3.2.3函数的奇偶性
常考题型目录
题型1 判断函数的奇偶性 3
类型1 定义法判断函数奇偶性 3
类型2 图像法的奇偶性 6
类型3 性质法判断函数的奇偶性 7
题型2 奇偶性概念的理解 9
题型3 奇偶性运用1---求解析式 13
类型1 求对称区间上的解析式 13
类型2 构造方程组求解析式 14
题型4 奇偶性运用2--求值 15
类型1 解析式未知 15
类型2解析式已知 16
题型5 奇偶性运用2---求参数 17
类型1 解析式已知 17
类型2 已知部分解析式 19
类型3 奇函数+常数求值题型 19
类型4 求函数解析式 21
题型6 单调性与奇偶性的运用3--解不等式 21
类型1 抽象不等式 22
类型2 已知函数解析式 25
题型7 利用奇偶性比较大小 26
题型8 奇、偶函数图象的应用 27
题型9 综合题汇总 30
知识梳理：
知识点一、函数奇偶性的定义：
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I
结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立．
(3)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数 f(-x)＝-f(x) f(-x)＋f(x)＝0 ＝-1.
②f(x)为偶函数 f(-x)＝f(x) f(-x)-f(x)＝0 ＝1.
知识点二.判断函数奇偶性的方法
1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．
2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．
3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0.
4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
总结：奇±奇=奇 偶±偶=偶奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
知识点三.函数奇偶性的常用结论
1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
注意：
1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(-x)＝-f(x)，而不能说存在x0，使f(-x0)＝-f(x0)．同样偶函数也是如此．
若奇函数的定义域包括，则．（3）若函数是偶函数，则．
题型分类
题型1 判断函数的奇偶性
类型1 定义法判断函数奇偶性
【例题1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝
【解析】(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝即f(－x)＝于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法：
(2)图象法：
【变式1-1】1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝；④f(x)＝x＋；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．
【答案】②③
【解析】对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数；对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]
【变式1-1】2．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是非奇非偶函数
【答案】BC
【分析】判断函数的奇偶性应先求函数的定义域，若定义域不关于“0”对称，则函数非奇非偶；
若定义域关于“0”对称，再看与是相等还是互为相反数，确定函数的奇偶性.
【详解】对于A，由且，得，
则的定义域不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数，故A错误;
对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，，
，
当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;
对于C，由且，得，即，
的定义域关于原点对称，此时，
所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;
对于D，由且，得且x≠0，
的定义域关于原点对称，因为，
，所以函数为奇函数，故D错误.
故选:BC.
【变式1-1】3．函数f(x)＝的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．
【答案】 [－2,0)∪(0,2] 奇
【解析】 依题意有解得－2≤x≤2且x≠0，∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f(x)＝＝＝－，定义域关于原点对称，∴f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
【变式1-1】4.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
【答案】B
【解析】F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，得F(x)是偶函数.
类型2 图像法的奇偶性
判断分段函数的奇偶性，可以用定义法，也可以用图象法.
【定义法】必须验证在每一段内都有或成立，而不能只验证一段解析式。在判断时，要特别注意与的范围，然后选择合适的解析式代入.
【例题1-2】下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
【答案】 B
【变式1-2】1.函数f(x)＝为________函数．(填“奇”或“偶”)
【答案】 奇
【解析】 f(x)的定义域为R(关于原点对称)．(1)当x＝0时，-x＝0，f(-x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，∴f(-x)＝-f(x)；(2)当x>0时，-x<0，∴f(-x)＝-(-x)2-2(-x)-3＝-(x2-2x＋3)＝-f(x)；(3)当x<0时，-x>0，∴f(-x)＝(-x)2-2(-x)＋3＝-(-x2-2x-3)＝-f(x)．由(1)(2)(3)可知，当x∈R时，都有f(-x)＝-f(x)，∴f(x)为奇函数．
【变式1-2】2.判断f(x)＝的奇偶性。
【解析】 显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，-x>0，则f(-x)＝-(-x)2-x＝-x2-x＝-f(x)；当x>0时，-x<0，则f(-x)＝(-x)2-x＝x2-x＝-f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(-x)＝-f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
类型3 性质法判断函数的奇偶性
【例题1-3】f(x)＝x2＋|x|( )
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
【答案】 D
【变式1-3】1.如果是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )
B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x).对于A，g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x)，所以y=x+f(x)是奇函数.对于B，g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，所以y=xf(x)是偶函数.对于C，g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x)，所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数，对于D，g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x)，所以y=x2f(x)是奇函数.故选B.
