人教版数学 九年级上册 第24章圆—— 隐圆练习　2022—2023学年（含解析）

第24章——隐圆
一、选择
1．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若∠ADB＝∠ACB＝90°，则下面结论不一定正确的是（　　）
A．DC＝CB
B．∠DAC＝∠DBC
C．∠BCD+∠BAD＝180°
D．点A、C、D到点O的距离相等
2．如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（　　）
A．8 B．2 C．10 D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段PB的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为（　　）
A．10 B．3 C．5 D．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是正方形ABCD内一点，若∠APB＝90°，则PC的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝4，CB＝6，点D是AC边上的动点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，则AE的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
8．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（　　）
A．1.5 B． C． D．2
9．如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）
A． B． C． D．3
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为平面内一动点，且DE＝2，连接BE，点M为BE的中点，则AM的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．3 D．10﹣2
二、填空
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DBC∠BDC．其中∠DAC＝25°，那么∠BAC＝　 　．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝　 　．
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC＝　 　°．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是 　 ．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为　 　．
6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为 　 　．
7．如图，等边△ABC中，AB＝2，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值　 　．
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是 　 　．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为 　 　．
10．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 　 　．
11．在等边三角形ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是12，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为　 　．
12．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，BD＝4，∠BCD＝30°，我们知道满足条件的点C不是唯一的，则AC长的最大值为 　 　．
13．如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO的中点为C，则线段AC的最小值为　 　．
第24章——隐圆（答案）
一、选择
1．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若∠ADB＝∠ACB＝90°，则下面结论不一定正确的是（　　）
A．DC＝CB
B．∠DAC＝∠DBC
C．∠BCD+∠BAD＝180°
D．点A、C、D到点O的距离相等
【解答】解：∵点O为AB的中点，∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴D，C在以O为圆心，AB为直径的圆上，如图，
∴∠DAC＝∠DBC，∠BCD+∠BAD＝180°，点A、C、D到点O的距离相等，
当∠DAC＝∠BAC时，DC＝CB，而题目中未给出．
故选：A．
2．如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（　　）
A．8 B．2 C．10 D．
【解答】解：如图，以AB为直径作⊙O，连接OD在矩形ABCD内部交⊙O于点P，则此时PD有最小值．
矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，
∴OP＝AO＝5，∠BAD＝90°，
∴OD，
∴PD＝OD﹣OP＝13﹣5＝8，
即PD的最小值为8．
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段PB的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB，
∴∠CAP+∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
在Rt△CBO中，∠OCB＝90°，BC＝3，OC＝2，
∴OB，
∴PB＝OB﹣OP2．
∴PC最小值为2．
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为（　　）
A．10 B．3 C．5 D．
【解答】解：设BC的中点为点O，以O为圆心，BC为直径画圆，如图：
∵BE⊥CD，BC＝6，
∴点E在以O为圆心，半径为BC＝3的圆上，
∵点E在半径为3的⊙O上，
∴OE＝OB＝3，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，
∴AO，
∵两点之间线段最短，
∴当A、O、E三点共线时，AE取得最小值，
此时，AE＝AO﹣OE3，
故选：B．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是正方形ABCD内一点，若∠APB＝90°，则PC的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：如图所示：取AB的中点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O．
∵∠APB＝90°，
∴点P在⊙O上．
∵AB＝2，
∴OP＝1，AB＝1．
当O、P、C在一条直线上时，PC有最小值．
PC的最小值＝OC﹣OPOP1，
故选：C．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝4，CB＝6，点D是AC边上的动点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，则AE的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如图，取BC中点F，连接AE、EF．
∵CE⊥BD，∠BEC＝90°，
∴点E在以BC长为直径的圆周上上运动，当点A、E、F在同一直线上时，AE最短．
∵CA＝4，CB＝6，
∴BFBC＝3，
∴AF5，
∴AE＝AF﹣BF＝5﹣3＝2，
即AE的最小值为2．
故选：A．
7．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝2，
∴OC，
∴CP＝OC﹣OP2．
∴CP最小值为2．
故选：D．
8．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（　　）
A．1.5 B． C． D．2
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，
设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CDAC，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD∠ABC＝30°，
∴PD，BD，
∴PB＝BD﹣PD．
故选：B．
9．如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），
则点O是AA'的中点，
又∵点M是AC的中点，
∴OM是△AA'C的中位线，
∴OM，
∴当A'C最大时，OM最大，
∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，
∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，
∴当A'C经过圆心B时，A′C最大，即点C在图中C'位置．
A'C'＝AB+BC'＝3．
∴OM的最大值．
故选：A．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为平面内一动点，且DE＝2，连接BE，点M为BE的中点，则AM的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．3 D．10﹣2
【解答】解：由题意知：E点在以D为圆心，以2为半径的圆上，连接BD，取BD的中点O，连接AO，MO，
在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴BD，
