专题3.1.2函数的单调性
常考题型目录
题型1 单调性概念的理解 6
类型1 单调性基础概念的理解 6
类型2 基本初等函数单调性的判断 6
题型2 函数的单调性与单调区间 7
类型1 定义法判断函数的单调性 7
类型2 图像法求解函数的单调区间 8
类型3 性质法确定函数的单调性 9
类型4 复合函数的单调性 9
类型5 抽象函数的单调性问题—赋值法 11
题型3 根据单调性求参数的范围问题 11
类型1 简单函数的单调性求参数 11
类型2 分段函数单调性求参 12
题型4 利用函数的单调性解不等式 13
题型5 利用函数的单调性比较大小 15
题型6 恒成立问题 16
题型7 存在成立问题 16
题型8 新定义 17
知识梳理：
知识点一.单调函数的定义
增函数 减函数
定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
知识点二.单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D 定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三.函数单调性的等价结论
单调性定义的等价形式:
函数f(x)在区间[a,b]上是增函数：
任取x1,x2∈[a,b],且x1任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有;
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有.
函数f(x)在区间[a,b]上是减函数：
任取x1,x2∈[a,b],且x10;
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有;
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有
（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
（4）复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
（5）对勾函数（耐克函数）
形如（，且为常数）
在和上为增函数，在和上为减函数.
对勾函数有两条渐近线：一条是轴（，图象无限接近于轴，但不相交），
另一条是直线（当趋近于无穷大时，趋近于0，趋近于，因为，所以）.
注意：对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性
1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.
2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.
3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.
4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到)
(5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.
易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结.
知识点四.函数最值
（1）概念
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值
（2）求函数最值的5种常用方法
单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值
图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不 等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法 先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
知识点五.常见的基本初等函数单调性：
函数 单调性
一次函数 当时，在R上单调递增； 当时，在R上单调递减.
反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增.
二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.
知识点六.单调性性质
利用单调函数的运算性质，可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
增函数 增函数 增函数 不能确定单调性
增函数 减函数 不能确定单调性 增函数
减函数 增函数 不能确定单调性 减函数
减函数 减函数 减函数 不能确定单调性
（1）↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
题型分类
题型1 单调性概念的理解
类型1 单调性基础概念的理解
【例题1-1】函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)f(5) D．f(3)≥f(5)
【变式1-1】1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
【变式1-1】2．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)类型2 基本初等函数单调性的判断
【例题1-2】下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝－|x＋1|
【变式1-2】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】2.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A． B． C．D．
类型3 函数单调性的等价概念
【例题1-3】对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则函数f(x)在区间D上是 .(填写单调递增、单调递减或非单调)
【变式1-3】1.如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( )
A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x10
【变式1-3】2．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有，则( )
A．f(3)C．f(2)【变式1-3】3．（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数___________.
题型2 函数的单调性与单调区间
【方法总结】判断函数单调性的基本方法：
1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.
2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.
3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.
类型1 定义法判断函数的单调性
【方法总结】用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2
②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
【例题2-1】求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
【变式2-1】1.求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数．
【变式2-1】2．已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
【变式2-1】3.根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．
类型2 图像法求解函数的单调区间
方法总结： (1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
【例题2-2】如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
【变式2-2】1.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
【变式2-2】2．函数y＝的减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
【变式2-2】3.函数y＝的单调递减区间是________．
【变式2-2】4．（2022·全国·高一单元测试）函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】1．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________．
【变式2-3】2.作出函数的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
【变式2-3】3.（2022·四川·仁寿一中高一开学考试）已知函数，则（ ）
A． B．若，则或
C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为
【变式2-4】1.画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
【变式2-4】2.函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
类型3 性质法确定函数的单调性
【例题2-5】设 、 都是单调函数，有如下四个命题
①若 单调递增， 单调递增，则 单调递增；
②若 单调递增， 单调递减，则 单调递增；
③若 单调递减， 单调递增，则 单调递减；
④若 单调递减， 单调递减，则 单调递减．
其中，正确的命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
类型4 复合函数的单调性
设y＝f(t)是t的函数，t＝g(x)是x的函数，若t＝g(x)的值域是y＝f(t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作y＝f(t)＝f[g(x)]．
对于复合函数，其单调性如下表所示，简记为“同增异减”:
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
确定复合函数单调性的步骤:
（1）求出复合函数的定义域；
（2）分解复合函数为几个基本初等函数；
（3）判断每一个分解函数的单调性；
（4）根据复合函数单调性的确定方法确定函数的单调性.
