3.3 函数的应用（一）
常考题型目录
题型1 利用已知函数模型解决实际问题 2
类型1 一次二次函数型 2
类型2 根号函数模型 3
类型3 分段函数模型 4
题型2 自建函数模型解决问题 5
类型1 一次函数模型 5
类型2 二次函数模型 7
类型3 根号函数模型 9
类型4 分段函数模型 9
类型5 对勾函数模型 12
题型3 函数模型的选取 13
题型4 函数模型的性质 14
知识梳理：
知识点一.一次函数模型
1.形如y=kx+b（k=0）的函数模型是一次函数模型．
2.应用一次函数的性质及图像解题时，应注意∶
一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次项系数为负）两种情况；（2）一次函数的图像是一条直线.
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
知识点三. 二次函数模型
1.形如y=ax ＋bx+c（a=0）的函数模型是二次函数模型．
2.二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题.
知识点四.分段函数模型
这个模型的实质是一次函数、反比例函数（形如y=kx，k=0）、二次函数中两种及以上的综合.
知识点五. 对勾函数模型
这个模型的实质是一次函数与反比例函数（形如y=kx，k=0）模型的综合. 特别提醒
1.依据题意转化为由解析式求函数值或自变量的值；
2.函数解析式中含有参数，需根据题中提供的数据，利用待定系数法求出参数，确定函数解析式，再解决其他问题.
题型分类
题型1 利用已知函数模型解决实际问题
类型1 一次二次函数型
【例题1-1】经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
【变式1-1】1.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.
【变式1-1】2.某商品专营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元,已知该商品的进价为3元/件,并规定其销售价格不低于商品进价,且不高于12元/件.该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.
(1)试求y关于x的函数解析式;
(2)当销售单价定为多少元时,该商品每天的利润最大
【变式1-1】3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【变式1-1】4．（2022·全国·高一专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
类型2 根号函数模型
【例题1-2】根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(a,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a件产品用时5分钟,那么c和a的值分别是( )
A.75,25 B.75,16 C.60,144 D.60,16
类型3 分段函数模型
【例题1-3】（2022·全国·高一专题练习）2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？
【变式1-3】1．（2022·全国·高一专题练习）为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）
(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【变式1-3】2．（2022·全国·高一专题练习）某工厂的固定成本为4万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品（百台），其总成本为g万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入满足，假设该产品产销平衡，（利润=收入－成本），根据上述统计数据规律求：
(1)求利润f(x)的表达式；
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？最大利润是多少？
【变式1-3】4．（2022·全国·高一专题练习）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
题型2 自建函数模型解决问题
类型1 一次函数模型
【例题2-1】（2021·全国·高一专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）
D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
【变式2-1】1.某企业常年生产一种出口产品，自2014年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2014年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2014～2017年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2018年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2018年的年产量为多少？
【变式2-1】2.某家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买一张全票，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的三分之二优惠．”这两家旅行社的原价是一样的，根据该家庭中孩子数的不同，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
【变式2-1】3.为减少空气污染,某市鼓励居民用电(减少粉尘),并采用分段计费的方法计算电费.当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时,按每千瓦时0.57元计算;当月用电量超过100千瓦时时,其中的100千瓦时仍按原标准收费,超过的部分按每千瓦时0.5元计算.
