3.1.2函数的单调性与值域最值
常考题型目录
题型1根据函数解析式求值域或最（小）值 2
类型1 图像法（基本初等函数） 3
类型2 单调性法（一般能够直接判断单调性） 3
类型3 换元法（根号换元） 4
类型 4 分离常数法 5
类型5 数形结合法 5
类型6 基本不等式法 6
类型7 判别式法 6
类型8 分段函数的值域 7
题型2 含参二次函数的值域（动轴定区间、动区间定轴） 7
类型1 定轴定区间 8
类型2 动轴定区间 8
类型3 定轴动区间 9
类型4 动轴动区间 9
题型3 根据函数值域(最值)求参数 9
题型4 恒成立问题 11
类型1：不等式恒成立 11
类型2：等式恒成立（任意-任意；任意-存在） 11
题型5 实际应用题 12
知识梳理：
知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义
最值 条件 几何意义
最大值 ①对于 x∈I，都有f(x)≤M，② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 ①对于 x∈I，都有f(x)≥M，② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
【几何意义】一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
[例如]函数y＝x2，x∈[－1,1]的图像如图所示：
当x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点．
求函数最值的常用方法有:
（1）配方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围.（也可用图像法）
（2）换元法 用换元法时一定要注意新元的取值范围.（一般情况含根号）
（3）图象法 即数形结合的方法.
（4）单调性法 利用函数的单调性求最值的方法,要注意函数的单调性对函数最值的影响.
（5）分离常数法：主要用于含有一次的分式函数
（6）判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
题型分类
题型1根据函数解析式求值域或最（小）值
求函数最值的常用方法有:
（1）配方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围.（也可用图像法）
（2）换元法 用换元法时一定要注意新元的取值范围.（一般情况含根号）
（3）图象法 即数形结合的方法.
（4）单调性法 利用函数的单调性求最值的方法,要注意函数的单调性对函数最值的影响.
（5）分离常数法：主要用于含有一次的分式函数
（6）判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
类型1 图像法（基本初等函数）
【例题1-1】已知二次函数，分别求下列条件下函数的值域：
（1），； （2）； （3），．
【变式1-1】1.已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
【变式1-1】2.已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
【变式1-1】3．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
【变式1-1】4.定义，若x∈R，，则f(x)的最大值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．无最大值
【变式1-1】5．（2022·全国·高一单元测试）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
【变式1-1】6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
类型2 单调性法（一般能够直接判断单调性）
【例题1-2】已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
【变式1-2】1.已知函数f(x)＝＋3(x∈[2,4])，求函数f(x)的最大值和最小值．
【变式1-2】2.求下列函数的最值
【变式1-2】3．函数y＝x－在[1,2]上的最大值为( )
A．0 B. C．2 D．3
【变式1-2】4．（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.
类型3 换元法（根号换元）
【例题1-3】（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】1.求下列函数的值域．
（1） （2）．
【变式1-3】2．函数y＝x＋的最小值为________．
【变式1-3】3.求函数的值域．
【变式1-3】4．(2020·深圳模拟)函数y＝的最大值为________．
【变式1-3】5．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值域为______．
【变式1-3】6．（2022·全国·高一单元测试）函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
类型 4 分离常数法
（分子分母均为一次；分子分母均有二次的；分子分母次数不同的—换元、配凑）
此种方法适用于求分式型函数的值域.
第1步：将函数关系式分子中含x的项分离，即使分子不含x项；
第2步：确定分离后的函数关系式的单调性；
第3步：借助函数的单调性，求的函数的值域.
特别注意：若分离较为困难，则可将分子或分母设为一个整体，用一个字母代替及换元再分离常数.
【例题1-4】（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-5】1.（1）求函数的值域． （2）求函数的值域．
【变式1-5】2.函数y＝的值域是________．
【变式1-5】3．（2022·全国·高三专题练习）设，函数表示不超过的最大整数，例如，，若函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-5】4.函数f(x)＝的值域为________．
类型5 数形结合法
【例题1-6】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y=值域相同的是（ ）
A．y=x B．y= C． D．
【变式1-6】1.函数f(x)＝2＋(-2
A．(2，4) B．[2，4)C．[2，4] D．(2，4]
【变式1-6】2.（2022·全国·高一单元测试）已知．
(1)用分段函数的形式表示；
(2)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域．
【变式1-6】3．（2022·全国·高一课时练习）对任意，函数，则的最小值是_______．
【变式1-6】4．（2023·全国·高三专题练习）对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为________.