【变式1-3】2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【答案】 A
【解析】 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
【变式1-3】3．（2022·全国·高一课时练习）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为上的奇函数 B．为上的奇函数
C．为上的偶函数 D．为上的偶函数
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性定义逐项判断可得答案.
【详解】因为为上的奇函数，为上的偶函数，
所以，，
对于A， ，设，则，故错误；
对于B， ，设，则，故错误；
对于C， ，，设，，故错误；
对于D，， 设， ，所以为偶函数，故正确. 故选：D.
【变式1-3】4．（2022·全国·高一课时练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【分析】由奇函数和偶函数的定义依次判断即可.
【详解】A选项：设，，则为偶函数，A错误；
B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误；
C选项：设，则，则为奇函数，C正确；
D选项：设，则，则为偶函数，D错误．故选：C.
题型2 奇偶性概念的理解
【例题2】（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
【答案】B
【分析】利用奇函数、偶函数定义，举出函数实例，逐项分析判断作答.
【详解】奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；
定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，
如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误．故选：B
【变式2-1】1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．奇函数的图象关于原点对称，且
B．偶函数的图象关于y轴对称，且
C．存在既是奇函数又是偶函数的函数
D．奇 偶函数的定义域可以不关于原点对称
【答案】C
【分析】根据奇偶性的定义判断．
【详解】奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x=0时有意义，比如，A错误；
偶函数的图象关于y轴对称，但不一定等于0，如，B错误；
函数y=0既是奇函数又是偶函数，C正确；
奇 偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误.故选：C.
【变式2-1】2．（2022·河南安阳·高一期末）对于函数，，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由函数奇偶性的定义求出的解析式，可得出结论.
【详解】若函数的定义域为，的图象既关于原点对称又关于轴对称，
则，可得，因此，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的充要条件．故选：C.
【变式2-1】3．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．奇函数的图像关于坐标原点对称 B．图像关于轴对称的函数是偶函数
C．奇函数一定满足 D．偶函数的图像不一定与轴相交
【答案】C
【分析】由奇偶函数的性质知A，B正确；对于C可举反例说明C错误；对于D，亦可举例说明偶函数的图像不一定与轴相交，得到D正确.
【详解】根据奇偶函数的性质知A，B正确；
对于C，如，，易得函数是奇函数，但它的图像不过原点，故C错误；
对于D，如，，易得函数是偶函数，但它的图像不与y轴相交，故D正确．故选：C．
【变式2-1】4．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）关于函数的性质，有如下说法：
①若函数的定义域为，则一定是偶函数；
②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；
③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；
④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.其中正确说法的序号有___________.
【答案】①③④
【分析】对于①，根据奇偶性的定义，可得答案；
对于②，根据单调性的定义，可得答案；
对于③，根据奇偶性的性质和图象变换，可得答案；
对于④，根据奇偶性的定义和单调性的性质，化简不等式，可得答案.
【详解】对于①，由题意，的定义域为，，所以为偶函数，故①正确；
对于②，由题意，，，则，
即，由于与零的大小无法确定，故错误；
对于③，由题意，函数的图象关于原点对称，而的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，由原点向右平移个单位得到，故正确；
对于④，为偶函数，，则，即，由在上单调递增，则，
，解得，故正确；故答案为：①③④.
