方程 x2-2mx+2n=0 的根，则 m-n 的值为 ．
解： 因为 2n(n≠0) 是关于 x 的方程 x2-2mx+2n=0 的根，
所以 (2n)2-2m×2n+2n=0，
即2n(2n-2m+1)=0，
因为n≠0，
所以2n-2m+1=0，
化简得m-n= ．
对接中考
2
（2019·资阳中考）a是方程2x =x+4的一个根，则代数式4a -2a的值是 .
解：∵a是方程2x =x+4的一个根，
∴2a -a=4，
∴4a -2a=2（2a -a）=2×4=8.
8
对接中考
3
如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽 6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是 x cm，根据题意可列方程为( )
A．10×6-4×6x=32
B．(10-2x)(6-2x)=32
C．(10-x)(6-x)=32
D．10×6-4x2=32
B(共18张PPT)
人教版 数学 九年级 上册
时间：
21.2.1 配方法
2022/9/7
第1课时 直接开平方法
学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
(难点）
2.运用直接开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p (p≥0)的方程.
(重点）
导入新课
情景引入
古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况。某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在30里之外，营地形似正方形，约16方里”，将军立马说：“原来敌方营地长4里”。
思考：将军是怎么知道敌方营地长的？
1.如果 x2=a，则x叫做a的 .
导入新课
复习引入
平方根
2.如果 x2=64，则x= .
±8
3.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
讲授新课
直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程
一
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2dm2，依题意，
列出方程
10×6x2=1500，
整理，得
x2=25.
开平方得
即x1=5，x2= 5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
x=±5，
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4
(2) x2=0
(3) x2+1=0
解：根据平方根的意义，
直接开平方，得x1=2，x2= 2.
解：根据平方根的意义，
直接开平方，得x1=x2=0.
解：移项，得x2= 1，
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0;
(3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
探究归纳
一般地，对于方程 x2 = p， (I)
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
的实数根
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
归纳
例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：
(1) x2=6，
直接开平方，得
(2)移项，得
x2=900.
直接开平方，得
∴x1=30，x2= 30.
典例精析
方法点拨：通过移项把方程化为 x2 = p的形式，然后直接开平方即可求解．
在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：
(x+3)2=5 ， ②
得
对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？
探究交流
于是，方程(x+3)2=5的两个根为
直接开平方法解形如(mx+n)2=p (p≥0)的方程
二
一元二次方程
降次
转化思想
一元一次方程
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
归纳
直接开平方法解形如(mx+n)2=p (p≥0)的方程
例2 解下列方程：
（1）(x＋1)2= 2 ；
解析：第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
∴x1= 1+
，x2= 1
解：（1）直接开平方，得
∴x+1=
典例精析
或 x+1=
解析：第2小题先将－4移项到方程的右边，再同第1小题一样地解.
（2）(x 1)2 4 = 0；
∴x1=3，x2= 1.
解：（2）移项，得(x 1)2=4.
直接开平方得
x 1=2 或x 1= 2
∴ x1= ，
x2=
（3）12(3 2x)2 3 = 0.
解：（3）移项，得12(3 2x)2=3，
两边都除以12，得(3 2x)2=
开平方得 3 2x= ，3 2x=
1.你能用直接开平方法解(mx＋n)2= p的一元二次方程吗？（用m,n,p的代数式表示）
2.任意一个(mx＋n)2= p形式的一元二次方程都有解吗？请举例说明.
探讨交流
当堂练习
C. 4(x 1)2=9，解方程，得4(x 1)= ±3，x1= ，
x2=
D. (2x+3)2=25，解方程，得2x+3=±5，x1= 1，x2= 4
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
A. x2= 2，解方程，得x=±
B. (x 2)2=4，解方程，得x 2=2，x=4
D
(1)方程x2=0.25的根是 .
(2)方程2x2=18的根是 .
(3)方程(2x-1)2=9的根是 .
x1=0.5，x2= 0.5
x1＝3，x2＝ 3
x1＝2，x2＝ 1
2.填空:
3. 解下列方程：
(1)x2 81＝0； (2)2x2＝50；
(3)(x＋1)2=4 .
解：x1＝9，x2＝ 9；
解：x1＝5， x2＝ 5；
解：x1＝1，x2＝ 3.
