3.2函数与方程不等式之间的关系
常考题型目录
题型1 求函数的零点 3
题型2 利用函数图像解不等式 4
题型3 判断零点的个数 6
类型1 直接法或方程法 6
类型2 零点的存在性定理 7
类型3 图像法 8
类型4 性质法 9
类型5 零点和问题 9
题型4 判断函数零点所在的区间 10
题型5 根据零点个数求参数范围 10
类型1 零点的存在性定理 10
类型2 图像法 10
题型6 二次函数零点问题 11
题型7 二分法概念的理解 12
题型8 用二分法求方程的近似解 14
题型9 复合函数零点 16
知识梳理：
知识点一. 函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
注意：函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
知识点二．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
注意：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
知识点三.二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式 方程的根 函数的零点
两个不相等的实根 两个零点
两个相等的实根 一个二重零点
无实根 无零点
知识点四.二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
知识点五.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
知识点六．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
注意：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
知识点七．二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
题型分类
题型1 求函数的零点
【例题1】下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
【变式1-1】1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝.
【变式1-1】2.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4； (2)f(x)＝.
【变式1-1】3．（2021·全国·高一课时练习）函数的零点是（ ）
A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1
【变式1-1】4．（2020·江苏·扬州中学教育集团树人学校高一阶段练习）函数的零点为（ ）
A．(2,3) B．(3,2) C．2,3 D．(2,0)，(3,0)
【例题1-2】若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
【变式1-2】1.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是( )
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
【变式1-2】2.若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是( )
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式1-3】若的零点是 （ ）
A. B. C.2 D.2
题型2 利用函数图像解不等式
【例题2-1】（2020·全国·高一课时练习）求函数的零点，并画出函数的图象．解不等式．
【变式2-1】1．（2021·新疆·哈密市第八中学高一期中）已知函数f(x)= x+|2x+4|.
(1)画出函数的图象；
(2)求不等式f(x)<1的的解集.
【变式2-1】2．（2022·全国·高一课时练习）画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较，，的大小；
(2)求不等式的解集．
【变式2-1】3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)画出函数的图像并写出它的值域；
(2)若，求x的取值范围；
【变式2-1】4．（2021·河南郑州·高一期中）函数是定义域为R的奇函数，当x>0时，.
(1)求的解析式，并画出函数的图像；
(2)求不等式.
【变式2-1】5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学期中）已知函数是上的偶函数，当时，
(1)当时，求解析式；
(2)画出函数的图象，并写出的值域.
【变式2-1】6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数
(1)在所给的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间；
(2)求不等式的解集.
题型3 判断零点的个数
直接法 即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点
定理法 即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
图象法 即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0 h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数
性质法 即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
类型1 直接法或方程法
【例题3-1.函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】1.已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3-1】2．（2021·全国·高一课时练习）下列函数不存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】3．（2022·山东·乳山市银滩高级中学）(多选)关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有且仅有一个零点 B．在，上单调递减
C．的定义域为 D．的图像关于点对称
【变式3-1】4．（2021·全国·高一单元测试）（多选）给定函数（ ）
A．的图像关于原点对称 B．的值域是
C．在区间上是增函数 D．有三个零点
类型2 零点的存在性定理
【例题3-2】对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
【变式3-2】1．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有
【变式3-2】2．已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区问内有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】3．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）（多选）若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
类型3 图像法
【例题3-3】（2020·广东·佛山实验中学高一阶段练习）（多选）已知是定义在上的奇函数，当时，．则函数的零点的有（ ）
A．1 B． C．3 D．
【变式3-3】1．（2021·四川省广安代市中学校高一阶段练习）已知定义在上的函数y =f(x)的图象如图所示.下述四个结论:
①函数y=f(x)的值域为②函数y=f(x)的单调递减区间为
③函数y=f(x)仅有两个零点 ④存在实数a满足
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【变式3-3】2．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）（多选）下列关于函数的叙述正确的是（ ）．
A．的定义域为，值域为
B．的图象关于轴对称
C．当时，有最小值2，但没有最大值
D．函数有2个零点
【变式3-3】3.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 .