类型6 基本不等式法
【例题1-7】求y＝的值域
类型7 判别式法
对于形如（中至少有一个不为0）的函数,若分子、分母能进行因式分解并化简,在化简后再求其值域;若不能化简,常用判别式法求其值域.
要求：会用十字相乘法分解二次三项式.
步骤：第1步：将含的式子用表示，
第2步：借助含的式子得出关于的不等式，
第3步：解关于的不等式既得函数的值域。
【例题1-8】（2022·全国·高一专题练习）求函数的值域.
【变式1-8】1.已知，求函数的值域．
【变式1-8】2.求函数的值域：．
类型8 分段函数的值域
【例题1-9】（2022·上海师大附中高二期末）设是非空集合，且，定义在上的函数的值域为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【变式1-9】1．（2022·全国·高一）函数 的值域是______________（用区间表示）
【变式1-9】2．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）（多选）已知函数，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．的值域为
【变式1-9】3．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）(多选)已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
题型2 含参二次函数的值域（动轴定区间、动区间定轴）
求二次函数在区间上的最值分为以下三种情况:
（1）对称轴在区间的左侧：若，则在区间上是增函数，最大值为，最小值为;
（2）对称轴在区间内：若≤≤，则的最小值为，最大值为、中的较大者（或区间端点中与直线的距离较大的那一个端点所对应的函数值）；即最小值为，最大值为.
（3）对称轴在区间的右侧：若，则在区间上是减函数，最大值为，最小值为.
类型1 定轴定区间
【例题2-1】典例 已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．
类型2 动轴定区间
【例题2-2】已知函数,,求函数的最小值.
【变式2-2】求函数在区间上的最大值和最小值.
类型3 定轴动区间
【例题2-3】求函数在区间上的最小值.
【变式2-3】若函数的定义域为,值域为,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
类型4 动轴动区间
【例题2-4】求函数在上的最大值.
题型3 根据函数值域(最值)求参数
【例题3】若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2 C．2或－2 D．0
【变式3-1】若函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为( )
A．10 B．10或20
C．20 D．无法确定
【变式3-2】1.已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为，，则实数m的取值范围为
A．， B．， C．，-3][0， D．，
【变式3-2】2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【变式3-2】3.已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
[160，＋∞) B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
【变式3-2】4.（2021·广东·揭阳华侨高中高一期中）已知函数，若存在实数m，使得函数的定义域和值域都是(m>1)，则m的值是_____________．
【变式3-2】5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是（m，n为整数），值域是，则满足条件的整数对的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-2】6.记函数在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M和，则等于( )
A. B. C. D.
【变式3-2】7．（2022·全国·高一单元测试）（多选）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3-2】8．（2022·福建·福州四中高一期末）设函数若存在最小值，a的取值范围___________.
【变式3-2】9．（2022·全国·高一期中）已知函数，其中k为常数
(1)若，求函数的表达式；
(2)在（1）的条件下，设函数，若在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；
(3)是否存在k使得函数在上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．
题型4 恒成立问题
类型1：不等式恒成立
任意x∈D，f(x)>a恒成立 f(x)min>a；
任意x∈D，f(x)在求解恒成立问题时，把参数分离出来，使不等式的一端是含有参数的代数式,
另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法.
【例题4-1】已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
【变式4-1】1.已知对任意x∈恒成立，求a的取值范围．
【变式4-1】2．（2022·江苏·高一）已知二次函数．
(1)若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围．
【变式4-1】3．（2022·全国·高一专题练习）二次函数的对称轴为轴，经过、两点，并且当时，时，恒成立，则实数的取值范围是______
【变式4-1】4．（2022·浙江·永嘉中学高一竞赛）设.若当时，恒有，则的取值范围是____.
类型2：等式恒成立（任意-任意；任意-存在）
【例题4-2】已知，，对任意，存在，使，
则的取值范围是（ ）
B. C. D.
【变式4-2】1.已知函数函数对于任意总存在使得成立，则实数的取值范围是__________
【变式4-2】2.已知函数和函数对于任意总存在使得成立，则实数的取值范围是__________
题型5 实际应用题
【例题5】某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足：
R(x)＝假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
【变式5-1】1.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
【变式5-1】2. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
【变式5-1】3．（2022·全国·高一课时练习）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示：
第天 1 3 10 30
日销售量（百件） 2 3
未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）.
(1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；
(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.