解方程：
挑战自我
解：
方程的两根为
或
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0).
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
课堂小结
数学思想：整体思想、转化思想．(共19张PPT)
人教版 数学 九年级 上册
时间：
21.2.1 配方法
2022/9/9
温故知新
1. 已知代数式x2＋nx＋4是一个完全平方式，则n的值为______________．
2. 分解因式：a2－4ab＋4b2＝______________．
±4
（a－2b）2
1.（人教九上P9练习1改编）完成下列配方过程：
（1）x2＋8x＋_______＝（x＋______）2；
（2）x2－x＋_________＝（x－__________）2；
（3）x2＋_________＋4＝（x＋_________）2；
（4）x2－________＋＝（x－___________）2．
16
4
4x
2
3x
温故知新
（1）知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会
用配方法解一元二次方程.
（2）通过配方进一步体会“降次”的转化思想.
新课导入
请把方程(x+3)2=5化成一般形式。
那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+m)2=n的形式吗？
这节课我们一起来学习配方法。
知识点1
用配方法解一元二次方程
怎样解方程x2+6x+4=0
分析：我们已经会解方程(x+3)2=5. 因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
移项
两边加上 ,使左边配成
左边写成完全平方的形式
降次
解一元一次方程
转化思想
思考：为什么要在x2+6x= -4两边加9而不是其他数？
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方是为了降次 ，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
归纳
知识点2
用配方法解一元二次方程的一般步骤
例1 解下列方程
(1) x2-8x+1=0 (2)2x2+1=3x (3)3x2-6x+4=0
(1)解：移项，得：x2-8x=-1
配方，得：x2-8x+42=-1+42
(x-4)2=15
(2) 2x2+1=3x
(2) 解：移项，得：2x2-3x=-1
二次项系数化为1：
配方，得：
(3) 3x2-6x+4=0
(3) 解：移项，得：3x2-6x=-4
二次项系数化为1：
配方，得：
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
归纳
思考：说说配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项
②系数化为1
③配方
④开方
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
规律总结
①当p>0时，则 ，方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0，x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时，则方程(x+n)2=p无实数根.
1. 用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为( )
A. (x+3)2=16 B.(x-3)2=16
C.(x+3)2=2 D.(x-3)2=2
2. 填空.
(1) 4x2+4x+1= (2) x2－30x+225=
随堂演练
基础巩固
(2x+1)2
B
(x－15)2
3. 用配方法解下列方程.
（1）x2+10x+9=0； （2）x2+4x-9=2x-11;
解：移项, x2+10x=-9
配方, x2+10x+25=16
(x+5) 2=16
x+5=±4
方程的两个根为
x1=-1，x2=-9
解：移项, x2+2x=-2
配方, x2+2x+1=-1
(x+1)2=-1
方程没有实数根.
（3）x(x+4)=8x+12
解：化简移项 x2-4x=12
配方 x2-4x+4=16
(x-2)2=16
x-2=±4
方程的两个根为x1=6, x2=-2
4. 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出
这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17
∵(a+1)2≥0,
∴当a=-1时，原式有最小值为17.
课堂小结
配方法解一元二次方程
配方法
直接开平方法
ax2+bx+c=0 (a≠0）
(x+m)2=n (n≥0)
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
(共22张PPT)
人教版 数学 九年级 上册
时间：
21.2.2 公式法
2022/9/9
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式
直接判断一元二次方程的根的情况.
（2）会用公式法解一元二次方程.
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？
我们继续学习另一种解一元二次方程的方法
——公式法.
知识点1
一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
那么我们能否也用配方法得出它的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
整理，得
配方，得
即
b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的
根的判别式，用希腊字母Δ表示，即Δ =b2－4ac .
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
①当b2－4ac>0时， >0，方程有两个不等的
实数根
②当b2－4ac=0时， =0，方程有两个相等的
实数根
③当b2－4ac<0时， <0，方程没有实数根.
知识点2
用公式法解一元二次方程
当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
巩固练习
不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.
x2+5x+6=0； 9x2+12x+4=0；
Δ=b2-4ac
=52-4×1×6
=1>0
方程有两个不等的实数根
Δ=b2-4ac
=122-4×9×4
=0
方程有两个相等的实数根
2x2+4x－3=2x－4； x(x+4)=8x+12.