【变式3-3】4．（2022·江西赣州·高一期末）（多选）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．B． 函数的值域为
C．在R上为增函数 D．函数在区间有12个零点
类型4 性质法
【例题3-4】已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-4】1．（2021·全国·高一课前预习）已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0,＋∞)内的零点有1009个，则f(x)的零点的个数为（ ）
A．1007 B．1008
C．2018 D．2019
【变式3-4】2．（2021·全国·高一课时练习）定义在的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
类型5 零点和问题
【例题3-5】已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．不能确定
【变式3-5】1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，若函数的所有零点为，当时，（ ）
A．20 B．24 C．28 D．36
【变式3-5】2．（2021·福建省南安市侨光中学高一阶段练习）记，已知+有4个零点，则这4个零点之和为______
题型4 判断函数零点所在的区间
【例题4-1】函数的零点所在区间为( )
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【变式4-1】1.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)，(2,4) B．(－3，－1)，(－1,1) C．(－1,1)，(1,2) D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
题型5 根据零点个数求参数范围
类型1 零点的存在性定理
【例题5-1】若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
【变式5-1】（2021·全国·高一课时练习）已知函数的零点为，且，那么的取值范围是______．
类型2 图像法
【例题5-2】函数有四个零点，则a的取值范围是________．
【变式5-2】1.函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
【变式5-2】2.（2022·全国·高一专题练习）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】3.已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
题型6 二次函数零点问题
【例题6-1】若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
【变式6-1】1.函数在R上无零点，求实数a的取值范围．
【变式6-1】2.若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的值．
【变式6-1】3.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是.
【变式6-1】4.对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.
(1)若有两个不动点为，求函数的零点；
(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．
【变式6-1】5.已知函数f(x)=
(1)若a=0,x∈[0,4],求f(x)的值域;
(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围..
【例题6-2】已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是 __________.
【变式6-2】1.若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．
【变式6-2】2.已知二次函数，满足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）-t＞0在[-1，2]上有解，求实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）-mx的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．
【例题6-3】已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<α【例题6-4】已知二次函数f(x)的图像的对称轴为直线x=2，且f(x)的图像截x轴所得的线段长为8，则函数f(x)的零点为( )
A.2，6 B.2，-6 C.-2，6 D.-2，-6
【例题6-5】已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．
题型7 二分法概念的理解
方法总结：
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
【例题7-1】关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
【变式7-1】1．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
【变式7-1】2.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
【变式7-1】3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
【变式7-1】4.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
【变式7-1】5.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
【变式7-1】6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
【变式7-1】7.下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( )
①y＝3x2－2x＋5；②③；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8.
A．①②③ B．⑤ C．①⑤ D．①④
题型8 用二分法求方程的近似解
方法总结
利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
【例题8-1】用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f（1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）
【变式8-1】1.在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是(－2,4)，则第三次所取的区间可能是( )
A．(1,4) B．(－2,1) C．(－2,2.5) D．(－0.5,1)
【变式8-1】2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]
【变式8-1】3.用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________．
【变式8-1】4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]
【变式8-1】5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
【变式8-1】6．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________．
【变式8-2】在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.6 B．0.75 C．0.7 D．0.8
【变式8-3】1．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为( )
A．1.5 B．1.375 C．1.438 D．1.25
【变式8-3】2.求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
【例题8-4】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
【变式8-4】用二分法求函数f(x)＝x3－3的正零点．(精确度0.02)
【例题8-5】已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间(a，b)等分的次数至少为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-5】某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1.
【例题8-6】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？
【变式8-6】在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最少称多少次能保证一定可以发现这枚假币？
题型9 复合函数零点
【技能方法】：求解复合函数零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围．
【例题9-1】（2020·湖南长沙·高一阶段练习）（多选）已知，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．有唯一零点
【变式9-1】1．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）已知函数的定义域为，满足对任意，恒有，若函数的零点个数为有限的个，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】2．（2021·吉林·高一期末）（多选）已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】3．（2021·江苏·盐城中学高一期中）已知函数.其中实数.