【变式5-1】4．（2022·全国·高一课时练习）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
/个 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①，②，③，④．
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入（元）的最小值．
【变式5-1】5．（2022·全国·高一课时练习）已知某船舶每小时航行所需费用u（单位：元）与航行速度（单位：千米/时）的函数关系为（其中a，b，k为常数），函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若该船舶需匀速航行20千米，问船舶的航行速度v为多少时，航行所需费用最少.最少的费用为多少？3.1.2函数的单调性与值域最值
常考题型目录
题型1根据函数解析式求值域或最（小）值 2
类型1 图像法（基本初等函数） 3
类型2 单调性法（一般能够直接判断单调性） 6
类型3 换元法（根号换元） 7
类型 4 分离常数法 9
类型5 数形结合法 13
类型6 基本不等式法 15
类型7 判别式法 16
类型8 分段函数的值域 17
题型 含参二次函数的值域（动轴定区间、动区间定轴） 19
类型1 定轴定区间 20
类型2 动轴定区间 21
类型3 定轴动区间 22
类型4 动轴动区间 22
题型3 根据函数值域(最值)求参数 23
题型4 恒成立问题 28
类型1：不等式恒成立 28
类型2：等式恒成立（任意-任意；任意-存在） 31
题型5 实际应用题 32
知识梳理：
知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义
最值 条件 几何意义
最大值 ①对于 x∈I，都有f(x)≤M，② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 ①对于 x∈I，都有f(x)≥M，② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
【几何意义】一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
[例如]函数y＝x2，x∈[－1,1]的图像如图所示：
当x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点．
求函数最值的常用方法有:
（1）配方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围.（也可用图像法）
（2）换元法 用换元法时一定要注意新元的取值范围.（一般情况含根号）
（3）图象法 即数形结合的方法.
（4）单调性法 利用函数的单调性求最值的方法,要注意函数的单调性对函数最值的影响.
（5）分离常数法：主要用于含有一次的分式函数
（6）判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
题型分类
题型1根据函数解析式求值域或最（小）值
求函数最值的常用方法有:
（1）配方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围.（也可用图像法）
（2）换元法 用换元法时一定要注意新元的取值范围.（一般情况含根号）
（3）图象法 即数形结合的方法.
（4）单调性法 利用函数的单调性求最值的方法,要注意函数的单调性对函数最值的影响.
（5）分离常数法：主要用于含有一次的分式函数
（6）判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
类型1 图像法（基本初等函数）
【例题1-1】已知二次函数，分别求下列条件下函数的值域：
（1），； （2）； （3），．
【答案】解：由题意得，y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，关于x＝2对称，如：
（1）函数在[﹣1，0]上递减，则当x＝0时，y＝5．当x＝﹣1时，y＝10．即当x∈[﹣1，0]时，y∈[5，10]．
（2）函数在（1，2]上递减，（2，3）上递增，则x∈（1，3）时，x＝2时，y最小值为1．
当x＝1或x＝3时，y＝2．又∵x∈（1，3），∴点（1，2），（3，2）为虚点．∴当x∈（1，3）时，y∈[1，2）．
（3）函数在（4，5]上递增，当x∈（4，5]时，x＝4时，对应值y＝5，（4，5）为虚点．
当x＝5时，y＝10，（5，10）为实点．∴当x∈（4，5]时，y∈（5，10]．
【变式1-1】1.已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
【解析】y＝－|x－1|＋2＝图象如图所示，
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．
【变式1-1】2.已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
【解析】作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.
反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤
【变式1-1】3．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
【答案】 2
【解析】 f(x)的图象如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
【变式1-1】4.定义，若x∈R，，则f(x)的最大值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．无最大值
【解析】在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图像，如图：根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图像．所以当x＝1时，f(x)max＝1.故选B
【变式1-1】5．（2022·全国·高一单元测试）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；
（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.
（1）解：依题意，解得，所以；
（2）解：由（1）可得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以，，即、，所以.
【变式1-1】6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
【答案】#2.25
【分析】依题意可得，再根据函数的定义域求出，的取值范围，则，，根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：∵函数，，实数，满足，
∴，可得，，，又，
∴，则，，
所以当时，，即，时，取得最大值.
故答案为：
类型2 单调性法（一般能够直接判断单调性）
【例题1-2】已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
【解析】(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3,5]且x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，则f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝.