化简得 2x2+2x+1=0
Δ=b2-4ac
=22-4×2×1
=-4<0
方程无实数根
化简得 x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac
=(-4)2-4×(-12)
=64>0
方程有两个不等的实数根
例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7
Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7)
=44>0
(3)5x2-3x=x+1； (4)x2+17=8x.
解：方程化为5x2-4x-1=0
a=5，b=-4，c=-1
Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
=36>0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=1，b=-8，c=17
Δ= b2－4ac
=(-8)2-4×1×17
=-4＜0
方程无实数根
思考：运用公式法解一元二次方程时，主要有哪些步骤？
步骤：
1.先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；
2.计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解；
3.若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，
若Δ<0，方程无实数根.
易错点：注意a，b，c符号.
随堂演练
基础巩固
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ）
A.b2-4ac=0 B.b2-4ac＞0
C.b2-4ac＜0 D.b2-4ac≥0
B
3. 利用求根公式求5x2+ =6x的根时，a，b，c的值分
别是（ ）
2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.
下列说法正确的是（ ）
A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①有实数解，②无实数解
D.①②都无实数解
B
C
解：Δ=b2-4ac
=(-24)2-4×16×9
=0
方程有两个相等的实数根
5.用公式法解下列方程：
（1）x2+x－12=0； （2）x2+4x+8=2x+11；
解：a=1，b=1，c=-12
Δ= b2－4ac=12-4×1×(-12)
=49>0
解：化简，得 x2+2x-3=0
a=1，b=2，c=-3
Δ= b2－4ac=22-4×1×(-3)
=16>0
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等
的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
∴Δ>0
∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.
课堂小结
公式法
用求根公式解一元二次方程的方法
一元二次方程根的判别式Δ= b2－4ac
求根公式
(b2－4ac≥0)
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共21张PPT)
人教版 数学 九年级 上册
时间：
21.2.3 因式分解法
2022/9/13
1.会用因式分解法解一元二次方程. （重点）
2.能选用合适的方法解一元二次方程. （重点、难点）
学习目标
新课导入
知识回顾
我们已经学过哪些解一元二次方程的方法
直接开平方法，配方法，公式法.
多项式的因式分解有哪些方法？
ma + mb + mc = m(a+ b+ c);
a2 ±2ab+b2=(a ± b)2；
a2 -b2=(a + b)(a-b).
提公因式法
公式法
新课导入
情景导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)
新课导入
思考
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m， 即 10x－4.9x2＝0. ①
请用用配方法或公式法解方程① .
解：
配方法
公式法
解：
a = 4.9，b =－10，c = 0.
b2－4ac= (－10)2－0=100
探究新知
思考
10x－4.9x2＝0. ①
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①
新课讲解
知识点1 用因式分解法解方程
观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
两个因式的积等于零
至少有一个因式为零
10x - 4.9x 2 = 0
x1 = 0，x2 =
x = 0
或 10 - 4.9x = 0
x(10 - 4.9x) = 0
因式分解法的依据：
如果 a·b=0，
那么 a=0 或 b=0．
新课讲解
解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
如果 a·b=0，
那么 a=0 或 b=0．
归纳
新课讲解
1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0；
解：
转化为两个一元一次方程
因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
例
新课讲解
2 解方程：
移项、合并同类项，得
4x2－1＝0.
因式分解，得
(2x＋1)(2x－1)＝0.
于是得
2x＋1＝0，或 2x－1＝0，
解：
例
知识点二 利用因式分解法解一元二次方 程的步骤
(1)移项：将方程右边化为______________；
(2)化积：提取公因式，将方程左边分解成两______________的乘积；
(3)转化：令每个因式都等于____________，得到两个一元一次方程；
(4)求解：分别解这两个一元一次方程，它们的根就是方程的解.
0
一次因式
0
新课讲解
1
因式分解法解下列方程：
(1) x2＋x＝0； (2) 3x2－6x＝－3；
解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0，
于是得x＝0，或x＋1＝0，x1＝0，x2＝－1.
(2) 移项，化简，得x2－2x＋1＝0，
因式分解，得(x－1)2＝0，
于是得x－1＝0，x1＝x2＝1.
