苏科版数学九年级上册 2.2 圆的对称性　同步练习　2022—2023学年（含解析）

2.2 圆的对称性（精选题）-苏科版数学九年级上册
一．选择题
1．如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（　　）
A． B． C．1 D．2
2．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（　　）
A． B．4 C． D．5
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）
A．5 B．2.5 C．3 D．2
5．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
6．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则∠AOC等于（　　）
A．120° B．125° C．130° D．145°
7．如图，半圆的半径为6，将三角板的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则AB的长度为（　　）
A．3 B．12 C．2 D．6
8．如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（　　）
A． B． C．3 D．
9．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（　　）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52
10．一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O截三边所得的弦长DE＝FG＝HI，则∠AOC＝　 　度．
．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 　 　.（结果保留π）
．平面直角坐标系xOy如图所示，以原点O为圆心，以2为半径的⊙O中，弦AB＝，点C是弦AB中点，P（+1，﹣1），连接PC，当弦AB在⊙O上滑动，线段PC扫过的面积为 　 　．
．如图所示，圆内接四边形ABCD中，对角线AC是直径，BD＝AB，BE⊥AC，BE＝4，CD＝6，则CE＝　 　．
．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 　 　寸．
三．解答题
．如图，AB是⊙O的弦，OC交AB于点D，点D是弦AB（AB不是直径）的中点，若AB＝8cm，CD＝2cm，求⊙O的半径．
．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为的中点．
．如图，AB是⊙O直径，＝，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．
．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务关于圆的任务．
关于圆的引理
在《阿基米德全集》的《引理集》中，记述了古希腊的数学家、物理学家阿基米德提出的六个关于圆的引理，其中第二个引理为：如图，在半圆O中，P是上的任意一点，PN⊥直径AB于点N，D在直径AB上，且AN＝ND，在上取一点Q，使，连接BQ，则BQ＝BD．
任务：
（1）尺规作图：请根据材料，在图中补全图形．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）．
（2）善思小组的同学尝试证明该引理，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：连接PA，PD，PQ，QD．
……
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DC＝CE＝DE，∠ACD＝∠BCD＝90°，
∵AD＝DE，
∴DC＝AD，
∴∠DAC＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝AB＝＝4，
∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠CDB＝30°，
∴BC＝BD＝，
故选：D．
2．【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝5，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP＝＝＝5，
故选：D．
3．【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A．
4．【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×5＝2.5，
即CD的最大值为2.5，
故选：B．
5．【解答】解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
故选：C．
6．【解答】解：O关于直线AC的对称点是Q，连接OQ，交AC于M，
则AC垂直平分OQ，
即AQ＝AO，OM⊥AC，
∵OQ＝OA，
∴OQ＝AQ＝OA，
∴△AQO是等边三角形，
∴∠AOQ＝60°，
∵OQ⊥AC，OA＝OC，
∴∠COQ＝∠AOQ＝60°，
∴∠AOC＝60°+60°＝120°，
故选：A．
7．【解答】解：连接OA，OB，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∵⊙O的半径为6，
∴AB＝OA＝6，
故选：D．
8．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝30°，
∵M为弧AE的中点，OM过圆心O，
∴OM⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∴OD＝OA＝＝3，
∴MD＝OM﹣OD＝6﹣3＝3，
故选：C．
9．【解答】解：如图所示：
由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，