【变式1-2】1.已知函数f(x)＝＋3(x∈[2,4])，求函数f(x)的最大值和最小值．
【解析】设x1，x2是[2,4]上任意两个实数，且x1因为2≤x1【变式1-2】2.求下列函数的最值
（1）y＝31；（2）； （3）；
【解析】（1）函数的值域为[﹣1，+∞）；（2），无最大值；
对于（3），整理为，明显地，这是两个增函数相加，所以，对于，在上单调递增，所以，当时，，当时，
【变式1-2】3．函数y＝x－在[1,2]上的最大值为( )
A．0 B. C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 函数y＝x在[1,2]上是增函数，函数y＝－在[1,2]上是增函数，
所以函数y＝x－在[1,2]上是增函数．当x＝2时，ymax＝2－＝.
【变式1-2】4．（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.
【答案】
【分析】先求得的定义域，再根据函数的单调性，即可求得函数值域.
【详解】由，且，解得，故该函数的定义域为，
又该函数在定义域内单调递减，所以当时，函数取得最小值，，
故该函数的值域是.
类型3 换元法（根号换元）
【例题1-3】（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题通过换元法求值域，先令，将函数转化成二次函数进行求解.
【详解】函数的定义域是，令，则， ，所以，因为，所以，所以原函数的值域为．故选：D.
【变式1-3】1.求下列函数的值域．
（1） （2）．
【解析】（1）函数y＝2x﹣2可得函数的定义域为．令，解得．∴y＝f（t）2+tf（0），∴函数y＝2x﹣2的值域为．
换元法（代数换元法）：设，则x＝1﹣t2，∴原函数可化为y＝1﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+5（t≥0），∴y≤5，∴原函数值域为（﹣∞，5]．
【变式1-3】2．函数y＝x＋的最小值为________．
【答案】
【解析】 令t＝，t≥0，∴x＝，∴y＝＋t＝(t2＋2t＋1)＝(t＋1)2，
∵t≥0，∴当t＝0时，ymin＝.
【变式1-3】3.求函数的值域．
【答案】解：设t，（其中t≥0）；∴x＝t2﹣4；∴y＝f（t）；∵t≥0，∴t+3≥3，∴0，又t≠3，∴y；∴f（x）的值域是（0，）∪（，]．
【变式1-3】4．(2020·深圳模拟)函数y＝的最大值为________．
【解析】：令 ＝t，则t≥2，所以x2＝t2－4，所以y＝＝，设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，所以h(t)min＝h(2)＝，所以y≤＝(x＝0时取等号)．即y最大值为.答案：
【变式1-3】5．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值域为______．
【答案】
【分析】利用换元法，求函数的解析式，再根据二次函数的性质，可得答案.
【详解】设，，，所以值域是．故答案为：.
【变式1-3】6．（2022·全国·高一单元测试）函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．
【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B
类型 4 分离常数法
（分子分母均为一次；分子分母均有二次的；分子分母次数不同的—换元、配凑）
此种方法适用于求分式型函数的值域.
第1步：将函数关系式分子中含x的项分离，即使分子不含x项；
第2步：确定分离后的函数关系式的单调性；
第3步：借助函数的单调性，求的函数的值域.
特别注意：若分离较为困难，则可将分子或分母设为一个整体，用一个字母代替及换元再分离常数.
【例题1-4】（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将函数分离常数后可直接求解.
【详解】，从而可知函数的值域为.故选：C
【变式1-4】1.（2022·全国·高一课时练习）若函数的值域是____.
【答案】
【分析】利用分离常数法去求函数的值域即可
【详解】， ，函数的值域是：.
故答案为：
【变式1-4】2.求下列函数的值域：. （2）求函数的值域．
【答案】（1）（2，]． （2）（﹣∞，）∪（，+∞）．
【解析】（1）y2，∵x≥1，2＜22， ∴y（x≥1）的值域为（2，]．
y （1），∵0，∴y，即函数的值域为（﹣∞，）∪（，+∞）．
【变式1-4】3．（2022·全国·高一课时练习）函数；
①的值域是__________；
②的值域是__________．
【答案】
【分析】，然后画出其图像，结合图像可得答案.
【详解】，
其图像可由反比例函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下：
当时，当时，所以的值域是，
因为当时，当时，所以的值域是，故答案为： ；
【变式1-5】1.（1）求函数的值域． （2）求函数的值域．
【解析】解：（1），∵（x﹣1）2+2≥2
∴，∴，所以函数的值域为．
（2）∵，又x2+3≥3，∴，即．
∴函数的值域是．
【变式1-5】2.函数y＝的值域是________．
【答案】 【解析】若x＝0，则y＝0；若x≠0，则y＝＝∈.