【变式2-1】5．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）已知函数的定义域是，对任意，都有：，且当时，．给出结论：
①是偶函数；
②是奇函数；
③在上是增函数；
④在上是减函数．
则正确结论的序号是________．
【答案】①③
【分析】先赋特殊值和，得，再令可判断函数的奇偶性；再结合已知条件，函数单调性的定义判断函数的单调性即可．
【详解】解：先探究函数的奇偶性：
∵对任意，都有：
∴令，有，即；
令，有，即，解得；
∴令，有，即，
∴为偶函数．故①正确，②错误；
再探究函数在上上的单调性：
令，则；
∵ ，且当时，，
∴ ，
∴ ，即函数在上单调递增，故③正确，④错误；
故答案为：①③．
题型3 奇偶性运用1---求解析式
利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:
（1）“求谁设谁”，即求函数在哪个区间上的解析式，就设在哪个区间上;
（2）利用已知区间的函数解析式进行化简，得到的解析式;
（3）利用函数的奇偶性写出或，即可得到函数的解析式.
注意:若是R上的奇函数时，不要遗漏的情形.
类型1 求对称区间上的解析式
【例题3-1】已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
【答案】 －x＋1
【解析】 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
【变式3-1】1.函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
【解析】设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.
反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
【变式3-1】2.（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）定义在R上的奇函数，满足当时，．当时的表示式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据当时奇函数满足，结合奇函数在R上满足求解即可
【详解】因为是定义在R上的奇函数，故，又当时，，故，故
故选：C
【变式3-1】3.已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
【解析】 因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．
f(0)＝0.所以f(x)＝
类型2 构造方程组求解析式
【例题3-2】设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
【解析】∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝.
反思感悟 f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
【变式3-2】1.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
【解析】 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
【变式3-2】2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】 C
【解析】 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
题型4 奇偶性运用2--求值
1、常用结论：
（1）若函数为奇函数，（为常数），则
（2）若函数为奇函数，则在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，即.
（3）若函数为奇函数，（为常数），则.
2、利用奇偶性求函数值的思路：
（1）已知求：判断的奇偶性与构造已知就行的函数，利用奇偶性找出与的关系即可；
（2）已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用替换后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程即可。
类型1 解析式未知
【例题4-1】已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】 C
【解析】 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(-x)-g(-x)＝-x3＋x2＋1，又由题意可知f(-x)＝f(x)，g(-x)＝-g(x)，∴f(x)＋g(x)＝-x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.故选C
【变式4-1】1.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(-1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.
【变式4-1】2.(高考题)已知f(x)是奇函数，若g(x)=f(x)+2且g(1)=1，则g(-1)= 。
【解析】g(x)+g(-x)=4，g(-1)=3.
类型2解析式已知
【例题4-2】设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2-x，则f（1）=
【答案】-3
【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），又当x≤0时，f（x）=2x2-x，∴f（-1）=3，∴f（1）=-f（-1）=-3，
【变式4-2】1.已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A.1 B．2 C．－1 D．－2
【答案】D
【解析】因为函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，所以f(-1)＝-f(1)＝-(1＋1)＝-2.
【变式4-2】2.若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(-2))＝________．
【解析】因为f(x)是R上的奇函数 ，所以f(0)＝0，即a＝0，若x<0，则－x>0，则f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，则g(2x)＝－(x2－2x－1)，令x＝－1，则g(－2)＝－(1＋2－1)＝－2，f(－2)＝－f(2)＝－(4＋4－1)＝－7，故f(g(－2))＝－7.答案：0 －7
【变式4-2】3.已知是奇函数，则_________.
【答案】-33【解析】当时，
∴∴
∴，∴
∴ ∴.
题型5 奇偶性运用2---求参数
类型1 解析式已知
【例题5-1】函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝________.
【解析】解法一：函数的定义域为{x|x≠0}，f(x)＝＝x＋＋a＋2.因函数f(x)是奇函数，则f(-x)＝-f(x)，即-x-＋a＋2＝-＝-x--(a＋2)，则a＋2＝-(a＋2)，即a＋2＝0，则a＝-2.