(1)设月用电x千瓦时时,应交电费y元,写出y关于x的函数关系式;
(2)若某家庭一月份用电120千瓦时,则应交电费多少元
(3)若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表:则这个家庭第一季度共用电多少千瓦时
月份 1月 2月 3月 合计
交费金额(元) 76 63 45.6 184.6
【变式2-1】4．（2022·全国·高一）端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，每个甜味粽的成本比每个肉馅粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．端午节当天一共卖出了两类礼盒共计128盒，且卖出的B类礼盒至少50盒．后续工作人员在核算总成本的过程中，把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的去计算每个成鸭蛋的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，则当日实际卖出的两种礼盒的总成本为______元．
类型2 二次函数模型
【例题2-2】某商家准备在2020年春节来临前连续两次对某一商品的销售价格进行提价且每次提价10%,然后在春节活动期间连续两次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售价与原来的价格相比( )
A.略有降低 B.略有提高 C.相等 D.无法确定
【变式2-2】1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B. C. D.-1
【变式2-2】2.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的解析式；
(2)设公司获得的利润为S(元)(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝成本单价×销售量)．
①试用销售单价x表示利润S；
②当销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
【变式2-2】3．（2022·全国·高一专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【变式2-2】4．（2021·江苏·常州市第一中学高一期末）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
项目类别 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数
A产品 20 m 10 200
B产品 40 8 18 120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,9]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；
(2)如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划．
类型3 根号函数模型
【例题2-3】某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路,该产品广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差,如果销售额与广告费的算术平方根成正比,那么根据对市场的抽样调查发现:每投入100万元的广告费,所得的销售额是1 000万元.问:该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益
【变式2-3】（2021·全国·高一专题练习）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资A类产品的收益与投资额成正比，投资B类产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时，A，B两类产品的收益分别为万元和万元．
(1)分别写出A，B两类产品的收益与投资额的函数关系式；
(2)该家庭有40万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
类型4 分段函数模型
【例题2-4】电信局为了满足客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(min)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)试问：
(1)若通话时间为2 h，按方案A，B应各付话费多少元？
(2)方案B从500 min以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
【变式2-4】1.为方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示：
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡更便宜．
【变式2-4】2.某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额(单位：元)是f(n)＝k(n)(n－500)(n为年销售额)，而k(n)＝若一员工获得400元的奖励，则该员工一年的销售额为( )
A．800元 B．1 000元 C．1 200元 D．1 500元
【变式2-4】3．（2022·全国·高一）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（ ）A．17 B．18 C．19 D．20
【变式2-4】4．（2022·全国·高一单元测试）喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机打印广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线左侧的图形的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值（即最大值）．
【变式2-4】5．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）如图，某学校准备利用一面长度20米的旧墙建造一间体育活动室，活动室为占地224平方米的矩形.工程费用情况如下:
①翻修1米旧墙的费用为25元;
②建造1米新墙的费用为100元;
③拆去1米旧墙，然后用所得的材料修建1米新墙的费用为50元.
记利用旧墙的一条矩形边长为米，建造活动室围墙的总费用为元.请问如何利用旧墙，能使得建造活动室围墙的总费用最低 并求出最低费用.
【变式2-4】6．（2022·全国·高一单元测试）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x（，）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；
(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？
类型5 对勾函数模型
【例题2-5】某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足（其中，为正常数）。已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件。
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？
【变式2-5】1.某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足
（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【变式2-5】2．（2022·浙江大学附属中学高一期中）某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新型的工业机器人，经过市场调查，生产机器人需投入年固定成本为100万元，每生产x个，需另投入流动成本为万元．在年产量不足80个时，（万元）；在年产量不小于80个时，（万元），每个工业机器人售价为6万元，通过市场分析，生产的机器人当年可以全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（个）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)年产量为多少个时，工业机器人生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【变式2-5】3．（2022·全国·高一单元测试）某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．
(1)写出n关于x的函数关系式；
(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．
【变式2-5】4．（2022·湖北·沙市中学高一阶段练习）某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)．
(1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求实数a的取值范围．
题型3 函数模型的选取
【例题3-1】某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
【变式3-1】（2021·全国·高一专题练习）某学习小组在寒假社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x（天） 10 20 25 30
110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入（元）的最小值．
题型4 函数模型的性质
【例题4】下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是( )
(1)这几年生活水平逐年得到提高；
(2)生活费收入指数增长最快的一年是2013年；
(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2014年；
(4)虽然2015年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.
图① 图② 图③
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是 ,图③方案是 . 3.3 函数的应用（一）
常考题型目录
题型1 利用已知函数模型解决实际问题 2
类型1 一次二次函数型 2
类型2 根号函数模型 5
类型3 分段函数模型 5
题型2 自建函数模型解决问题 10
类型1 一次函数模型 10
类型2 二次函数模型 14
类型3 根号函数模型 18
类型4 分段函数模型 19
类型5 对勾函数模型 25
题型3 函数模型的选取 29
题型4 函数模型的性质 30
知识梳理：
知识点一.一次函数模型
1.形如y=kx+b（k=0）的函数模型是一次函数模型．
2.应用一次函数的性质及图像解题时，应注意∶
一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次项系数为负）两种情况；（2）一次函数的图像是一条直线.
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
知识点三. 二次函数模型
1.形如y=ax ＋bx+c（a=0）的函数模型是二次函数模型．
2.二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题.