故所求值域为.
【变式1-5】3．（2022·全国·高三专题练习）设，函数表示不超过的最大整数，例如，，若函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可得，分、、、根据定义可得答案.
【详解】，因为，所以，
所以，当时，；
当时，；当时，；
当时，，所以函数的值域为，
故选：C.
【变式1-5】4.函数f(x)＝的值域为________．
【答案】【解析】当x＋1＝0时，f(x)＝0，当x＋1>0时，＝＝≤，当且仅当x＝1时取等号．∴0类型5 数形结合法
【例题1-6】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y=值域相同的是（ ）
A．y=x B．y= C． D．
【答案】D
【分析】先得出函数y=值域，再由一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行判断.
【详解】函数y=，故其值域为.
对于A，函数y=x的值域为，故A错误；对于B，函数y=的值域为，故B错误；对于C，函数，其值域为，故C错误；对于D，，其值域为，故D正确；故选：D
【变式1-6】1.函数f(x)＝2＋(-2A．(2，4) B．[2，4)C．[2，4] D．(2，4]
【解析】选B.因为f(x)＝2＋·(－2【变式1-6】2.（2022·全国·高一单元测试）已知．
(1)用分段函数的形式表示；
(2)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域．
【答案】(1)
(2)图象见解析，的单调递增区间为，单调递减区间为，的值域为．
【分析】（1）根据绝对值的定义去掉绝对值符号可得；
（2）作出函数图象，由图象得单调区间、值域．
（1）当时，
当时，，
当时，，所以．
（2）的图象如图：
由图易得，的单调递增区间为，单调递减区间为，的值域为．
【变式1-6】3．（2022·全国·高一课时练习）对任意，函数，则的最小值是_______．
【答案】2
【分析】分别作出三个函数的图像，利用数形结合即得.
【详解】在同一平面直角坐标系中画出，，的图象，则的图象如图中实线部分所示．
由，可得，由图可得，．故答案为：2．
【变式1-6】4．（2023·全国·高三专题练习）对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为________.
【答案】
【分析】由题间作出函数图象，则图象求即可
【详解】由题可得其部分图象如下图
所以的值域为，故答案为：
类型6 基本不等式法
【例题1-7】求y＝的值域
解析 (基本不等式法)y＝＝＝x＋＝x－＋＋，因为x>，所以x－>0，所以x－＋≥2＝，当且仅当x－＝，即x＝时取等号．所以y≥＋，即原函数的值域为.
类型7 判别式法
对于形如（中至少有一个不为0）的函数,若分子、分母能进行因式分解并化简,在化简后再求其值域;若不能化简,常用判别式法求其值域.
要求：会用十字相乘法分解二次三项式.
步骤：第1步：将含的式子用表示，
第2步：借助含的式子得出关于的不等式，
第3步：解关于的不等式既得函数的值域。
【例题1-8】（2022·全国·高一专题练习）求函数的值域.
【答案】
【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域.
【详解】因为，
所以当时，；
当时，原函数化为，
所以，整理得，
解得即或，
∴综上，函数的值域为.
【变式1-8】1.已知，求函数的值域．
【思路分析】先将原函数整理成关于x的一元二次方程：2x2﹣yx﹣17+3y＝0，该方程有解，所以限制y为，解该不等式组即得原函数的值域．
【答案】解：由原函数得：2x2﹣yx﹣17+3y＝0；则该关于x的一元二次方程有解；则有；解得；∴原函数的值域为[，+∞）．
【变式1-8】2.求函数的值域：．
【解析】解：判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R．由得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0①①当y﹣2＝0即y＝2时，①即3x+0＝0，∴x＝0∈R②当y﹣2≠0即y≠2时，∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0恒有实根，∴△＝（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0，∴1≤y≤5且y≠2，∴原函数的值域为[1，5]．
类型8 分段函数的值域
【例题1-9】（2022·上海师大附中高二期末）设是非空集合，且，定义在上的函数的值域为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】D
【分析】分和两种情况讨论，根据所给定义得到函数的值域，即可判断；
【详解】解：当时，，所以，即的值域为；
当时，，所以的值域为；
故选：D
【变式1-9】1．（2022·全国·高一）函数 的值域是______________（用区间表示）
【答案】
【分析】根据二次函数、一次函数的性质，分别求解时和时，函数的值域，综合即可得答案.