解法二：由题意知f(1)＝-f(-1)，即3(a＋1)＝a-1，得a＝-2，将a＝-2代入f(x)的解析式，得f(x)＝，经检验，对任意x∈(-∞，0)∪(0，＋∞)，都满足f(-x)＝-f(x)，故a＝-2.
【变式5-1】1．若函数为奇函数,则a＝__________
【答案】2
【解析】由题意，函数为奇函数，所以
恒成立，即，解得.
【变式5-1】2.若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
【答案】 0
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
【变式5-1】3.设函数为奇函数，则___________。
【答案】0
【解析】由函数为奇函数得到，即所以
【变式5-1】4.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
【答案】 4
【解析】 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.
【变式5-1】5.若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
【答案】 0
【解析】 方法一 显然x∈R，由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，即|x＋a|＝|x－a|.
又x∈R，所以a＝0.
方法二 由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.
【变式5-1】6．若已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝，则函数f(x)的解析式为________．
【答案】 f(x)＝
【解析】 ∵f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(0)＝＝0，∴b＝0.即f(x)＝，又f ＝，∴＝.∴a＝1，∴函数f(x)＝.
【变式5-1】7．设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．
【解析】由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴＋＝0，∴c＝0.
又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得－1
类型2 已知部分解析式
【例题5-2】已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
【答案】 5
【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
【变式5-2】已知函数 为奇函数，则 。
【答案】0
【解析】当时，，由题意得，∴，解得，当，时，经检验知为奇函数，故.
类型3 奇函数+常数求值题型
若函数为奇函数，（为常数），则
【例题5-3】已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
【答案】7
【解析】)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]
【变式5-3】已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
【答案】
【解析】 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
奇函数最值性质
【变式5-4】1.奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________.
【答案】-7
【解析】∵f(x)是奇函数，且在[3,6]上单调递增，∴f(3)＝-1，f(6)＝4.
∴2f(-6)＋f(-3)＝-2f(6)-f(3)＝-2×4＋1＝-7.
【变式5-4】2.已知，均为R上的奇函数，且在上的最大值为5，则在上的最小值为_________.
【答案】-3
【解析】设，则∵，均为R上的奇函数
∴也是R上的奇函数∵当时，∴
∴根据奇函数图象的对称性，在的最小值为
∴.
【变式5-4】3.已知是定义在上的奇函数，且f（x）在上的最大值为，则函数在的最大值与最小值之和为 .
【答案】6
【解析】因为奇函数f（x）在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，
所以函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为a＋3＋（－a＋3）＝6.
【变式5-4】4．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506 B．506 C．2022 D．2024
【答案】B
【分析】先对函数变形得，令，可判断出为奇函数，则的最大值为，最小值为，从而得，再由M＋N＝2024，可求出的值.
【详解】函数，
令，因为，
所以为奇函数，又在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，所以的最大值为，最小值为，所以，则t＝506．故选：B
类型4 求函数解析式
【例题5-4】（2022·全国·高一课时练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
【答案】，
【分析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是利用函数的奇偶性构造方程.
【详解】解析： 以代替条件等式中的，则有，
又，分别是上的奇函数和偶函数，故．
又，联立可得，．
题型6 单调性与奇偶性的运用3--解不等式
函数奇偶性的五个重要结论：
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
类型1 抽象不等式
【例题6-1】已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x-1)≤f(2x)的解集为
【答案】【解析】是定义在上的偶函数，，在上为增函数，函数在上为增函数，故函数在上为减函数，则由，可得，即，求得因为定义域为，所以，解得综上，
方法总结：偶函数解不等式：.
【变式6-1】1.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)即－<2x－1<，解得【变式6-1】2.已知函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，当a，b∈(－∞，0)时，总有＞0(a≠b)．若f(2m＋1)＞f(2m)，求m的取值范围．
【答案】
【解析】当a，b∈(－∞，0)时，总有＞0(a≠b)，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，
因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2m＋1)＞f(2m)，所以|2m＋1|＜|2m|，即4m＋1＜0，解得m＜－.