∵O为BD的中点，
∴AOBD＝5，
∵M为BE的中点，DE＝2，
∴OMDE＝1，
∵AM＞AO﹣OM，即AM＞4，
∴当A，O，M三点共线时，AM有最小值为4，
故选：B．
二、填空
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DBC∠BDC．其中∠DAC＝25°，那么∠BAC＝　75°　．
【解答】解：如图：
∵AB＝AC＝AD，
∴B、C、D在以A为圆心，以AB为半径的同一个圆上，
∵∠DAC＝25°，
∴∠DBC∠DAC＝12.5°，
∵∠DBC∠BDC，
∴∠BDC＝3∠DBC＝37.5°，
∴∠BAC＝2∠BDC＝75°，
故答案为：75°．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝　25°　．
【解答】解：以A为圆心，AB为半径画圆，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CAD＝2∠BAC，
∴∠CBD＝2∠BDC，
∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，
∴3∠CBD+105°＝180°，
∴∠CBD＝25°．
故答案为：25°．
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC＝　124　°．
【解答】解：∵AB＝BD＝BC，
∴A、D、C在以B为圆心，以AB为半径的圆上，
如图，作圆周角∠AEC，
∵∠ABC＝112°，
∴∠EABC＝56°，
∵四边形ADCE是⊙B的圆内接四边形，
∴∠ADC+∠E＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣56°＝124°，
故答案为：124．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是 　1　．
【解答】解：如图，∵BE⊥AF于E，
∴E在以AB为直径圆心为O的圆上，
∴当O、E、D三点共线的时候线段DE最小，
∵AB＝2，四边形ABCD为正方形，
∴AO＝1＝OE，AD＝2，
∴OD，
∴段DE最小值为OD﹣OF1．
故答案为：1．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为　22　．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵CE+CF＝4，CF+DF＝4，
∴CE＝DF，
在△ADF和△DCE中，，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠DAP+∠FDP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，
设AD的中点为G，
由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：
∵CD＝4，DG＝2，
∴CG2，
∴CP＝CG﹣PG＝22，
故答案为：22．
6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为 　（0，6）或（0，﹣6）　．
【解答】解：在x轴的上方作等腰直角△ABF，FB＝FA，∠BAF＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F交y轴于C，连接CB，CA．
∵∠ACB∠AFB＝45°，
∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，
∴F（，），FA＝FB＝FC，设C（0．m），
则（）2+（m）2＝（）2，
解得m＝6或﹣1（舍弃）
∴C（0，6），
根据对称性可知C′（0，﹣6）也符合条件，
综上所述，点C的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．
故答案为（0，6）或（0，﹣6）．
7．如图，等边△ABC中，AB＝2，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值　2　．
【解答】解：以AB为边向左作等边三角形ABD，作△ABD使得外接圆⊙O．连接OC，OP．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵△ADB是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠D+∠APB＝180°，
∴点P在⊙O上，
∵AB＝2，O外心，
∴OA＝OB＝2，OB平分∠ABD，
∴∠ABO＝30°，
∴∠OBC＝90°，
∴OC4，
∴PC≥OC﹣OP，
∴PC≥2，
∴PC的最小值为2，
故答案为2．
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是 　　．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝2，BC＝2，
∴BHBC，
∴AH1，
∴sin∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAC＝120°，
以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长HA交⊙A于点D，
∵∠BDC＝60°，
∴点D在⊙O上运动，当D运动到如图的位置时，△DBC面积的最大值，最大值为：．
故答案为：．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为 　2+2　．
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，
∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，
∴A，C，E，D四点共圆，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴OE＝ODBD＝2，
∵P为AB的中点，O是BD的中点，
∴OPAD＝2，
∵PE≤OP+OE＝2+2，
∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝2+2，
即线段PE的最大值为2+2，
故答案为：2+2．
10．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 　16　．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠ADB＝120°，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∴四边形ACBD是圆内接四边形，
∴OA＝OBAB4，
∴⊙O直径为8．
如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∴∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，点B，点H三点共线，
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDHCD2，
∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，
∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，
即CD＝8，
∴四边形ADBC的面积的最大值为 CD2＝16，
故答案为：16．
11．在等边三角形ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是12，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为　　．
【解答】解：如图以AB为边向外作等边三角形ABK，作△ABK的外接圆⊙O，连接OA，OB，过点O作OJ⊥AB于J，过点B作BH⊥AC于H．
∵△ABK是等边三角形，
∴∠K＝60°，
∵∠APB＝120°，
∴∠K+∠APB＝180°，
∴A，K，B，P四点共圆，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠APB＝120°，
∴∠PAB+∠ABP＝∠PAB+∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∴△BAD≌△ACE（ASA），
∴AD＝EC，
∵AC＝BC，
∴BE＝CD＝6，
∵S△BCD CD BH＝12，
∴BH＝4，
∴AB8，
∵OA＝OB，OJ⊥AB，
∴AJ＝JB＝4，
∵∠OAB＝30°，
∴OA，
∴△APB的外接圆的半径为．
故答案为．
12．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，BD＝4，∠BCD＝30°，我们知道满足条件的点C不是唯一的，则AC长的最大值为 　424　．
【解答】解：如图，作△BCD的外接圆⊙O，连接OB，OD，OC，OA，设AO交BD于T．
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OB＝OD＝OC＝BD＝4，
∵AB＝AD＝6，
∴OA垂直平分线段BD，
∴BT＝DT＝2，
∴AT4，
OT2，
∴OA＝AT+OT＝42，
∵AC≤OA+OC，
∴AC≤424，
∴AC的最大值为424．
13．如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO的中点为C，则线段AC的最小值为　2　．
【解答】解：过B作BD∥AC交x轴于D，
∵C是OB的中点，
∴OA＝AD，
∴ACBD，
∴当BD取最小值时，AC最小，
由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，
∵A（3，0），
∴D（6，0），
∵M（3，4），
∴DM5，
∴BD＝5﹣1＝4，
∴ACBD＝2，即线段AC的最小值为2；
故答案为：2．