注意：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性．
【例题2-6】（2022·全国·高一课时练习）（多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为
C．最大值为2 D．没有最小值
【变式2-6】1．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．单调递增区间是 B．单调递减区间是
C．最大值为2 D．没有最小值
【变式2-6】2.求y的单调区间．
【变式2-6】3.求函数y的单调区间：
【变式2-6】4.已知函数，，试求的单调区间.
类型5 抽象函数的单调性问题—赋值法
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.
判断抽象函数单调性的方法:
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为:
或；
②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为:
或.
【例题2-7】已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．
【变式2-7】1.已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0【变式2-7】2.已知函数对任意，∈R，总有，且当时，，求证：是R上的单调减函数．
题型3 根据单调性求参数的范围问题
类型1 简单函数的单调性求参数
【例题3-1】函数在上是减函数．则m的范围是 。
【变式3-1】1. 的单调递增区间为 ，求 的取值范围________。
【变式3-1】2．（2022·全国·高一专题练习）函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.
【变式3-1】3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上是减函数，则实数k的取值范围是______．
【变式3-1】4．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
【变式3-2】1．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0
【变式3-2】2．（2022·全国·高一单元测试）若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【变式3-2】3.若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【变式3-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
【变式3-4】已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
类型2 分段函数单调性求参
【例题3-5】（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）函数在上是增函数，则a的取值范围为________．
【变式3-5】1．（2022·全国·高一）已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.
【变式3-5】2．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
【变式3-5】3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-5】4．（2022·江苏·高一单元测试）“”是函数“是定义在上的增函数”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-6】（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型4 利用函数的单调性解不等式
方法总结：
若在区间上递增且
若在区间上递减且
注意：首先确定函数的定义域，然后根据单调性去符号“”；若为增函数，去掉“”不变号；若为减函数，去掉“”要变号。
【例题4】（2022·全国·高一课时练习）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】1.（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）函数在R上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】1．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
【变式4-2】2.（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】1．（2022·全国·高一专题练习）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】2．（2022·全国·高一课时练习）若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型5 利用函数的单调性比较大小
若在区间上递增且
若在区间上递减且
【例题5-1】已知函数，试比较，，的大小关系。
【变式5-1】1.设，函数的图象关于直线对称，则、、
【变式5-1】2．（2022·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】4.已知函数是定义在区间上的增函数，当时，试比较、的大小关系。
【变式5-1】5.已知函数的定义域为R，且在上是减函数，试比较、的大小关系。
题型6 恒成立问题
【例题6-1】（2022·全国·高一课时练习）若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．
【变式6-1】1．（2022·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．
【变式6-1】2．（2022·全国·高一课时练习）已知，函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围是______．
【变式6-1】3．（2022·江苏·高一单元测试）定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______．
题型7 存在成立问题
【例题7-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，对，，使成立，则实数a的取值范围是___________.
【变式7-1】1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】2．（2022·全国·高一单元测试）已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______.
【变式7-1】3．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，若，使不等式成立，则实数的取值范围为______．
【变式7-1】4．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，若，，使得，则的取值范围是______．
题型8 新定义
【例题8】（2022·江苏省如皋中学高一期末）解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数 以下结论错误的是（ ）
A． B．函数不是周期函数
C． D．函数在上不是单调函数
【变式8-1】1．（2022·全国·高一单元测试）（多选）设函数的定义域为D，若对任意的，，都有，则称满足“L条件”，则下列函数不满足“L条件”的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式8-1】2．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数和的零点所构成的集合分别为M，N，若存在，，使得，则称与互为“零点伴侣”．若函数与互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-1】3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（ ）
A．若为“函数”，则
B．若为“函数”，则一定是增函数
C．函数在上是“函数”
D．函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数）
【变式8-1】4．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】5．（2022·全国·高一单元测试）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B．
C． D．专题3.1.2函数的单调性
常考题型目录
题型1 单调性概念的理解 6
类型1 单调性基础概念的理解 6
类型2 基本初等函数单调性的判断 6
类型3 函数单调性的等价概念 7
题型2 函数的单调性与单调区间 8
类型1 定义法判断函数的单调性 9
类型2 图像法求解函数的单调区间 10
类型3 性质法确定函数的单调性 14
类型4 复合函数的单调性 15
类型5 抽象函数的单调性问题—赋值法 18
题型3 根据单调性求参数的范围问题 19
类型1 简单函数的单调性求参数 19
类型2 分段函数单调性求参 22
题型4 利用函数的单调性解不等式 25
题型5 利用函数的单调性比较大小 28
题型6 恒成立问题 30
题型7 存在成立问题 32
题型8 新定义 35
知识梳理：
知识点一.单调函数的定义
增函数 减函数
定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
知识点二.单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D 定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三.函数单调性的等价结论
单调性定义的等价形式:
函数f(x)在区间[a,b]上是增函数：
任取x1,x2∈[a,b],且x1任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有;
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有.