【变式6-1】3.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)【解析】因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)【变式6-1】4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
【答案】 (－1,3)
【解析】 因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．又因为f(2)＝0，所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|<2，解得－2所以－1【变式6-2】1.函数f(x)是奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，f(-3)=0，则不等式xf(x)<0的解集为
【答案】
【解析】∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，即f（3）＝0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得 解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3）.
【变式6-2】2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为________．
【答案】 {x|－33}
【解析】 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－33}．
【变式6-2】3．(2020·新高考卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A．[-1，1]∪[3，＋∞)B．[-3，-1]∪[0，1]
C．[-1，0]∪[1，＋∞)D．[-1，0]∪[1，3]
【答案】选D.
【解析】通解：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x＞0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x＜0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x＜0，所以－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，选D.
优解：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.
【变式6-2】4．（2017·全国（理））函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A． B． C． D．
【解析】 是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.
【变式6-2】5．（2022·浙江·杭十四中高一期末）设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，构造函数判断的单调性和奇偶性，分情况讨论，利用单调性即可求解.
【详解】函数的图象关于点成中心对称，故函数的图象关于点成中心对称，记是奇函数.记 所以是偶函数，对于任意正数，都，即，所以在 单调递增，且，是偶函数,故在 单调递减，且当 时，，
当 时，，
故的解集为.故选：B
类型2 已知函数解析式
【例题6-3】已知函数为偶函数，则不等式的解集为
【解析】 ∵函数为偶函数，∴，得，∴，∴不等式可转化为或，即或，解得或.综上，原不等式的解集为.
【变式6-3】若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－8，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|－22}B．{x|04}
C．{x|x<0或22}
【答案】B【解析】当x＝2时，有f(2)＝0，又因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝0，
作出f(x)的大致图象，由图象可知，当－22，即04时，有f(x-2)>0，故选B.
题型7 利用奇偶性比较大小
【例题7】设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
【变式7-1】1.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
【答案】 A
【解析】 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)【变式7-1】2.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)
①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)； ④g(－a)f(－a)．
【答案】 ①③⑤
【解析】 f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，
又－a<－b<0，∴f(－a)f(b)>0>f(－b)>f(－a)，
∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．
【变式7-1】3．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．
【详解】因为对任意的，有，
所以当时，，所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，因为，所以，即．故选：D．
【变式7-1】4．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断的大小，即可判断出答案.
【详解】依题意，，，，即，所以函数在上单调递增．又，，所以函数是R上的偶函数，所以,则有，所以，故选：B．
题型8 奇、偶函数图象的应用
【例题8】如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】 f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.
【变式8-1】1.奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．
【答案】 (－∞，－1]，[1，＋∞)
【解析】 奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．
【变式8-1】2.已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
【答案】(－2,0)∪(2,5)
【解析】因为函数y＝f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．
由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
【变式8-1】3.定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
【解析】(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
【变式8-1】4.已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
【解析】 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2【变式8-1】5.(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
【解析】 (1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
【变式8-1】6．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】 D
【解析】 y＝f(x)是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝0的所有实根之和为0.
题型9 综合题汇总
【例题9】（2022·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）已知函数．
(1)证明函数为奇函数；
(2)若，求函数的最大值和最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)最小值；最大值
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义进行判断；
（2）先利用定义法判断函数的单调性，进而求出区间上的最值.
（1）证明：的定义域为，关于原点对称，，
所以在定义域上为奇函数；
（2）在上任取，且，则∵，∴，，，
∴，∴，∴在上单调递增，
∴最小值为，最大值为
【变式9-1】1．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知函数．
(1)当时，判断函数的奇偶性；
(2)当时，判断函数在上的单调性，并证明．
【答案】(1)奇函数(2)在上是单调递减函数；证明见解析
【分析】(1)利用奇函数的定义判断即可；（2）利用函数的单调性的定义即可判断与证明.