【详解】当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以，当时，，为单调递减函数，
所以，综上：，即的值域为.故答案为：
【变式1-9】2．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）（多选）已知函数，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．的值域为
【答案】ABC
【分析】根据分段函数及函数的解析式可判断AB，再由特殊值可判断C，根据分段函数的解析式求出的值域可判断D.
【详解】，故A错误；，故B错误；，在上不单调递增，故C错误；， 时，，当时，由周期性可知，综上知的值域为，故D正确.故选：ABC
【变式1-9】3．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）(多选)已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
【答案】BC
【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.
【详解】函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．故选：BC．
题型2 含参二次函数的值域（动轴定区间、动区间定轴）
求二次函数在区间上的最值分为以下三种情况:
（1）对称轴在区间的左侧：若，则在区间上是增函数，最大值为，最小值为;
（2）对称轴在区间内：若≤≤，则的最小值为，最大值为、中的较大者（或区间端点中与直线的距离较大的那一个端点所对应的函数值）；即最小值为，最大值为.
（3）对称轴在区间的右侧：若，则在区间上是减函数，最大值为，最小值为.
类型1 定轴定区间
【例题2-1】典例 已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．
【解析】∵对称轴x＝1，
(1)当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，∴f(x)min＝f(t＋2)
＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
(2)当t≤1(3)当11时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最小值为g(t)，则有g(t)＝
[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．
类型2 动轴定区间
【例题2-2】已知函数,,求函数的最小值.
【分析】本题抛物线的开口方向确定,对称轴不确定,需要根据对称轴与定区间的相对位置关系进行讨论,必要时画出函数图象的简图,用数形结合思想解决问题.
【解析】,其图象的开口方向向上,对称轴为直线.
当时,函数在上是增函数,所以;
当≤≤1时,;
当时,函数在上是减函数,所以.
综上所述,函数的最小值为.
【变式2-2】求函数在区间上的最大值和最小值.
【解析】,其图象的开口方向向上,对称轴为直线.
（1）当时,函数在区间上是增函数,所以,
;
（2）当0≤≤2时,:
①若0≤≤,则;
②若1＜≤2,则.
（3）当时,函数在区间上是减函数,所以,
.
综上所述,,.
类型3 定轴动区间
【例题2-3】求函数在区间上的最小值.
【解析】,其开口方向向上,对称轴为直线.
当（此时对称轴在给定区间的左侧）时,函数在区间上为增函数,所以;
当≤1≤,即0≤≤1时,;
当,即时,函数在上为减函数,所以.
综上所述,.
【变式2-3】若函数的定义域为,值域为,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【分析】若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域的端点处取得.
【解析】,其图象开口向下,对称轴为直线.
当时,;当时,.∵函数的定义域为,值域为∴≤≤4,即实数的取值范围是.选择【 D 】.
类型4 动轴动区间
【例题2-4】求函数在上的最大值.
【分析】本题要结合对称轴（含参数）与给定闭区间（含参数）之间的相对位置关系进行讨论,并结合函数的单调性确定最大值.
【解析】,其图象开口向下,对称轴为直线.由题意可知:.（区间的左端点必小于右端点）（见区间的表示）当,即时,与矛盾,舍去;当≤,即≥0时,;当,即时,函数在区间上是增函数,所以.综上所述,.
题型3 根据函数值域(最值)求参数
【例题3】若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2 C．2或－2 D．0
【答案】 C
【解析】 当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.综上a＝±2.
【变式3-1】若函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为( )
A．10 B．10或20
C．20 D．无法确定
【答案】 C
【解析】 当k＝0时，不满足．当k>0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝＝5，∴k＝20满足条件，k<0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是增函数，
f(x)min＝f(2)＝＝5，∴k＝10，又∵k<0，∴k＝10舍去，综上有k＝20.
【变式3-2】1.已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为，，则实数m的取值范围为
A．， B．， C．，-3][0， D．，
【答案】A
【解析】解：f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0，+∞），△=4（m+3）2-12(m+3)=0,
，解可得m=0或m=-3，则实数m的取值范围为{0,-3}．故选：A．
【变式3-2】2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】 C
【解析】 因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，
即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
【变式3-2】3.已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
[160，＋∞) B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
【解析】由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图像的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.故选C
【变式3-2】4.（2021·广东·揭阳华侨高中高一期中）已知函数，若存在实数m，使得函数的定义域和值域都是(m>1)，则m的值是_____________．
【答案】3
【分析】根据给定的二次函数，探讨它在区间上的单调性，借助最值计算作答.