函数f(x)在区间[a,b]上是减函数：
任取x1,x2∈[a,b],且x10;
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有;
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有
（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
（4）复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
（5）对勾函数（耐克函数）
形如（，且为常数）
在和上为增函数，在和上为减函数.
对勾函数有两条渐近线：一条是轴（，图象无限接近于轴，但不相交），
另一条是直线（当趋近于无穷大时，趋近于0，趋近于，因为，所以）.
注意：对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性
1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.
2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.
3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.
4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到)
(5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.
易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结.
知识点四.函数最值
（1）概念
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值
（2）求函数最值的5种常用方法
单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值
图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不 等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法 先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
知识点五.常见的基本初等函数单调性：
函数 单调性
一次函数 当时，在R上单调递增； 当时，在R上单调递减.
反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增.
二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.
知识点六.单调性性质
利用单调函数的运算性质，可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
增函数 增函数 增函数 不能确定单调性
增函数 减函数 不能确定单调性 增函数
减函数 增函数 不能确定单调性 减函数
减函数 减函数 减函数 不能确定单调性
（1）↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
题型分类
题型1 单调性概念的理解
类型1 单调性基础概念的理解
【例题1-1】函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)f(5) D．f(3)≥f(5)
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．
【变式1-1】1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
【答案】 D
【解析】 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，
在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
【变式1-1】2．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)【答案】 D
【解析】 因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)类型2 基本初等函数单调性的判断
【例题1-2】下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝－|x＋1|
【答案】 B
【解析】 y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．
【变式1-2】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】画出各选项的函数图像，利用函数的图象来研究函数的单调性判断即可.
【详解】画出函数图象如图所示，
由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调．
故选:AD．
【变式1-2】2.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】C【解析】函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．
类型3 函数单调性的等价概念
【例题1-3】对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则函数f(x)在区间D上是 .(填写单调递增、单调递减或非单调)
【答案】单调递减
【变式1-3】1.如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( )
A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x10
【答案】C
【解析】因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1【变式1-3】2．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有，则( )
A．f(3)C．f(2)【答案】 A
【解析】 对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，
则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)【变式1-3】3．（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意可得函数在为减函数，且再写出即可.
【详解】因为对任意，都有，所以函数在上减函数.又，故函数可以为.（注：满足题目条件的函数表达式均可.）
故答案为：（答案不唯一）
题型2 函数的单调性与单调区间
【方法总结】判断函数单调性的基本方法：
1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.
2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.
3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.
类型1 定义法判断函数的单调性
【方法总结】用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2
②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
【例题2-1】求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
证明: 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1∵x10，x1＋x2<0，xx>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝.∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
【变式2-1】1.求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数．
【证明】设x1，x2是[1，＋∞)上的任意实数，且x1Δy＝f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)().∵1≤x10，故(x1－x2)()<0，即 Δy＝f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数．
【变式2-1】2．已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1因为x2>x1>－1，所以x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，因此f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
【变式2-1】3.根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．
【解析】当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，
当a≠0时，设x1，x2为(－1,1)上的任意两个数，且x1所以f(x1)－f(x2)＝－＝＝
因为x1，x2∈(－1,1)且x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以>0，当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(－1,1)上单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；
当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．
反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
类型2 图像法求解函数的单调区间
方法总结： (1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
【例题2-2】如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
【答案】C
【解析】 单调区间不能用“∪”连接．
【变式2-2】1.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
【解析】y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
【变式2-2】2．函数y＝的减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
【答案】 C
【变式2-2】3.函数y＝的单调递减区间是________．
【答案】 (－∞，1)，(1，＋∞)
【解析】 方法一 y＝的图象可由y＝的图象向右平移一个单位得到，如图，
所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
方法二 函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
【变式2-2】4．（2022·全国·高一单元测试）函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间.