（1）当时，，定义域为，关于原点对称，
，所以是奇函数．
（2）当时，，证明：取，，
所以，，则，即，
所以在上是单调递减函数．
【变式9-1】2．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）二次函数满足，且
(1)求的解析式;
(2)求在上的最值;
(3)若函数为偶函数，求的值;
(4)求在上的最小值.
【答案】(1)(2)在上的最小值为，最大值为(3)(4)时，；时，；时，
【分析】（1）待定系数法求解解析式；（2）配方后得到函数单调性，进而求出最值；
（3）根据函数奇偶性求出，从而求出的值；
（4）结合对称轴，对分类讨论，求出不同情况下函数的最小值.
（1）设，则，
又因为，所以，解得：，又
所以的解析式为.
（2），所以当时，单调递减，在上单调递增，又，，，
因为故在上的最小值为，最大值为.
（3）因为，所以，
因为为偶函数，所以，即，解得：，.
（4），当，即时，在上单调递减，所以；
当且,即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当时，在上单调递增，所以；综上：时，；
时，；时，.
【变式9-1】3．（2022·全国·高一课时练习）设是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先由函数奇偶性得；再设，则，根据已知函数解析式，结合奇函数的性质，即可求出结果；
（2）先由题意，将不等式化为，再由函数单调性，得到，推出，求出，即可得出结果.
（1）由题意知，.设，则，故，
又因为是奇函数，故，所以；
（2）由，不等式，等价于，
因为，所以其在上是增函数，所以，即，
因为，所以，所以，解得
故实数的取值范围是.
【变式9-1】4．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在R上的偶函数，当时，是二次函数，其图象与x轴交于，两点，与y轴交于．
(1)求的解析式；
(2)若方程有两个不同的实数根，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时，利用待定系数法得到，再使用奇偶性，得出即可；
（2）利用数形结合解决.
（1）依题意可设，当时，．由，得3k＝6，∴k＝2，∴．当时，，则．又是偶函数，∴，∴．∴
（2）依题意知有两个不同的实数根，即与y＝2a－2在同一坐标系中的图象有两个不同的交点．作出函数的图象，如图所示．
由图，可知只需满足条件2a－2＝－2或，∴a＝0或，
即实数a的取值范围是．
【变式9-1】5.（2022·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.
(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性 的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
【答案】(1)(2)
(3)函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数（或者是）.
【分析】（1）设的图象的对称中心为，根据题意可得，代入解析式并整理得，即可求函数的图象的对称中心；
（2）由（1）可得，找出规律，即可求得答案；
（3）利用类比推理即可得出推广结论.
（1）解：设的图象的对称中心为，则为奇函数，所以，即，所以，即，
整理得，（对函数定义域内的任意都成立），
所以，解得，所以函数的图象的对称中心为；
（2）由（1）知函数图象的对称中心为，所以，则，又，所以 ；
（3）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是.
【变式9-1】6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用函数是奇函数即可求出当x＞0时，函数的解析式；
（2）由函数是奇函数化简可得，画出函数的图象，结合图象即可得出答案.
（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，故，故当x＞0时，．
（2）由，得，
故或．
如图所示，画出函数的图象．
由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．3.2.3函数的奇偶性
常考题型目录
题型1 判断函数的奇偶性 3
类型1 定义法判断函数奇偶性 3
类型2 图像法的奇偶性 4
类型3 性质法判断函数的奇偶性 4
题型2 奇偶性概念的理解 5
题型3 奇偶性运用1---求解析式 6
类型1 求对称区间上的解析式 6
类型2 构造方程组求解析式 7
题型4 奇偶性运用2--求值 7
类型1 解析式未知 8
类型2解析式已知 8
题型5 奇偶性运用2---求参数 8
类型1 解析式已知 8
类型2 已知部分解析式 9
类型3 奇函数+常数求值题型 9
类型4 求函数解析式 10
题型6 单调性与奇偶性的运用3--解不等式 10
类型1 抽象不等式 10
类型2 已知函数解析式 11
题型7 利用奇偶性比较大小 12
题型8 奇、偶函数图象的应用 12
题型9 综合题汇总 14
知识梳理：
知识点一、函数奇偶性的定义：
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I
结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立．
(3)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数 f(-x)＝-f(x) f(-x)＋f(x)＝0 ＝-1.