【详解】函数的图象对称轴为，因此，在上单调递增，
依题意，而，则，即，而m>1，解得，
所以m的值是3.故答案为：3
【变式3-2】5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是（m，n为整数），值域是，则满足条件的整数对的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，并画出函数的大致图像即可
【详解】由，得或由，得
易知当时，为增函数，当时，为减函数，其图像如上图所示
若使的定义域是（m，n为整数），值域是，满足条件的整数数对有，，，，共5个故选：D
【变式3-2】6.记函数在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M和，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为f(x)==2+，所以f(x)在[3,4]上是减函数.所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.所以==.故选D.
【变式3-2】7．（2022·全国·高一单元测试）（多选）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【分析】分离常数得，若在单调递增，则满足，检验选项即可求解.
【详解】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，故选:AC
【变式3-2】8．（2022·福建·福州四中高一期末）设函数若存在最小值，a的取值范围___________.
【答案】
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值再求解即可.
【详解】若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，当时，单调递减，，
当时，∴或，
解得，综上可得；故答案为：
【变式3-2】9．（2022·全国·高一期中）已知函数，其中k为常数
(1)若，求函数的表达式；
(2)在（1）的条件下，设函数，若在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；
(3)是否存在k使得函数在上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，或(3)存在；或
【分析】（1）将代入得到方程，解得即可求出函数解析式；
（2）由（1）可得，求出对称轴，再对对称轴分类讨论即可；
（3）当时显然不成立，当时，则的最大值只可能在，4，处取得，分别计算再检验即可；
（1）解：∵，解得∴
（2）解：由（1）可得，
其对称轴方程为若在上为增函数，则，解得
若在上为减函数，则，解得
综上可知，m的取值范围为，或．
（3）解：当时函数在上的最大值是15，不满足条件；
当时假设存在满足条件的，则的最大值只可能在，4，处取得，
其中对称轴，
①若，则有，的值不存在；
②若，则，解得，此时，
对称轴，则最大值应在处取得，与条件矛盾，舍去；
③若，则，且，
化简得，解得或，满足且，
综上可知，当或时，函数在上的最大值是4．
【变式3-2】10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用单调性的定义直接证明即可；
（2）由（1）可知函数在上单调递增，由题意则有，则可等价于m，n为关于x的方程的两不等实根，利用求根公式即可表示出，由此即可求出的最大值.
（1）证明：任取，且，
则，
因为，，所以，所以，
故，所以，所以函数在上单调递增．
（2）由（1）可知函数在上单调递增，因为的定义域和值域都是，所以，所以m，n为关于x的方程的两个不相等的正实数根，化简方程可得，则，解得，所以 因为，所以，所以当，即时，取得最大值．最大值为．
题型4 恒成立问题
类型1：不等式恒成立
任意x∈D，f(x)>a恒成立 f(x)min>a；
任意x∈D，f(x)在求解恒成立问题时，把参数分离出来，使不等式的一端是含有参数的代数式,
另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法.
【例题4-1】已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】方法一（函数思想）：令y＝x2－x＋a，要使x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需ymin＝>0，解得a>.∴实数a的取值范围是.
方法二（分离参数）x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x. 要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需a>(－x2＋x)max，又(－x2＋x)max＝，∴a>.∴实数a的取值范围是.
【变式4-1】1.已知对任意x∈恒成立，求a的取值范围．
【答案】
【分析】对任意x∈，即x2－x＋a>0，对任意x∈恒成立；f(x)＝－x2＋x在上为减函数，∴f(x)的值域为，要使a>－x2＋x对任意x∈恒成立，只需a≥，∴a的取值范围是.
【变式4-1】2．（2022·江苏·高一）已知二次函数．
(1)若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用二次函数的单调性求解；
（2）将在上恒成立，转化为在恒成立求解．
(1)解：因为在单调递增，所以，解得；
(2)因为在上恒成立，所以在恒成立，即在恒成立．令，则，当且仅当时等号成立．所以．
【变式4-1】3．（2022·全国·高一专题练习）二次函数的对称轴为轴，经过、两点，并且当时，时，恒成立，则实数的取值范围是______
【答案】或或
【分析】由对称轴可求，由函数经过、两点可求，从而可求二次函数的最大值，故当时恒成立，从而可求解.