【详解】
的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到， 如下图
的单调增区间是．
故选：C.
【变式2-3】1．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________．
【答案】 (－∞，1)
【解析】 当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．
【变式2-3】2.作出函数的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
【解析】的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．
【变式2-3】3.（2022·四川·仁寿一中高一开学考试）已知函数，则（ ）
A． B．若，则或
C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为
【答案】BD
【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可
【详解】函数的图象如左图所示．
，故A错误；当时，，此时方程无解；当时， 或，故B正确；由图象可得，在上单调递增，故C错误；由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．故选：BD．
【变式2-4】1.画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
【解析】 y＝
即y＝的图象如图所示，
单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
【变式2-4】2.函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
【解】 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
类型3 性质法确定函数的单调性
【例题2-5】设 、 都是单调函数，有如下四个命题
①若 单调递增， 单调递增，则 单调递增；
②若 单调递增， 单调递减，则 单调递增；
③若 单调递减， 单调递增，则 单调递减；
④若 单调递减， 单调递减，则 单调递减．
其中，正确的命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【解析】 当 是单调增函数时， 是单调减函数， 是单调减函数时， 是单调增函数， 根据两个单调增函数相加是增函数，两个单调减函数相加是减函数这一原理，易知 ② ③ 正确．
类型4 复合函数的单调性
设y＝f(t)是t的函数，t＝g(x)是x的函数，若t＝g(x)的值域是y＝f(t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作y＝f(t)＝f[g(x)]．
对于复合函数，其单调性如下表所示，简记为“同增异减”:
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
确定复合函数单调性的步骤:
（1）求出复合函数的定义域；
（2）分解复合函数为几个基本初等函数；
（3）判断每一个分解函数的单调性；
（4）根据复合函数单调性的确定方法确定函数的单调性.
注意：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性．
【例题2-6】（2022·全国·高一课时练习）（多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为
C．最大值为2 D．没有最小值
【答案】ABC
【分析】先求出函数定义域，令，根据二次函数的性质，由已知解析式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】由得，即函数的定义域为，
令，则的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故A，B正确；，当x＝－3时，，当x＝1时，，则，故C正确，D错误.故选：ABC.
【变式2-6】1．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．单调递增区间是 B．单调递减区间是
C．最大值为2 D．没有最小值
【答案】AC
【分析】先求的定义域排除选项B，再利用一元二次函数的性质与复合函数的单调性求得的单调性，进而求其最值.
【详解】要使函数有意义，则，得，故B错误；
函数由与复合而成，当时，单调递增，当时，单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故,又，所以，故A，C正确，D错误．故选：AC.
【变式2-6】2.求y的单调区间．
【答案】递增区间为（5，+∞），[2，5），递减区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，2]．
【解析】设t＝x2﹣4x﹣5，由t＝x2﹣4x﹣5≠0，解得x≠﹣1且x≠5，则由t＝x2﹣4x﹣5＞0得x＞5或x＜﹣1，
当x＞5时，或2≤x＜5时，函数t＝x2﹣4x﹣5单调递增，此时y单调递减，根据复合函数的单调性之间的关系可知，此时y单调递减．当x＜﹣1或﹣1＜x≤2时，函数t＝x2﹣4x﹣5单调递减，此时y单调递减，根据复合函数的单调性之间的关系可知，此时y单调递增．故函数的递增区间为（5，+∞），[2，5），递减区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，2]．
【变式2-6】3.求函数y的单调区间：
【答案】增区间为（﹣1，1），减区间为（﹣3，﹣1）【解析】设t＝3﹣2x﹣x2（﹣3＜x＜1），则y在（0，+∞）递减，由t在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，
可得函数y的增区间为（﹣1，1），减区间为（﹣3，﹣1）；
【变式2-6】4.已知函数，，试求的单调区间.