练一练
新课讲解
3
△ABC的三边长都是方程x2－6x＋8＝0的解，则△ABC的周长是( )
A．10 B．12
C．6或10或12 D．6或 8或10或12
已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程
x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( )
A．5 B．7 C．5或7 D．10
2
B
C
新课讲解
3 用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)4x2－64＝0；
(2)2x2－7x－6＝0；
(3)(3x＋2)2－8(3x＋2)＋15＝0.
解： (1)∵ 4x2－64＝0，
∴ x2＝16.
∴ x1＝4，x2＝－4.
例
知识点2 用适当的方法解一元二次方程
新课讲解
(2) 2x2－7x－6＝0，
∵a＝2，b＝－7，c＝－6，
∴Δ＝b2－4ac＝97>0，
(3) 因式分解，得[(3x＋2)－3] [(3x＋2)－5]＝0，
即 (3x－1)(3x－3)＝0，
∴x1＝ ，x2＝1.
课堂小结
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果 a · b =0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma + mb + mc = m(a+ b+ c);
a2 ±2ab+b2=(a ± b)2；
a2 -b2=(a + b)(a-b).
课堂小结
解一元二次方程的方法的选择技巧
若一元二次方程可化为 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 的形式，则宜选用直接开平方法；
若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；
若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；
若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法。
当堂小练
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（ ）
A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，5
2.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ ）
A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和2
3.方程x2-3x+2=0的根是 .
4. 方程 的根是 .
D
D
x1=1, x2=2
当堂小练
5. 用适当方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0; （2）x2+5x+7=3x+11；
解：化简，得
4x2+12x+9-25=0
x2+3x-4=0
分解因式，得
(x-1)(x+4)=0
x1=1, x2=-4
解：化简，得
x2+2x=4
x2+2x+1=5
(x+1)2=5
拓展与延伸
一元二次方程解法的比较
方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点
直接开平方法 平方根的定义 (ax+b)2=n(a≠0，n≥0)型方程 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程
因式分解法 若ab=0，则 a=0或b=0 能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围小
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 解法烦琐，当二次项系数为1时用此法比较简单
公式法 配方 所有一元二次方程 代入求根公式 计算量大，易出现符号错误(共15张PPT)
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时间：
21.2.3 因式分解法
2022/9/15
选择适当方法解一元二次方程
灵活选用方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
即 3x 5 = 0 或 x + 5 = 0.
∴ x 1= 0 , x2=
分析：该式左右两边可以提取公因式，
所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x 5) (x + 5) = 0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解：开平方,得
5x + 1 = ±1.
新知探究
(3) x2 12x = 4 ; (4) 3x2 = 4x + 1.
开方得
解得 x1= ，
x2=
解：化为一般形式
3x2 - 4x - 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
分析：二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快.
解：配方，得
x2 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x 6)2 = 40.
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
ax2+c=0 ====>
ax2+bx=0 ====>
ax2+bx+c=0
因式分解法
公式法
3.公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
1.
直接开平方法
因式分解法
归纳
一次项系数为0
常数项为0
一般形式
2.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
容易因式分解==>
不易因式分解==>
1. 解下列方程：
（1）x2+x = 0； （2）x2 - 2 x = 0；
（3）3x2- 6x = - 3； （4）4x2 - 121 = 0；
（5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x- 4) 2 = (5-2x) 2 ；
练习
【教材P14练习 第1题】
x1= 0， x2= －1.
x1= 0， x2= 2 .
x1= x2= 1.
x1= － ，x2= .
x1= － ， x2= .
x1= 3， x2= 1 .
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意 π ( r + 5 )2=2×πr2.
因式分解，得
所以
答：小圆形场地的半径为
① x2 3x+1=0 ； ② 3x2 1=0 ；
③ 3t2+t=0 ； ④ x2 4x=2 ；
⑤ 2x2 x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；
⑦ 3y2 y 1=0； ⑧ 2x2+4x 1=0；
⑨ (x 2)2=2(x 2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
1.填空
⑥
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
注意：每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！
当堂练习
2.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= , x2= .
x2+x 2=0
2
1
当堂练习
3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x 5)(x+2)=18.
解：原方程化为：
(x 5)(x+2)=3×6 . ①
由x 5=3，得x=8； ②
由x+2=6，得x=4； ③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
解: 从①开始就错了
原方程化为：
x2 3x 28= 0，
(x 7)(x+4)=0，
x1=7，x2= 4.