知识点四.分段函数模型
这个模型的实质是一次函数、反比例函数（形如y=kx，k=0）、二次函数中两种及以上的综合.
知识点五. 对勾函数模型
这个模型的实质是一次函数与反比例函数（形如y=kx，k=0）模型的综合. 特别提醒
1.依据题意转化为由解析式求函数值或自变量的值；
2.函数解析式中含有参数，需根据题中提供的数据，利用待定系数法求出参数，确定函数解析式，再解决其他问题.
题型分类
题型1 利用已知函数模型解决实际问题
类型1 一次二次函数型
【例题1-1】经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
【解析】(1)根据题意，得S＝即
S＝
(2)①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，当t＝20时，S的最大值为6 400.
②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，当t＝31时，S的最大值是6 210.
∵6 210<6 400，∴当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.
【变式1-1】1.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.
【答案】35
【解析】Q=0.002 5v2-0.175v+4.27=0.002 5(v2-70v)+4.27=0.002 5[(v-35)2-352]+4.27
=0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h时,耗油量最少.
【变式1-1】2.某商品专营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元,已知该商品的进价为3元/件,并规定其销售价格不低于商品进价,且不高于12元/件.该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.
(1)试求y关于x的函数解析式;
(2)当销售单价定为多少元时,该商品每天的利润最大
【解析】 (1)由题图可知该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系,于是设y=kx+b(k≠0).∵点(3,600),(5,500)在其图象上,∴解得
∴y=-50x+750(3≤x≤12).
(2)设该商品每天的利润为w元.由题意知w=(-50x+750)(x-3)-300,整理得w=-50(x2-18x+51)=-50[(x-9)2-30].
∵x∈[3,12],∴当x=9时,w取得最大值,最大值为1 500.故当销售单价定为9元时,该商品每天的利润最大.
【变式1-1】3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【答案】BC
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
【变式1-1】4．（2022·全国·高一专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【答案】(1)400吨；(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.
（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；当且仅当 ，即 时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
类型2 根号函数模型
【例题1-2】根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(a,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a件产品用时5分钟,那么c和a的值分别是( )
A.75,25 B.75,16 C.60,144 D.60,16
【答案】 C
【解析】显然a>4,则由题意可得解得故选C.
类型3 分段函数模型
【例题1-3】（2022·全国·高一专题练习）2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？
【答案】(1)；(2)万件时最大利润为18万元.
【分析】（1）由题意，结合已知函数写出解析式；
（2）根据二次函数、对勾函数分别求出、上对应的利润最大值，比较它们的大小，即可确定最大年利润及对应的年产量.
（1）由题设，，所以.
（2）当时，
故时最大利润为12万元；当时，
当且仅当时等号成立，此时最大利润为18万元；综上，当万件时最大利润为18万元.
【变式1-3】1．（2022·全国·高一专题练习）为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）
(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)；
(2)2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元．
【分析】（1）根据给定条件，分段求出的表达式即可作答.
（2）利用（1）的结论，结合二次函数、均值不等式分段求出最大值，再比较作答.
（1）当时，，当时，，所以.
（2）当时，，当时，，
当时，，
当且仅当，即时取“”，显然，所以，当，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元．
【变式1-3】2．（2022·全国·高一专题练习）某工厂的固定成本为4万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品（百台），其总成本为g万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入满足，假设该产品产销平衡，（利润=收入－成本），根据上述统计数据规律求：
(1)求利润f(x)的表达式；
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；(2)工程生产600台产品时盈利最大，最大利润是3.5万元.
【分析】（1）利用利润=收入－成本即得；（2）分段求函数的最值即得.
（1）由题可知总成本，∴利润；
（2）当时，
∴当时，，当时，，
∴工程生产600台产品时盈利最大，最大利润是3.5万元．
【变式1-3】3．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：
(1)将利润（单位：元）表示成月产量x的函数
(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）
【答案】(1)
(2)当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000
【分析】（1）根据题意建立函数关系式，写出分段函数形式；
（2）分别求各段的最大值，即可求出公司利润最大值及取最大值时的产量.
（1）由题意可得：当时，；当时，；
所以.
（2）当时，，即最大值为25000；当时，为减函数，所以当时，，故.即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
（1）求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
（2）求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.
【变式1-3】4．（2022·全国·高一专题练习）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
【答案】(1)一次支付好，理由见解析
(2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件
【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；
（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.