【答案】单调递增区间为和；单调递减区间为和.
【解析】令，则.在上单调递减，在上单调递增由≥1得:≤或≥2；由≤1得:≤≤2函数在上单调递增，在上单调递∴函数的单调递增区间为和；单调递减区间为和.
类型5 抽象函数的单调性问题—赋值法
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.
判断抽象函数单调性的方法:
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为:
或；
②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为:
或.
【例题2-7】已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．
【证明】法一：设x1，x2是实数集R上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，
则x＝x1－x2>0.
Δy＝f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)在R上是增函数．
法二:设x1>x2，则x1－x2>0，从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，故f(x)在R上是增函数．
【变式2-7】1.已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0【证明】∵对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)，
∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，∴f(x)＝＞1.∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x10，∴0【变式2-7】2.已知函数对任意，∈R，总有，且当时，，求证：是R上的单调减函数．
【解析】证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x10，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)题型3 根据单调性求参数的范围问题
类型1 简单函数的单调性求参数
【例题3-1】函数在上是减函数．则m的范围是 。
【答案】【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，
【变式3-1】1. 的单调递增区间为 ，求 的取值范围________。
【答案】【解析】注意题目中，单调递增区间为 因为，开口向上，对称轴为 ，单调递增区间为 若 的单调递增区间为 所以 所以 所以
【变式3-1】2．（2022·全国·高一专题练习）函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用二次函数的性质即得.
【详解】根据题意，函数为二次函数，其对称轴为，
若在区间上是单调函数，则有或，解可得：或，即的取值范围为.故答案为：.
【变式3-1】3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上是减函数，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据函数在区间上是减函数，结合二次函数对称轴公式，列出不等式即可.
【详解】因为函数的对称轴为直线，开口向上，又函数在上单调递减，所以，解得，即．故答案为:.
【变式3-1】4．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
【答案】 [－3,0]
【解析】 ①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，∴a＝0满足条件；
②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1，对称轴为x＝－，∴解得－3≤a<0.
由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3,0]．
【变式3-2】1．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0
【答案】 A
【解析】 因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.
【变式3-2】2．（2022·全国·高一单元测试）若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】把函数解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数的和的形式，由函数在为增函数得出，从而得到实数的取值范围．
【详解】解：函数，由复合函数的增减性可知，若在为增函数，，，故答案为：．
【变式3-2】3.若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，3)【解析】f(x)＝＝＝1＋，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a－3<0，解得a<3.
【变式3-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
【答案】
【分析】去绝对值将转化为分段函数，再根据单调性求解a的值即可.
【详解】因为函数，故当时，单调递减，当时，单调递增.因为函数的增区间是，所以，所以.故答案为：.
【变式3-4】已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
【解析】设11.因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)<0.因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，所以－x1x2<－1，所以a≥－1.所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
类型2 分段函数单调性求参
【例题3-5】（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）函数在上是增函数，则a的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.
【详解】解：因为函数在上是增函数，
所以当时，为增函数，则，解得，
当时，为增函数，则，且，解得，
综上，a的取值范围为.故答案为：.
【变式3-5】1．（2022·全国·高一）已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.
【答案】##
【分析】根据单调性的定义可知，函数在上递减，即可利用分段函数的性质解出．
【详解】不妨设，所以由可得：，
所以函数在上递减，故，解得：．故答案为：．
【变式3-5】2．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
【答案】 [4,8)
【解析】 因为f(x)是R上的增函数，所以解得4≤a<8.
【变式3-5】3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.
【详解】由题意，解得，故选：B
【变式3-5】4．（2022·江苏·高一单元测试）“”是函数“是定义在上的增函数”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分段函数若在上单调递增，则要求每一段是增函数，且在临界点处“左低右高”.
【详解】若是定义在上的增函数，
则有，解得，
所以“”是函数“是定义在上的增函数”的充分必要条件.故选：C.
【变式3-6】（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用换元法以及复合函数的单调性的法则进行处理.
【详解】当a=0时，，不符合题意.
当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.
当a<0时，在区间上为增函数，要使函数在上单调递减，则，解得a<0.
综上，a的取值范围为.故B，C，D错误.
故选：A.