(1)若对任意都有值成立，求实数a的取值范围；
(2)当的值域为时，函数在区间上有三个零点，求m的取值范围.3.2函数与方程不等式之间的关系
常考题型目录
题型1 求函数的零点 3
题型2 利用函数图像解不等式 6
题型3 判断零点的个数 11
类型1 直接法或方程法 12
类型2 零点的存在性定理 14
类型3 图像法 16
类型4 性质法 19
类型5 零点和问题 20
题型4 判断函数零点所在的区间 23
题型5 根据零点个数求参数范围 23
类型1 零点的存在性定理 23
类型2 图像法 24
题型6 二次函数零点问题 27
题型7 二分法概念的理解 31
题型8 用二分法求方程的近似解 33
题型9 复合函数零点 38
知识梳理：
知识点一. 函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
注意：函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
知识点二．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
注意：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
知识点三.二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式 方程的根 函数的零点
两个不相等的实根 两个零点
两个相等的实根 一个二重零点
无实根 无零点
知识点四.二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
知识点五.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
知识点六．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
注意：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
知识点七．二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
题型分类
题型1 求函数的零点
【例题1】下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
【答案】 D
【解析】结合函数零点的定义可知选项D没有零点．
【变式1-1】1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝.
【答案】(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
【变式1-1】2.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4； (2)f(x)＝.
【答案】(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2.所以函数的零点为x＝－2.
(2)令＝0，解得x＝1.所以函数的零点为x＝1.
【变式1-1】3．（2021·全国·高一课时练习）函数的零点是（ ）
A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1
【答案】C
【分析】根据函数零点的定义，令，即可求解.
【详解】由题意，函数，令，即，解得，即函数的零点为.故选：C.
【变式1-1】4．（2020·江苏·扬州中学教育集团树人学校高一阶段练习）函数的零点为（ ）
A．(2,3) B．(3,2) C．2,3 D．(2,0)，(3,0)
【答案】C
【解析】利用零点的概念直接求解.
【详解】函数，令，即，解得或
故零点为，故选：C.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【例题1-2】若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
【答案】 －1和0
【解析】 因为f(x)＝ax－b的零点是3，所以f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.所以g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，所以方程g(x)＝0的两个根为－1和0，即函数g(x)的零点为－1和0.
【变式1-2】1.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是( )
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
【答案】B
【解析】由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x1,x2满足x1+x2=-=-2,所以方程的另一个根为1.
【变式1-2】2.若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是( )
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【解析】因为函数的两个零点是2和3，所以的两根为2和3，因此有，所以，于是或，所以函数的零点是和;
【变式1-3】若的零点是 （ ）
A. B. C.2 D.2
【答案】A
【解析 】y=f(4x)-x=0,,
题型2 利用函数图像解不等式
【例题2-1】（2020·全国·高一课时练习）求函数的零点，并画出函数的图象．解不等式．
【答案】零点为，1，图象见解析，的解集为的解集为或
【解析】令，解方程即可求出零点，作出二次函数的图象，结合图象求出不等式的解集.
【详解】令，得，解得方程的两个实数根分别为．因此，函数的零点为，1．即函数的图象与x轴的交点坐标分别为．将函数解析式配方，得，
则函数图象的顶点坐标为．由此画出函数的图象如示：
由图知，的解集为的解集为或．
【点睛】本题考查了函数零点的定义以及解不等式，解题的关键是函数的图象，属于基础题.
【变式2-1】1．（2021·新疆·哈密市第八中学高一期中）已知函数f(x)= x+|2x+4|.
(1)画出函数的图象；
(2)求不等式f(x)<1的的解集.
【答案】(1)图象见解析；(2)(-5,-1).
【分析】（1）写出的分段函数形式，根据各区间上的函数画出图象即可.
（2）讨论、，结合函数解析式分别求解，最后取并集即可.
(1)由题设，，
-5 -4 -2 0
1 0 -2 1 4
(2)由（1）得：，可得；，可得；
综上，的解集为(-5,-1).