当堂练习
6. 易错题[2022济南莱芜区期末]一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-9x+18=0的两根,则该等腰三角形的周长是 ( )
A.12 B.9 C.15 D.12或15
知识点2 用适当的方法解一元二次方程
答案
6.C
当堂练习
解：化为一般式为
因式分解，得
x2 2x+1 = 0.
( x－1 ) 2 = 0.
有 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
4.解方程：
当堂练习
(4)x2+4x 2=2x+3；
(3)2x2 5x+1=0；
解：a=2，b= 5，c=1，
∴△=( 5)2 4×2×1=17．
解：整理，得x2+2x=5，
∴x2+2x+1=5+1，
即(x+1)2=6，
当堂练习
(5)(3m+2)2 7(3m+2)+10=0．
解法一：
解：方程整理得9m2 9m=0.
分解因式，得9m(m 1)=0.
解得m1=0，m2=1．
解法二：
解：分解因式，得(3m+2 2)(3m+2-5)=0.
∴3m+2 2=0，或3m+2 5=0，
解得m1=0，m2=1．
将(3m+2)当一个整体，进行因式分解
当堂练习
解一元二次方程
解法
根的判别式
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
求根公式
课堂小结
前提：Δ≥ 0
挑战自我
(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2 13x+40=0的根，则此三角形的周长为________;
(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程
x2 5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________;
(3) 已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2 7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是________.
11或12
13
12
与三角形结合时，要考虑三角形的三边关系！
当堂练习(共13张PPT)
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时间：
21.2.3 因式分解法
2022/9/14
第2课时 十字相乘法
十字相乘法
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
两个一次式的乘积
一个二次三项式
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
两个一次式的乘积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.
整式的乘法
探究新知
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
解方程：x2+6x-7=0.
解：因式分解得
(x+7)(x 1)=0.
∴x+7=0,或x 1=0.
∴x1= 7,x2=1.
简记口诀：
首尾分解，
交叉相乘，
求和凑中，
横写因式。
试一试
例题分析
简记口诀：
首尾分解，
交叉相乘，
求和凑中，
横写因式。
交叉相乘之和等于一次项
简记口诀：
首尾分解，
交叉相乘，
求和凑中，
横写因式。
简记口诀：
首尾分解，
交叉相乘，
求和凑中，
横写因式。
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数同号,符号与一次项系数相同；
当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异号，绝对值大的数与一次项系数同号.
小结
注意：
交叉相乘之和等于一次项
练一练 解下列方程：
(1)x2 5x+6=0；
解：因式分解，
得(x 2)(x 3)=0，
(3)(x+3)(x 1)=5；
解：整理得x2+2x 8=0，
(4)2x2 7x+3=0.
(2)x2+4x 5=0；
解：因式分解，
得(x+5)(x 1)=0，
解：因式分解，
得(2x 1)(x 3)=0，
解得x1=2，x2=3.
解得x1= 5，x2=1．
解得x1= 4，x2= 2.
因式分解，
得(x+4)(x 2)=0，
解得x1= ，x2=3.
简记口诀：
首尾分解，
交叉相乘，
求和凑中，
横写因式。
拓展提升
二次项系数不为1
1. 2x2+3x-5
解：1.原式= （x -1）（2x +5）
2.原式= （x +3）（3x+1）
2. 3x2+10x+3
针对练习
课堂练习
解下列方程
1. x2+11x+30=0
2. x2+4x-12=0
解：1. （x +5）（x +6） 2. （x +6）（x -2）
3. x2-13x-14=0
4. y2-10y+24=0
解：3. （x +1）（x -14）
4. （y-6）（y -4）
5. 2x2 + 13x + 15=0
6. 3x2 － 15x － 18=0
能力提升
用十字相乘法分解下列因式
1、x4+7x2+6
2、x2-5xy+4y2
解：1.原式= （x2+1）（x2 +6）
2.原式= （x-y）（x -4y）(共20张PPT)
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时间：
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
2022/9/15
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？
2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0).
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
复习巩固
素养目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
3. 体会从特殊到一般的科学探究过程.
填表，观察、猜想
方程 x1, x2 x1+ x2 x1. x2
x2-2x+1=0
x2+3x-10=0
x2+5x +4=0
【思考】你发现什么规律？
对于x2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律.