（1）分两次支付：支付额为元;一次支付：支付额为元,
因为，所以一次支付好；
（2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，当时，不能享受每满400元再减40元的优惠
当时，，，
当时，，；
当时，，．
所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．
当时，能享受每满400元再减40元的优惠
当时，，当，时，;
当时，，
y随着n的增大而增大，所以当，时，．
综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．
题型2 自建函数模型解决问题
类型1 一次函数模型
【例题2-1】（2021·全国·高一专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）
D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
【答案】C
【分析】根据题意，利用一次函数的性质判断不同方案下参数的变化对图象的影响，即可确定正确选项.
【详解】设目前车票价格为，支出费用为，则，
对于建议（I），设建议后的支出费用为（＜），则，
显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）；
对于建议（II），设建议后的车票价格为（＞），则，
显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）．
故选：C．
【变式2-1】1.某企业常年生产一种出口产品，自2014年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2014年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2014～2017年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2018年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2018年的年产量为多少？
【解析】(1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得∴f(x)＝1.5x＋2.5.检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．根据所建的函数模型，预计2018年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又因为年产量减少30%，所以10×70%＝7万件，即2018年的年产量为7万件．[来
【变式2-1】2.某家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买一张全票，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的三分之二优惠．”这两家旅行社的原价是一样的，根据该家庭中孩子数的不同，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
【解析】设该家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅行社的收费为y，旅行社的原价为a.甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)a＝(x＋3)a；乙旅行社收费：y＝(x＋2)a.因为(x＋2)a－(x＋3)a＝(x－1)a，所以当x＝1时，两家旅行社收费相等；当x>1时，甲旅行社更优惠．
【变式2-1】3.为减少空气污染,某市鼓励居民用电(减少粉尘),并采用分段计费的方法计算电费.当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时,按每千瓦时0.57元计算;当月用电量超过100千瓦时时,其中的100千瓦时仍按原标准收费,超过的部分按每千瓦时0.5元计算.
(1)设月用电x千瓦时时,应交电费y元,写出y关于x的函数关系式;
(2)若某家庭一月份用电120千瓦时,则应交电费多少元
(3)若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表:则这个家庭第一季度共用电多少千瓦时
月份 1月 2月 3月 合计
交费金额(元) 76 63 45.6 184.6
【解析】 (1)由题意得,当0≤x≤100时,y=0.57x;当x>100时,y=100×0.57+(x-100)×0.5=0.5x+7,则y关于x的函数关系式为y=
(2)由x=120>100,得y=67,即应交电费67元.
(3)1月用电:因为76>0.57×100=57,所以x>100,由0.5x+7=76得x=138;2月用电:因为63>0.57×100=57,所以x>100,由0.5x+7=63得x=112;3月用电:因为45.6<0.57×100=57,所以0≤x≤100,由0.57x=45.6得x=80,
则138+112+80=330(千瓦时),即第一季度共用电330千瓦时.
【变式2-1】4．（2022·全国·高一）端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，每个甜味粽的成本比每个肉馅粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．端午节当天一共卖出了两类礼盒共计128盒，且卖出的B类礼盒至少50盒．后续工作人员在核算总成本的过程中，把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的去计算每个成鸭蛋的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，则当日实际卖出的两种礼盒的总成本为______元．
【答案】5360
【分析】设每个甜味粽的成本为x元，由题可得A类礼盒及B类礼盒的成本，再设卖出A类礼盒m盒，则卖出B类礼盒盒，根据条件列出方程，可得到，再由当日实际卖出的两种礼盒的总成本为，整理后把4mx代入，即可求解．
【详解】∵A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．∴A类礼盒的成本为元，即4个甜味粽，4个肉馅粽的成本为40元，∴1个甜味粽，1个肉馅粽的成本总和为10元，设每个甜味粽的成本为x元，则每个肉馅粽的成本为元，
∵每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，∴每个咸鸭蛋的成本为元，
∵B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，∴B类礼盒的成本为元，设卖出A类礼盒盒，则卖出B类礼盒盒，
，整理得：，
当日实际卖出的两种礼盒的总成本为 （元）．故答案为：5360.