【变式2-1】2．（2022·全国·高一课时练习）画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较，，的大小；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)画图见解析，(2)
【分析】(1)根据二次函数解析式画出函数图像，通过图像可比较三点大小；
(2)通过不等式可知与一正一负，分别讨论即可得出解集.
（1）二次函数，即的图象如图所示：
由图象，可知．
（2）不等式，当时，，由图可知此时；当时，，由图可知此时； 不等式的解集为．
【变式2-1】3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)画出函数的图像并写出它的值域；
(2)若，求x的取值范围；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）分段画出图像，根据图像可得值域；（2）分段解不等式，然后求并集即可.
（1）
由图可知，函数的值域为
（2）或，解得或
故x的取值范围为
【变式2-1】4．（2021·河南郑州·高一期中）函数是定义域为R的奇函数，当x>0时，.
(1)求的解析式，并画出函数的图像；
(2)求不等式.
【答案】(1)，图象见解析(2)
【分析】（1）由奇偶性求出函数解析式，画出函数图象；
（2）利用奇偶性对不等式化简，数形结合求不等式解集.
(1)由于是定义域为R的奇函数，所以，
当，，故，
又因为，所以，所以，
综上：；
图象如图所示：
(2)由可得：，由于在分母位置，所以，当时，只需，由图象可知：；当时，只需，由图象可知：；综上：不等式的解集为.
【变式2-1】5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学期中）已知函数是上的偶函数，当时，
(1)当时，求解析式；
(2)画出函数的图象，并写出的值域.
【答案】(1)(2)图象见解析，值域为
【分析】（1）当时，可得，由奇偶性得，由此可得结果；
（2）由（1）可得解析式，结合二次函数的最值和性质可作出图象和值域.
（1）当时，，则，为上的偶函数，，即当时，.
（2）由（1）得：，
当时，；当时，；
结合二次函数性质可得图象如下图所示，
的值域为.
【变式2-1】6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数
(1)在所给的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).
【分析】（1）根据解析式得到函数图象的坐标列表，在坐标系中描点画出函数图象，结合图象确定单调区间即可.
（2）求对应自变量值，再结合图象求不等式的解集.
（1）由解析式知：
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0
的图象如下图所示：
由图象知，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，解得或，结合图象知:的解集为．
题型3 判断零点的个数
直接法 即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点
定理法 即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
图象法 即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0 h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数
性质法 即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
类型1 直接法或方程法
【例题3-1.函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使函数有意义，则x2﹣4≥0，即x2≥4，x≥2或x≤﹣2．由f（x）＝0得x2﹣4＝0或x2﹣1＝0（不成立舍去）．即x＝2或x＝﹣2，∴函数的零点个数为2个．
【变式3-1】1.已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】根据题意，令x2－2x＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，即当x≤0时函数有两个零点；又当x>0时，1＋＋3x＝0无解．故函数只有两个零点．
【变式3-1】2．（2021·全国·高一课时练习）下列函数不存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，逐一解方程，判断方程是否有根即得结果.
【详解】A选项中，令，解得，故和1是函数的零点；
B选项中，令，解得或，故和1是函数的零点；
C选项中，令，解得，故和1是函数的零点；
D选项中，令，方程无解，故函数无零点.故选：D.
【变式3-1】3．（2022·山东·乳山市银滩高级中学）(多选)关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有且仅有一个零点 B．在，上单调递减
C．的定义域为 D．的图像关于点对称
【答案】ABC
【分析】利用函数零点的定义即可判断A选项，利用反比例函数的单调性即可判断B选项，由函数定义域的定义即可判断C选项，由反比例函数的对称性及函数图像变换，即可判断D选项.
【详解】令，即，解得，所以有且仅有一个零点，故A正确；
函数，因为在，上单调递减，所以函数在，上单调递减，故B正确；函数的定义域为，故C正确；因为函数关于点对称，所以函数关于点对称，故D错误.故选：ABC.