探究新知
根与系数的关系
知识点 1
1,1
2
1
2,-5
-3
-10
-1,-4
-5
4
（1）由因式分解法可知，方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
探究新知
【证明】
如果二次项系数不为1呢
x1= ，x2= 。
x1+x2= ，
探究新知
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分别为
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
归纳总结
x1+x2=
x1x2=
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
例 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列
方程两根x1，x2的和与积.
(1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2
解：(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15
一元二次方程的根与系数的关系的应用
二
在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可 .
例2 已知方程5x2+kx 6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以 x1 · x2=2x2=
即 x2=
由于x1+x2=2+ =
得 k= 7.
答：方程的另一个根是 ，k= 7.
考点1：已知一根求另一根与参数的值
变式：已知方程3x2 18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以 x1 + x2=1+x2=6，
即 x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得 m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
考点2：根与系数的关系变形运用
总结常见的求值:
设x1，x2为方程x2 4x+1=0的两个根，则：
(1) x1+x2= ， (2)x1·x2= ，
(3) ，
(4) .
4
1
14
12
练一练
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
归纳
课堂小结
根与系数的关系（韦达定理）
内容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
变形
当堂练习
1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则p = ， q= .
1
2
2.如果 1是方程2x2 x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
3
3.已知方程 3x2 19x + m=0的一个根是1，求它的另一 个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中 3 19 + m = 0.
解得 m = 16，
设另一个根为x1，则：
1 × x1 =
∴x1 =
4.已知x1, x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；
(1)求k的值； (2)求(x1 x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系得
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得 k= 7.
(2)因为k= 7,所以
则：
5.设x1，x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根与系数之间的关系，求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2)
解：根据根与系数的关系得：
(1)(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + (x1 + x2 )+ 1=
(2)
6. 当k为何值时，方程2x2 kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1，x2(x1>x2)，则x1 x2=1
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
拓展提升
由根与系数的关系，得
7.已知关于x的一元二次方程mx2 2mx+m 2=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|= 1， 求m的值.
解：(1)方程有实数根
∵m≠0，
∴m的取值范围为m＞0.
(2)∵方程有实数根x1，x2，
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，
解得m=8.
经检验m=8是方程的解．(共23张PPT)
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时间：
21.3 实际问题与一元二次方程
2022/9/16
第1课时
素养目标
1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程并求解.
2.通过一元二次方程解决传播问题、增长率问题。
复习旧知
列方程解应用题的一般步骤哪几步？
①审题（找等量关系）
②设未知数
③列方程，
④解方程，
⑤检验，
⑥作答.
导入新课
谚语有言：“一传十、十传百、百传千千万”
（1）若A同学患流感每轮能传染6人，受感染的其他同学也每轮以相同的速度传播。则第一轮传染过后共有 人患流感，第二轮过后共有 人患流感。
知识点1 传播问题
传染病，一传十,十传百… …
【想一想】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
探究新知
知识点1 传播问题
第2轮
小明
1
2
x
第1轮
第1轮传染后人数 1+x
小明
第2轮传染后人数
探究新知
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下：
1+x+x(1+x)=(1+x)2
①审题，找等量关系
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
列方程 x+1+x(x+1)=121.
提公因式 (x+1)(x+1)=121
(x+1)2=121
x+1=±11
x1=10, x2=-12(舍去)
答:平均一个人传染了________个人.
10
探究新知
②设未知数
③列方程，
④解方程，
⑤检验，
⑥作答.
【想一想】如果按照这样的传染速度,3轮传染后有多少人患流感 n轮后呢？
第一轮传染后的人数 第二轮传染后的 人数 第三轮传染后的
人数
(1+x)1 (1+x)2
以1人为传染源 ,3轮传染后的人数是:
(1+x)3=(1+10)3=1331(人).
(1+x)3
探究新知
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
【归纳】
探究新知
①审题（找等量关系）
②设未知数
③列方程，
④解方程，
⑤检验，
⑥作答.
【例1】某新型病毒传染性很强，曾有2人同时患上该病毒，若在一天内一人平均能传染x人，经过两天传染后共有128人患上该病毒，则x的值为______________.
7
课堂导练
学导练P16
根据题意得：2(1+x)2=128
思路点拨：根据题意列出关于x的一元二次方程，求出x并取其正值即可.