②f(x)为偶函数 f(-x)＝f(x) f(-x)-f(x)＝0 ＝1.
知识点二.判断函数奇偶性的方法
1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．
2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．
3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0.
4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
总结：奇±奇=奇 偶±偶=偶奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
知识点三.函数奇偶性的常用结论
1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
注意：
1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(-x)＝-f(x)，而不能说存在x0，使f(-x0)＝-f(x0)．同样偶函数也是如此．
若奇函数的定义域包括，则．（3）若函数是偶函数，则．
题型分类
题型1 判断函数的奇偶性
类型1 定义法判断函数奇偶性
【例题1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝
【变式1-1】1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝；④f(x)＝x＋；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．
【变式1-1】2．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是非奇非偶函数
【变式1-1】3．函数f(x)＝的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．
【变式1-1】4.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
类型2 图像法的奇偶性
判断分段函数的奇偶性，可以用定义法，也可以用图象法.
【定义法】必须验证在每一段内都有或成立，而不能只验证一段解析式。在判断时，要特别注意与的范围，然后选择合适的解析式代入.
【例题1-2】下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
【变式1-2】1.函数f(x)＝为________函数．(填“奇”或“偶”)
【变式1-2】2.判断f(x)＝的奇偶性。
类型3 性质法判断函数的奇偶性
【例题1-3】f(x)＝x2＋|x|( )
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
【变式1-3】1.如果是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )
B.
C. D.
【变式1-3】2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【变式1-3】3．（2022·全国·高一课时练习）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为上的奇函数 B．为上的奇函数
C．为上的偶函数 D．为上的偶函数
【变式1-3】4．（2022·全国·高一课时练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
题型2 奇偶性概念的理解
【例题2】（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
【变式2-1】1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．奇函数的图象关于原点对称，且
B．偶函数的图象关于y轴对称，且
C．存在既是奇函数又是偶函数的函数
D．奇 偶函数的定义域可以不关于原点对称
【变式2-1】2．（2022·河南安阳·高一期末）对于函数，，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】3．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．奇函数的图像关于坐标原点对称 B．图像关于轴对称的函数是偶函数
C．奇函数一定满足 D．偶函数的图像不一定与轴相交
【变式2-1】4．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）关于函数的性质，有如下说法：
①若函数的定义域为，则一定是偶函数；
②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；
③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；
④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.其中正确说法的序号有___________.
【变式2-1】5．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）已知函数的定义域是，对任意，都有：，且当时，．给出结论：
①是偶函数；
②是奇函数；
③在上是增函数；
④在上是减函数．
则正确结论的序号是________．
题型3 奇偶性运用1---求解析式
利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:
（1）“求谁设谁”，即求函数在哪个区间上的解析式，就设在哪个区间上;
（2）利用已知区间的函数解析式进行化简，得到的解析式;
（3）利用函数的奇偶性写出或，即可得到函数的解析式.
注意:若是R上的奇函数时，不要遗漏的情形.
类型1 求对称区间上的解析式
【例题3-1】已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
【变式3-1】1.函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
【变式3-1】2.（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）定义在R上的奇函数，满足当时，．当时的表示式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】3.已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
类型2 构造方程组求解析式
【例题3-2】设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
【变式3-2】1.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
【变式3-2】2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
题型4 奇偶性运用2--求值
1、常用结论：
（1）若函数为奇函数，（为常数），则
（2）若函数为奇函数，则在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，即.
（3）若函数为奇函数，（为常数），则.