类型2 二次函数模型
【例题2-2】某商家准备在2020年春节来临前连续两次对某一商品的销售价格进行提价且每次提价10%,然后在春节活动期间连续两次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售价与原来的价格相比( )
A.略有降低 B.略有提高 C.相等 D.无法确定
【答案】 A
【解析】 设这种商品的原价为a,则两次提价后的价格为a(1+10%)2=1.12·a,又进行两次降价后的价格为1.12·a(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2·a=0.992a
【变式2-2】1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B. C. D.-1
【答案】 D
【解析】设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.
【变式2-2】2.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的解析式；
(2)设公司获得的利润为S(元)(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝成本单价×销售量)．
①试用销售单价x表示利润S；
②当销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
【解析】 (1)由图象可知，解得所以y＝－x＋100(50≤x≤80)．
(2)①由(1)知，S＝xy－50y＝(－x＋100)(x－50)＝－x2＋150x－5 000(50≤x≤80)．
②由①可知，S＝－(x－75)2＋625，其图象开口向下，对称轴为x＝75，所以当x＝75时，Smax＝625，即该公司可获得的最大利润为625元，此时相应的销售单价为75元/件，销售量为25件．
【变式2-2】3．（2022·全国·高一专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.
【分析】（1）设篱笆的一面的长为 x 米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可．
（1）设篱笆的一面AB的长为 x 米，则，由题意得，，
解得，，，，
所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）由题意得，时， S 取得最大值，此时，，
所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．
【变式2-2】4．（2021·江苏·常州市第一中学高一期末）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
项目类别 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数
A产品 20 m 10 200
B产品 40 8 18 120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,9]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；
(2)如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划．
【答案】(1)，且；，且；
(2)答案见解析.
【分析】（1）设年销售量为件，由题意可得，，注意根据实际情况确定定义域.
（2）分别计算两种方案的最值可得，讨论的符号，研究不同的方案所投资的产品及最大利润.
(1)设年销售量为件，按利润的计算公式生产、两产品的年利润、分别为：
，且；
，且.
(2)因为，则，故为增函数，又且，所以时，生产产品有最大利润为：（万美元）.又，且，
所以时，生产产品有最大利润为460（万美元），
综上，，
令，得；令，得；
令，得.
由上知：当时，投资生产产品200件获得最大年利润；
当时，投资生产产品100件获得最大年利润；
当时，投资生产产品和产品获得的最大利润一样.
类型3 根号函数模型
【例题2-3】某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路,该产品广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差,如果销售额与广告费的算术平方根成正比,那么根据对市场的抽样调查发现:每投入100万元的广告费,所得的销售额是1 000万元.问:该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益
【解析】 设广告费为x万元时,广告效益为y万元,销售额为t万元.由题意可设t=k(k>0),则y=t-x=k-x.∵当x=100时,t=1 000,∴1 000=10k,解得k=100,∴t=100,∴y=100-x.令=m,则m≥0,y=100m-m2=-(m-50)2+2 500,∴当m=50,即x=2 500时,y取得最大值,为2 500.∴该企业投入2 500万元广告费时,能获得最大的广告效益.
【变式2-3】（2021·全国·高一专题练习）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资A类产品的收益与投资额成正比，投资B类产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时，A，B两类产品的收益分别为万元和万元．
(1)分别写出A，B两类产品的收益与投资额的函数关系式；
(2)该家庭有40万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
【答案】(1)A产品：，B产品：；
(2)A产品39万元，B产品1万元，收益最大为万元.
【分析】（1）由题意设A收益为，B收益为，结合已知，应用待定系数法求参数，即可写出函数关系式；
（2）设A产品x万元，则B产品为万元，可得收益函数为，应用换元法(注意定义域)及二次函数的性质求最大值即可.
(1)设投资x万元时，A产品的收益为万元，B产品的收益为万元，
由题意知：，即；，即，
∴两类产品的收益与投资的函数关系式分别是：，；
(2)设A产品x万元，则B产品为万元，由题意，投资获得的收益 ，令，则
∴原问题为求的最大值.∴当，即万元时收益最大，最大为万元.