在Rt△OBD中，
r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，
所以2r＝52，
故选：D．
10．【解答】解：连接OA，OB，如图，
根据题意得：OA＝6cm，弦心距OC＝3cm，
∴cos∠AOC＝，
∴∠AOC＝60°，则∠AOB＝120°，
∴AC＝3cm，AB＝2AC＝6cm，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝．
设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h，
依题意得：，
∴，
故选：B．
二．填空题
．【解答】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，
∵DE＝FG＝HI，
∴OM＝OK＝OP，
∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，
∴∠OAC＝BAC，∠OCA＝BCA，
∵∠B＝70°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝110°，
∴∠OAC+∠OCA
＝（∠BAC+∠ACB）
＝×110°
＝55°，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）
＝180°﹣55°
＝125°，
故答案为：125．
．【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
故答案为：400π．
．【解答】解：连接OC，OA，如图，
∵点C是弦AB中点，
∴OC⊥AB，AC＝BC＝AB＝，
∴OC＝＝．
∵弦AB在⊙O上滑动，
∴点C的轨迹为以点O为圆心，以为半径的圆，如图中的虚线⊙O，
过点P作该圆的切线PD，PE，连接OD，OE，PO，如上图，
则OD＝OE＝．
利用勾股定理可求得PO＝，
∵PD，PE是虚线⊙O的切线，
∴OD⊥PD，OE⊥PE，PD＝PE，∠DPO＝∠EPO．
∵sin∠OPD＝＝，
∴∠OPD＝30°，
∴∠OPE＝30°，
∴∠DOP＝60°，∠EOP＝60°，
∴∠DOE＝120°．
∵线段PC扫过的面积为四边形DOEP的面积+大扇形ODE的面积，
∴线段PC扫过的面积为2×PD OD+
＝+π．
故答案为：+π．
．【解答】解：延长BO交AD于点G，连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，AB＝BD，
∴直线BG是线段AD的垂直平分线，
∴∠AGO＝90°，AG＝DG，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO＝∠AGO＝90°，
在△AGO和△BEO中，
，
∴△AGO≌△BEO（AAS），
∴AG＝BE，
∵BE＝4，
∴AG＝4，
∴DG＝AG＝4，
即AD＝8，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵CD＝6，
∴AC＝，
∵∠ABC＝∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBE，
∴△ABE∽△BCE，
∴，
∴，
解得：CE＝2或8，
当CE＝8时，OE＝OC﹣CE＝5﹣8＝﹣3，不符合题意．
故答案为：2．
．【解答】解：连接OC，
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸，
故答案为：26．
三．解答题
．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为Rcm，则OA＝OC＝Rcm，
∵点D是弦AB（AB不是直径）的中点，OC过圆心O，AB＝8cm，
∴AD＝BD＝4cm，OC⊥AB，
∴∠ODA＝90°，
由勾股定理得：OD2+AD2＝OA2，
（R﹣2）2+42＝R2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径为5cm．
．【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，
∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），
答：⊙O的半径是cm．
．【解答】证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠C，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，
∴∠AOD＝∠COD，
∴＝，
即D为的中点．
．【解答】解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CBE＝90°，
又∵BG⊥DF，
∴∠F+∠FBG＝90°，
∵∠CBE＝∠FBG，
∴∠F＝∠C＝∠A，
∴DA＝DF，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EF；
（2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE＝＝5，
∵tan∠F＝＝＝tan∠C＝，
∴BE＝＝，
∴BF＝EF﹣BE＝10﹣＝，
在Rt△BFG中，tan∠F＝，
设BG＝x，则FG＝2x，由勾股定理得，
BG2+FG2＝BF2，
即x2+（2x）2＝（）2，
解得x＝（x＞0），
即BG＝．
．【解答】解：（1）补全图形如解图所示：
（2）如图，
∵＝，
∴PA＝PQ，
∵PN⊥AB于点N，
∴∠PNA＝∠PND＝90°，
又∵AN＝ND，PN＝PN，
∴△APN≌△DPN（SAS），
∴∠PAD＝∠PDA，PA＝PD．
∴PD＝PQ，
∴∠PQD＝∠PDQ，
∵四边形APQB是圆内接四边形，
∴∠PAD+∠PQB＝180°，
∴∠PDA+∠PQB＝180°，
又∵∠PDA+∠PDB＝180°，
∴∠PQB＝∠PDB
∵∠BQD＝∠BDQ，
∴BQ＝BD．