2、利用奇偶性求函数值的思路：
（1）已知求：判断的奇偶性与构造已知就行的函数，利用奇偶性找出与的关系即可；
（2）已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用替换后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程即可。
类型1 解析式未知
【例题4-1】已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【变式4-1】1.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式4-1】2.(高考题)已知f(x)是奇函数，若g(x)=f(x)+2且g(1)=1，则g(-1)= 。
类型2解析式已知
【例题4-2】设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2-x，则f（1）=
【变式4-2】1.已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A.1 B．2 C．－1 D．－2
【变式4-2】2.若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(-2))＝________．
【变式4-2】3.已知是奇函数，则_________.
题型5 奇偶性运用2---求参数
类型1 解析式已知
【例题5-1】函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝________.
【变式5-1】1．若函数为奇函数,则a＝__________
【变式5-1】2.若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
【变式5-1】3.设函数为奇函数，则___________。
【变式5-1】4.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
【变式5-1】5.若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
【变式5-1】6．若已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝，则函数f(x)的解析式为________．
【变式5-1】7．设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．
类型2 已知部分解析式
【例题5-2】已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
【变式5-2】已知函数 为奇函数，则 。
类型3 奇函数+常数求值题型
若函数为奇函数，（为常数），则
【例题5-3】已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
【变式5-3】已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
奇函数最值性质
【变式5-4】1.奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________.
【变式5-4】2.已知，均为R上的奇函数，且在上的最大值为5，则在上的最小值为_________.
【变式5-4】3.已知是定义在上的奇函数，且f（x）在上的最大值为，则函数在的最大值与最小值之和为 .
【变式5-4】4．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506 B．506 C．2022 D．2024
类型4 求函数解析式
【例题5-4】（2022·全国·高一课时练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
题型6 单调性与奇偶性的运用3--解不等式
函数奇偶性的五个重要结论：
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
类型1 抽象不等式
【例题6-1】已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x-1)≤f(2x)的解集为
【变式6-1】1.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B. C. D.
【变式6-1】2.已知函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，当a，b∈(－∞，0)时，总有＞0(a≠b)．若f(2m＋1)＞f(2m)，求m的取值范围．
【变式6-1】3.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)【变式6-1】4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
【变式6-2】1.函数f(x)是奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，f(-3)=0，则不等式xf(x)<0的解集为
【变式6-2】2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为________．
【变式6-2】3．(2020·新高考卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A．[-1，1]∪[3，＋∞)B．[-3，-1]∪[0，1]
C．[-1，0]∪[1，＋∞)D．[-1，0]∪[1，3]
【变式6-2】4．（2017·全国（理））函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A． B． C． D．
【变式6-2】5．（2022·浙江·杭十四中高一期末）设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
类型2 已知函数解析式
【例题6-3】已知函数为偶函数，则不等式的解集为
【变式6-3】若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－8，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|－22}B．{x|04}
C．{x|x<0或22}
题型7 利用奇偶性比较大小
【例题7】设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)【变式7-1】1.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
【变式7-1】2.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)
①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)； ④g(－a)f(－a)．
【变式7-1】3．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】4．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型8 奇、偶函数图象的应用
【例题8】如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．0
【变式8-1】1.奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．
【变式8-1】2.已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
【变式8-1】3.定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
【变式8-1】4.已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
【变式8-1】5.(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
【变式8-1】6．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
题型9 综合题汇总
【例题9】（2022·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）已知函数．
(1)证明函数为奇函数；
(2)若，求函数的最大值和最小值．
【变式9-1】1．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知函数．
(1)当时，判断函数的奇偶性；
(2)当时，判断函数在上的单调性，并证明．
【变式9-1】2．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）二次函数满足，且
(1)求的解析式;
(2)求在上的最值;
(3)若函数为偶函数，求的值;
(4)求在上的最小值.
【变式9-1】3．（2022·全国·高一课时练习）设是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式9-1】4．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在R上的偶函数，当时，是二次函数，其图象与x轴交于，两点，与y轴交于．
(1)求的解析式；
(2)若方程有两个不同的实数根，求a的取值范围．
【变式9-1】5.（2022·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.
(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性 的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
【变式9-1】6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．