题型4 利用函数的单调性解不等式
方法总结：
若在区间上递增且
若在区间上递减且
注意：首先确定函数的定义域，然后根据单调性去符号“”；若为增函数，去掉“”不变号；若为减函数，去掉“”要变号。
【例题4】（2022·全国·高一课时练习）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果.
【详解】在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.故选：C.
【变式4-1】1.（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）函数在R上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】使用函数单调性的定义进行求解.
【详解】∵函数在R上是减函数，且，∴由函数单调性的定义可知，，解得，∴实数的取值范围是．故选：A．
【变式4-1】2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得到答案.
【详解】解：由题意，在上单调递减.则由可得，解得，即原不等式的解集为.故选：B.
【变式4-2】1．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
【答案】 A
【解析】 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a) 4－a>a，解得a<2.
【变式4-2】2.（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先画出图象，结合图象得到或，解不等式即可.
【详解】
画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，
由可得；由可得，综上可得.
故选：C.
【变式4-3】1．（2022·全国·高一专题练习）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得在上单调递减，根据偶函数的性质可得在上单调递增，再根据，即可得到的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；
【详解】解：因为函数满足对任意的，有，
即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，函数的大致图像可如下所示：
所以当时，当或时，
则不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；
故选：C
【变式4-3】2．（2022·全国·高一课时练习）若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可.
【分析】因为函数在R单调递增，且，所以当时，，
不等式可化为，所以，当时，，不等式可化为，所以满足条件的不存在，当时，，不满足关系，
所以满足的x的取值范围是，故选：D.
题型5 利用函数的单调性比较大小
若在区间上递增且
若在区间上递减且
【例题5-1】已知函数，试比较，，的大小关系。
【解析】∵在R 上单调递增，且∴
【变式5-1】1.设，函数的图象关于直线对称，则、、
【解析】当且二次函数关于对称，则函数在上单调递增，则<<
【变式5-1】2．（2022·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由增函数的定义知，在上是增函数，即可得出的大小.
【详解】由可得函数在上是增函数，
所以.故选：D.
【变式5-1】3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可.
【详解】因为，所以，因此，即，
所以在上单调递减，又因为，所以，又因为，所以，
所以．故选：B．
【变式5-1】4.已知函数是定义在区间上的增函数，当时，试比较、的大小关系。
【答案】<【解析】用作差法判断与的大小关系：
故又是定义在区间上的增函数，则<
【变式5-1】5.已知函数的定义域为R，且在上是减函数，试比较、的大小关系。
【答案】【解析】用作差法判断与的大小关系：故又是定义在区间上的减函数，则
题型6 恒成立问题
【例题6-1】（2022·全国·高一课时练习）若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用参变分离法将不等式转化为，令，将不等式恒成立问题转化为成立，求解函数的最大值.
【详解】解：因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，令，可知成立，当，函数单调递减，所以，所以.故答案为：.
【变式6-1】1．（2022·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】变形给定的不等式，构造二次函数，利用二次函数在闭区间上的最大值不大于0求解作答.
【详解】，，
令，，依题意，，，
而函数是二次项系数为正的二次函数，因此有，即，解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：
【变式6-1】2．（2022·全国·高一课时练习）已知，函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意转化为时，恒成立，及时，恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，
当时，，只需恒成立，
即恒成立，因为时，的最大值为，所以；
当时，，只需恒成立，
即恒成立，因为时，的最小值为2，所以．故a的取值范围为．故答案为：．
【变式6-1】3．（2022·江苏·高一单元测试）定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】对不等式进行变形得到在上恒成立，求出函数的范围，从而得到的取值范围.
【详解】等价于，即在上恒成立，当时，记，
，．故答案为：
题型7 存在成立问题
【例题7-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，对，，使成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意可知的值域是值域的子集，所以分别求出两函数的值域，列不等式组可求得答案.
【详解】函数图象的对称轴为直线x=2，所以在上单调递减，则在上的值域为.因为在上单调递增，
所以在上的值域为.由题意，可得，即，解得.故答案为：
【变式7-1】1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复合函数的定义域求得集合，记，问题转化为求在时的最小值，从而得参数范围．
【详解】∵的定义域为，∴，，则．令，，使得成立，即大于在上的最小值．∵，∴在上的最小值为，∴实数的取值范围是．故选：C．
【变式7-1】2．（2022·全国·高一单元测试）已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______.