【详解】解：因为二次函数的对称轴为轴，所以即，
因为二次函数的图象经过、两点，所以，解得，
所以二次函数的解析式为，当时，的最大值为1，
所以当时，即恒成立，所以，解得或或.故答案为:或或.
【变式4-1】4．（2022·浙江·永嘉中学高一竞赛）设.若当时，恒有，则的取值范围是____.
【答案】
【分析】构造函数，则将题目转化为当时，
恒有，分，，，讨论，即可得到结果.
【详解】设函数，则当时，恒有.
当时，在上递增，
则，且，
从而，则，于是，矛盾；
同理，当，在上递减，
则，且，
从而，则，于是，矛盾；
当，,则，
当，，则，
由此得，的取值范围是.
当且仅当，时，，当且仅当时，.
故答案为:
类型2：等式恒成立（任意-任意；任意-存在）
【例题4-2】已知，，对任意，存在，使，
则的取值范围是（ ）
B. C. D.
【详解】解∶由f(x）=则当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-4，3]，由对任意x1∈[-2，2]，存在x2∈[-2，2]，使g（x1）=f(x2）成立，则有当a>0时，[-a，3a][-4，3]或当a<0时，[3a，-a][-4，3]或当a=0时，a[-4，3]，即0【变式4-2】1.已知函数函数对于任意总存在使得成立，则实数的取值范围是__________
【解析】对于任意总存在使得成立，,当x=1时，=2，∴0，有解。①a>0时，=a-12，a3；②a=0,不成立；③a<0,=-a-12,a≤ -3.综上a1或a≤ -3。
【变式4-2】2.已知函数和函数对于任意总存在使得成立，则实数的取值范围是__________
【解析】记函数f（x）g（x）在区间[-2，2]上的值域分别为A，B，则A=[0，4].∵对于任意x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-2.2]，使得g（x2）=f（x1）成立，AB，所以a0，①当a>0时，B=[-2a-1，2a-1]，,a,②当a<0时，B=[2a-1，-2a-1]，,a,综上，a的取值范围是a或a。
题型5 实际应用题
【例题5】某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足：
R(x)＝假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
【解析】(1)由题意得G(x)＝2.8＋x，所以f(x)＝R(x)－G(x)＝
(2)当x>5时，因为函数f(x)单调递减，所以f(x)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)，
所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．
反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．
【变式5-1】1.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
【解析】设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.故当x＝70时，ymax＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元．
【变式5-1】2. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
【解析】(1)当020时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)．
(2)当020时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
【变式5-1】3．（2022·全国·高一课时练习）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示：
第天 1 3 10 30
日销售量（百件） 2 3
未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）.
(1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；
(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.
【答案】(1)选择函数模型①，其解析式为（且为整数）
(2)这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析
【分析】（1）将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可；
（2）记日销售利润为，根据一次函数与二次函数的单调性分析的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可
（1）若选择模型（1），将以及代入可得
解得，即，经验证，符合题意；
若选择模型（2），将以及代入可得，
解得，即，
当时，，故此函数模型不符题意，
因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数）
（2）记日销售利润为，当且为整数时，，对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元）当且为整数时，，当时，利润单调递减，故当时取得最大值，且最大值为（百元）所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.
【变式5-1】4．（2022·全国·高一课时练习）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
/个 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①，②，③，④．
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入（元）的最小值．
【答案】(1)(2)选②，
(3)121元．
【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，代入即可得解；
（2）根据所给数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，再代入题表数据即可得解；
（3）由（2）可得
分类讨论求最小值即可.
（1）由题意得，解得．
（2）由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，即．
由题表可得，，即解得
故．
（3）由（2）知
∴
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，取得最小值，且；当时，是单调递减的，∴当时，取得最小值，且．
综上所述，当时，取得最小值，且．
故该商品的日销售收入的最小值为121元．
【变式5-1】5．（2022·全国·高一课时练习）已知某船舶每小时航行所需费用u（单位：元）与航行速度（单位：千米/时）的函数关系为（其中a，b，k为常数），函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若该船舶需匀速航行20千米，问船舶的航行速度v为多少时，航行所需费用最少.最少的费用为多少？
【答案】(1)
(2)当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元．
【解析】（1）将，分别代入得解得把代入，得，解得．
所以
（2）航行时间小时，所需费用设为元，则
①当时，函数单调递减，所以；
②当时，，当且仅当，
即时，等号成立．由知，时，航行所需费用最小.
所以以当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元．