解得：x1=7 ， x2= -9 （舍去）
先弄清楚起始病源数量、
单个病源平均每轮传染的数量，
再根据传染的轮数
和传染结果数
列方程，
知识点1 传播问题
【学导练P16】
探究新知
a
x
n
b
b =a(1+x)n
等量关系
电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.
解得=19 或 =-21 (舍去).
依题意得
6 (1+x) =2400
巩固练习
新课导入
课时导入
第三年种的水稻平均每公顷的产量为 .
第一年平均每公顷产8 000 kg
第二年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
知识点2 增长率问题
新课讲解
知识点2 增长率问题
1 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？
例
下降率是下降额与原成本的比值；
下降率= ×100%
原成本－终成本
原成本
新课讲解
知识点
①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为 ，再次下降后的成本变为 .（用代数式表示）
②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系
可得方程 ，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？
5000(1-x)
5000(1-x) 2
终成本=原成本×(1－下降率)2
5000(1-x)2=3000
新课讲解
应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数.
新课讲解
③ 设乙种药品成本平均每年的下降率为 y ， 则由等量关系
可得方程 .
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年 平均下降率约为22.5%.
综上所述，甲乙两种药品成本的年平均下 降率相同，都是22.5%.
终成本=原成本×(1－下降率)2
6000(1-y)2=3600
新课讲解
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，
它的成本下降率一定也大吗 应怎样全面地比较几个
对象的变化状况
答：甲乙两种药的平均下降率相同；成本下降额较大的药
品， 它的成本下降率不一定较大.不但要考虑它们的
平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率.
新课讲解
练一练
某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315 D．560(1－x2)＝315
B
1
新课讲解
某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为( )
A．25(1＋x)2＝82.75
B．25＋50x＝82.75
C．25＋25(1＋x)2＝82.75
D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
D
2
巩固练习
练习 学导练
课堂小结
1、本节课我们学习了哪些知识
2、列方程解应用题的一般步骤？
3、在列方程解实际问题时，要注意哪些问题？
作业
内容
分层作业本P8
课后作业(共23张PPT)
人教版 数学 九年级 上册
时间：
21.3 实际问题与一元二次方程
2022/9/20
第2课时 面积问题、销售利润问题
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
(60+2x)(40+2x)=3500
假如有一幅画长60cm，宽40cm，要给它四周裱上同样宽度的木框，使它总面积达到3500cm2 ，设木框宽度xcm，你能列出等式吗？
导入新课
讲授新课
几何问题
一
引例：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何
设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
合作探究
【阅读教材P20-21页】
27cm
21cm
这本书的长宽之比9:7，正中央的矩形长宽之比也是9:7.
设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为：
设上下边衬的宽为9x cm，左右边衬宽为7x cm，则中央的矩形的长为(27 18x)cm，宽为(21 14x)cm.
分析：
27cm
21cm
故上下边衬的宽度为
故左右边衬的宽度为
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
设上、下边衬的均宽为 9x cm，则左、右边衬的宽均为 7x cm，
依题意得
解：
27cm
21cm
解得 x1 =（不符合题意，舍去）， x2 =
解：设正中央的矩形两边别为9x cm，7x cm. 依题意得
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
方法二
27cm
21cm
几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法点拨
20
32
x
x
例1 如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？
典例精析
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米.
20 x
32 x
(32 x)(20 x)=540
整理，得x2 52x+100=0
解得 x1=2，x2=50
当x=50时，32 x= 18，不合题意，舍去.
∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32 x)(20 x)=540
可列方程为
变式一
20
32
x
x
x
20-x
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32 2x)(20 x)=540
可列方程为
变式二
32-2x
20
32
x
x
x
x
20
32
2x
2x
32 2x
20 2x
在宽为20m，长为
32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32 2x)(20 2x)=540
可列方程为
变式三
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
解：设AB长是x m.
(58 2x)x=200
x2 29x+100=0
x1=25，x2=4
x=25时，58 2x=8
x=4时，58 2x=50
答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58 m的围栏围成面积为200 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
D
C
B
A
解：设AB长是x m.
(80 2x)x=600
x2 40x+300=0
x1=10，x2=30
x=10时，80 2x=60>25，(舍去)
x=30时，80 2x=20<25，
答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m.