类型4 分段函数模型
【例题2-4】电信局为了满足客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(min)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)试问：
(1)若通话时间为2 h，按方案A，B应各付话费多少元？
(2)方案B从500 min以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
【解析】由题图可知，M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则fA(x)＝fB(x)＝
(1)通话2 h，两种方案的话费分别为116元，168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝＝0.3(元)(n＞500)，所以，方案B从500 min以后，每分钟收费0.3元．
(3)由题图知，当0≤x≤60时，有fA(x)＜fB(x)．当x≥500时，fA(x)＞fB(x)，当60＜x＜500时，由fA(x)＞fB(x)，得x＞，即当通话时间在时，方案B比方案A优惠．
【变式2-4】1.为方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示：
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡更便宜．
【解析】(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x.由点B(30,35)，C(30,15)分别在y1＝f(x)和y2＝g(x)的图象上，可得30k1＋29＝35,30k2＝15.∴k1＝，k2＝.∴通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式为y1＝x＋29，y2＝x.
(2)令y1＝y2，得x＋29＝x.解得x＝.∴当x＝时，两种卡的收费相同；令y1＞y2，得x＋29＞x，解得x＜.∴当x＜时，使用“如意卡”便宜；令y1＜y2，得x＋29＜x，解得x＞.∴当x＞时，使用“便民卡”便宜．综上，当用户在一个月内的通话时间为 min时，两种卡收费相同；当用户在一个月内的通话时间小于 min时，使用“如意卡”便宜；当用户在一个月内的通话时间大于 min时，使用“便民卡”便宜．
【变式2-4】2.某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额(单位：元)是f(n)＝k(n)(n－500)(n为年销售额)，而k(n)＝若一员工获得400元的奖励，则该员工一年的销售额为( )
A．800元 B．1 000元 C．1 200元 D．1 500元
【解析】根据题意，奖励金额f（n）可以看成年销售额n的函数，那么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n的值的问题。据题中所给的函数关系式可算得 n =1500，故选D. 答案∶D
【变式2-4】3．（2022·全国·高一）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（ ）A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】D
【分析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.
【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，
则，整理得：，
当时，，当时，，因此，由得：，解得，所以此户居民本月的用水量为.故选：D
【变式2-4】4．（2022·全国·高一单元测试）喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机打印广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线左侧的图形的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值（即最大值）．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据给定的图形，按，，分别求出即可作答.
（2）由（1）求出函数的解析式，再分段求出最大值并比较作答.
（1）依题意，函数的定义域，梯形OABC的高为1，
当时，，当时，，当时，，
所以函数的解析式是．
（2）由（1）知，，
当时，函数递增，，
当时，函数递增，，
当时，，
当且仅当时取等号，此时，
因为，，则，
所以的峰值为．
【变式2-4】5．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）如图，某学校准备利用一面长度20米的旧墙建造一间体育活动室，活动室为占地224平方米的矩形.工程费用情况如下:
①翻修1米旧墙的费用为25元;
②建造1米新墙的费用为100元;
③拆去1米旧墙，然后用所得的材料修建1米新墙的费用为50元.
记利用旧墙的一条矩形边长为米，建造活动室围墙的总费用为元.请问如何利用旧墙，能使得建造活动室围墙的总费用最低 并求出最低费用.
【答案】保留16米旧墙翻新，拆除4米旧墙修新墙能使建造活动室围墙的总费用最低，为元.
【分析】根据已知求得矩形另一边长为米，结合已知分别得到要建新墙、要翻修旧墙、要拆旧墙长度，进而写出总费用表达式，应用对勾函数性质求最小值，即可得结论.
【详解】由题设，一边为米，矩形另一边长为米，
则要建新墙为米，要翻修旧墙为米，要拆旧墙为米，且，
所以，
当且仅当时等号成立；
综上，保留16米旧墙翻新，拆除4米旧墙修新墙能使建造活动室围墙的总费用最低，为元.
【变式2-4】6．（2022·全国·高一单元测试）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x（，）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；
(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？
【答案】(1)；
(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.
【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；
（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.
（1）当，时，；
当，时，.∴.；
（2）①当，时，，
∴当时，y取得最大值，最大值为1200万元.
②当，时，，
当且仅当，即时，y取得最大值1320，∵，
∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.
类型5 对勾函数模型
【例题2-5】某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足（其中，为正常数）。已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件。
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？
【答案】（1）（2）当a≥4时，利润最大值为17万元，当a<4时，最大利润29-(a+)万元【解析】（1），将m=代
（2）令，g(x)在(0,4)单减，(4,+∞)单增gmin(x)=g(4)=8∴当a≥4时，利润最大值为17万元；当a<4时，最大利润万元.