【答案】
【分析】依题意可得存在，使得，即在上有解，即在上有解，再根据二次函数的性质分类讨论，分别计算可得.
【详解】解：依题意显然，
因为对任意，总存在，使得，
所以存在，使得，
故在上有解，即在上有解.
设，其图象的对称轴为，
若，即，则此时，故不成立；
若，即，此时需在上，即，
故，解得.故答案为：
【变式7-1】3．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，若，使不等式成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】令，则若，使不等式成立等价于在，上有，
易知，讨论与0的大小关系，则可得到在上的单调性，则可得到，即可解出实数的取值范围.
【详解】令，则问题可转化为在，上有，
易知在上单调递增，故，
①当时，在上单调递增，则，
所以，可得；
②当时，则，符合题意；
③当时，在上单调递减，则，
所以，可得．
综上所述，．
故答案为：.
【变式7-1】4．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，若，，使得，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据恒成立和能成立问题处理思路，只需即可，然后求在的最大值，求在的最大值，代入解不等式即可得答案.
【详解】，设，∵，∴，
∵在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，∴在上的最大值为5，
又在上的最大值是或，
由的开口向上，对称轴为，可得，
，整理得，解得即，
或，整理得，解得，
所以
故答案为：．
题型8 新定义
【例题8】（2022·江苏省如皋中学高一期末）解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数 以下结论错误的是（ ）
A． B．函数不是周期函数
C． D．函数在上不是单调函数
【答案】B
【分析】根据狄利克雷函数的定义逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，对于任意非零有理数，若为任意有理数，则也为有理数，所以，若为任意无理数，则也为无理数，所以，所以任意非零有理数，为实数，都有，所以有理数为函数的周期，所以B错误，
对于C，当为有理数时，，当为无理数时，，所以，所以C正确，
对于D，对于任意，且，若都为有理数或都为无理数，则，若为有理数，为无理数，则，若为无理数，为有理数，则，所以函数在上不是单调函数，所以D正确，故选：B
【变式8-1】1．（2022·全国·高一单元测试）（多选）设函数的定义域为D，若对任意的，，都有，则称满足“L条件”，则下列函数不满足“L条件”的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【分析】根据“L条件”的定义对选项逐一分析，结合特殊值法、函数的单调性、最值等知识确定正确选项.
【详解】由定义知函数的最大值与最小值差的绝对值小于1.
选项A，，，取，，
则，不满足“L条件”；
选项B，，，
任取，，
其中，
当时，，
递减；
当时，，
递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，最大值为，
所以对任意的，，都有，
所以，满足“L条件”；
选项C，在上单调递减，在上单调递增，，
，，
所以的最大值为，最小值为，，
所以，不满足“L条件”；
选项D，函数在上单调递增，显然不满足“L条件”. 故选：ACD
【变式8-1】2．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数和的零点所构成的集合分别为M，N，若存在，，使得，则称与互为“零点伴侣”．若函数与互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AD
【分析】首先确定函数的零点，然后结合新定义的知识得到关于a的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数的取值范围即可.
【详解】因为函数是R上的增函数，且，所以，结合“零点伴侣”的定义得，则，
又函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根，
整理得 ，
令，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，又，，，所以函数的值域为，
所以实数a的取值范围是．故选：AD．
【变式8-1】3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（ ）
A．若为“函数”，则
B．若为“函数”，则一定是增函数
C．函数在上是“函数”
D．函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数）
【答案】BC
【分析】对于A，由条件（1）得.由条件（2），得，所以，故A说法正确；对于B，举反例说明B说法错误；对于C，举反例说明C说法错误；对于D，说明函数符合条件（1）（2），故D说法正确.
【详解】对于A，若函数为“函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确；
对于B，若，，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法错误；
对于C，当，时，，，，，不满足条件（2），所以不是“函数”，故C说法错误；
对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“函数”，故D说法正确.故选：BC.
【变式8-1】4．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可.
【详解】对于A，，由于，所以，
所以，故不存在正数M，使得成立.
对于B，令，则，，当时，u取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立.
对于C，令，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立.
对于D，令，则，，则，易得，所以，故不存在正数M，使得成立.
故选：BC
【变式8-1】5．（2022·全国·高一单元测试）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.
【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
故选：ABD．