变式 如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用80 m的围栏围成面积为600 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
D
C
B
A
25 m
变式 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
住房墙
1m
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
由题意得 x(25 2x+1)=80
化简，得 x2 13x+40=0
解得 x1=5，x2=8
当x=5时，26 2x=16>12 (舍去）
当x=8时，26 2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25 2x+1)m.
围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用含x的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.
方法点拨
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x 1400=0 B．x2+65x 350=0
C．x2-130x 1400=0 D．x2-65x 350=0
80cm
x
x
x
x
50cm
B
当堂练习
2.一块矩形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则长为2x cm.
5(2x 10)(x 10)=3000
x2 15x 250=0
解得 x1=25 x2= 10(舍去）
所以 2x=50
答：铁板的长50cm，宽为25cm.
3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度2xcm ,
竖向彩条的宽度3xcm.
6x2 65x+50=0
(舍去)
则
答：横竖条的宽度分别是
4.如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9 cm ？
根据题意得AP= xcm，PC=(6 x)cm，CQ=2xcm
解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm .
整理，得
解得 x1= x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm .
能力提升
课堂小结
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系
类 型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移能聚零为整方便列方程
动点面积问题(共14张PPT)
人教版 数学 九年级 上册
时间：
21.3 实际问题与一元二次方程
2022/9/20
第2课时 销售利润问题
素养目标
1.能找到实际问题中的等量关系，正确列出一元二次方程并求解.
2.通过一元二次方程建立模型，解决销售利润问题。
复习旧知
列方程解应用题的一般步骤哪几步？
①审题（找等量关系）
②设未知数
③列方程，
④解方程，
⑤检验，
⑥作答.
九年级学生小明在暑假期间进行勤工俭学.
问题一：他每天在村上以每斤2.5元买进黄瓜，到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么他卖1斤黄瓜的利润是 元；
问题二：如果他每天买进并卖完300斤黄瓜，则他每天销售利润是 元。
1.5
450
售价-进价=单件利润
单件利润×销量=总利润
新知探究
知识点二 营销利润问题
明确几个名词的意义及它们之间的关系：
利润＝售价－______________；
利润率＝×100%；
总利润＝单件利润×______________.
进价
销售量
【学导练p18-19】
2. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100－x)件，商场计划要赚600元，则可列方程为_________________________________.
(x－30)(100－x)＝600
某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元，应按每件多少元出售？
如果设衬衫单价为x元，根据题意可列表分析得
（x-50）[ 800-20（x-60）]=12000
如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？
（10+x）（800-20x）=12000
新知探究
方法一
方法二
【例2】某超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500 kg. 经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10 kg. 针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题：
(1)每千克水产品获利______________元，月销售量就减少______________ kg；
(10＋x)
10x
(2)要使得月销售利润达到8 000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价多少元？
解：(2)由题意，得(10＋x)(500－10x)＝8 000.
解得x1＝10，x2＝30.
∵要“薄利多销”，
∴x＝10.
答：销售单价应涨价10元.
思路点拨：
(1)根据已知条件可直接用x表示出所要求的量；
(2)利用每千克水产品获利×月销售量＝总利润，列方程求解即可.
2. 一商店销售某种商品，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售同时增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出5件.
(1)若销售单价降低m元，则平均每天销售数量为______________件，每件盈利______________元；
(40＋5m)
(40－m)
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2 800元？
解：(2)由题意，得(40＋5m)(40－m)＝2 800.
解得m1＝20，m2＝12.
∵40－m≥25，∴m≤15.
∴m＝12.
答：当每件商品降价12元时，该商店每天销售利润为2 800元.
典例1 某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在表中的数量关系：商场经理给该件商品定价为x元时，每日盈利可达到1600元。则可列方程为（ ）
A．（x-120）（200-x）=1600 B．x（200-x）=1600
C．（x-120）（180-x）=1600 D．x（180-x）=1600
每件售价（元） 130 150 165
每日销售量（件） 70 50 35
【详解】设定价为x元时，每件盈利是（x-120）元，销售的件数是[70-(x-130)]件，盈利是（x-120）[70-(x-130)]元，所以（x-120）[70-(x-130)]=1600，即，（x-120）（200-x）=1600，故选：A．
练习
课堂小结
一元二次方程
销售利润问题