【变式2-5】1.某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足
（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】（1） ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大
【解析】（1）由题意可知，当m=0时，x=1 （万件），所以1=3-k，所以k=2，所以，
每件产品的销售价格为 （万元），所以年利润所以，其中.
因为时，，即所以，当且仅当，即 （万元）时， （万元）.所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.
【变式2-5】2．（2022·浙江大学附属中学高一期中）某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新型的工业机器人，经过市场调查，生产机器人需投入年固定成本为100万元，每生产x个，需另投入流动成本为万元．在年产量不足80个时，（万元）；在年产量不小于80个时，（万元），每个工业机器人售价为6万元，通过市场分析，生产的机器人当年可以全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（个）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)年产量为多少个时，工业机器人生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)年产量为个时，工业机器人生产中所获利润最大为万元.
【分析】（1）根据题意写出、的解析式，然后应用分段函数形式表示；
（2）利用二次函数、基本不等式分别求出、上的最大值，比较大小即可得结果.
（1）当时，；当时，；所以.
（2）时，，故最大值为万元；
时，，当且仅当，即时等号成立，所以最大值为万元；
综上，年产量为个时，工业机器人生产中所获利润最大为万元.
【变式2-5】3．（2022·全国·高一单元测试）某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．
(1)写出n关于x的函数关系式；
(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．
【答案】(1)（且）(2)21名
【分析】（1）根据抢修的面积等于渗水的面积列出方程，求出（且）；
（2）求出总损失关于x的关系式，再利用基本不等式求出最小值，得到答案.
（1）由题意知：抢修n天时，维修工人抢修的面积之和为，而渗水的面积为
所以有，可得（且）．
（2）设总损失为y，则，当且仅当时，即时，等号成立．
所以应派21名工人去抢修，总损失最小．
【变式2-5】4．（2022·湖北·沙市中学高一阶段练习）某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)．
(1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求实数a的取值范围．
【答案】(1)当左、右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为元；
(2).
【分析】（1）由题设可得甲工程队报价元且，利用基本不等式求其最小值并指出取值条件即可；
（2）由题意及（1）有且在上恒成立，进而转化为在上恒成立，利用二次函数性质求a的范围.
（1）由题设，屋子前面新建墙体的长为米，则甲工程队报价元且，故，当且仅当，时等号成立，所以当左、右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为元.
（2）由题设及（1）知：且在上恒成立，
所以，即在上恒成立，令，对称轴为，，当，即时，恒成立；
当，即时，对称轴，
若，即时，只需，故不成立；
若，即时，在上递减，只需，故不成立，综上，
题型3 函数模型的选取
【例题3-1】某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
【答案】 D
【变式3-1】（2021·全国·高一专题练习）某学习小组在寒假社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x（天） 10 20 25 30
110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入（元）的最小值．
【答案】(1)
(2)选择②，(3)121元
【分析】（1）根据题意，，代入数据，即可求得k值；
（2）根据表示数据有增有减，只能选择②，代入数据，求得a，b的值，可得解析式；
（3）根据（3）可得解析式，根据函数的单调性，分别求得和时函数的最小值，分析即可得答案.
（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以，解得
（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②，代入数据可得：，解得，
所以
（3）由（2）可得，
所以，
所以当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当x=10时，有最小值，且为121；
当时，为单调递减函数，
所以当x=30时，有最小值，且为124，综上，当x=10时，有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元
题型4 函数模型的性质
【例题4】下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是( )
(1)这几年生活水平逐年得到提高；
(2)生活费收入指数增长最快的一年是2013年；
(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2014年；
(4)虽然2015年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由图可知，生活费收入指数与生活价格指数在同一个时间点上的差值越来越大，说明生活水平逐年得到提高，故（1）正确；从折线段的倾斜程度，可知生活费收入指数增长最快的一年是2013年，故（2）正确，（3）错误；由图可知，（4）正确。
【变式4-1】如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.
图① 图② 图③
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是 ,图③方案是 .
【答案】 降低成本,票价不变;增加票价
【解析】 由题图①知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示10人乘车,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.题图②与题图①相比,一次函数的一次项系数不变,图象与y轴负半轴的交点上移,故题图②表示降低成本,票价不变,题图③与题图①相比,一次项系数增大,图象与y轴负半轴的交点不变,故题图③表示增加票价,故答案为降低成本,票价不变;增加票价.