【变式3-1】4．（2021·全国·高一单元测试）（多选）给定函数（ ）
A．的图像关于原点对称 B．的值域是
C．在区间上是增函数 D．有三个零点
【答案】AB
【分析】对于A：由函数的定义域为R，，可判断；
对于B：当时，，当时，，由或，可判断；
对于C：由在单调递增可判断；
对于D：令，解方程可判断.
【详解】解：对于A：因为函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，所以的图像关于原点对称，故A正确；
对于B：当时，，当时，，又或，所以或，综上得的值域为，故B正确；
对于C：因为在单调递增，所以由B选项解析得， 在区间上是减函数，故C不正确；对于D：令，即，解得，故D不正确，
故选：AB.
类型2 零点的存在性定理
【例题3-2】对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
【答案】D
【解析】∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．
【变式3-2】1．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有
【答案】 C
【解析】 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1,2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．若f(x)在(1,2)上没有零点，则必有f(1)·f(2)≥0，与已知矛盾．故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．
【变式3-2】2．已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区问内有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据零点的存在性定理分析充分性，然后再举例分析必要性，由此判断出属于何种条件.
【详解】由零点存在性定理，可知充分性成立；
反之，若函数，则易知，
且在区间内有两个零点，故必要性不成立.
故选：A.
【变式3-2】3．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）（多选）若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
【答案】ABD
【解析】根据的图像在上连续不断，，，，结合零点存在定理，判断出在区间和上零点存在的情况，得到答案．
【详解】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．故选：．
类型3 图像法
【例题3-3】（2020·广东·佛山实验中学高一阶段练习）（多选）已知是定义在上的奇函数，当时，．则函数的零点的有（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】ACD
【分析】函数的零点，即即方程的根，分和两种情况，利用函数的奇偶性，解方程求根即可．
【详解】当时，函数的零点即方程的根，由，解得或3；当时，由是奇函数得，即，由得（正根舍去）．故选：ACD
【变式3-3】1．（2021·四川省广安代市中学校高一阶段练习）已知定义在上的函数y =f(x)的图象如图所示.下述四个结论:
①函数y=f(x)的值域为②函数y=f(x)的单调递减区间为
③函数y=f(x)仅有两个零点 ④存在实数a满足
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【解析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与轴交点的个数可得其零点的个数，当时，可得
【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于，所以①错误；
由图像可知函数y=f(x)的单调递减区间为，所以②正确；
由图像可知其图像与轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误；
当时，有，所以④正确，
故选：D
【点睛】此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题
【变式3-3】2．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）（多选）下列关于函数的叙述正确的是（ ）．
A．的定义域为，值域为
B．的图象关于轴对称
C．当时，有最小值2，但没有最大值
D．函数有2个零点
【答案】BCD
【解析】直接利用函数的图象和性质的应用，函数的单调性，函数的对称性，函数的值域判断、、、的结论．
【详解】解：根据函数的关系式，画出函数的图象，如图所示：
对于：根据函数的图象，的定义域为，值域为，故错误；
对于：函数的图象关于轴对称，故正确；
对于：如图所示：当，时，有最小值2，但没有最大值，故正确；
对于：令，设，则函数和函数的图象有两个交点，即函数有两个零点，故正确．故选：．
【变式3-3】3.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 .
【答案】2
【解析】因为a>0,所以a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图所示,
所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.即方程|x2-2x|=a2+1(a>0)有两个解.
【变式3-3】4．（2022·江西赣州·高一期末）（多选）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．B． 函数的值域为
C．在R上为增函数 D．函数在区间有12个零点
【答案】AB
【分析】画出的图象，结合图象逐项判断可得答案.
【详解】
画出的图象，根据“高斯函数”的定义，故 A正确；由图象可得函数的值域为，故B正确；由图象可得在R上不是增函数，故C错误；由函数在区间有13个零点，故D错误.故选：AB.
类型4 性质法
【例题3-4】已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】法一 由-=0,解得x=,所以f()=0.因为f(2-x)=f(x),所以f()=f(2-)=f()=0.
因为f(x)是奇函数,f(-)=-f（）=0,f(0)=0,f(2)=f(0)=0,所以f(x)在(-2,2]上零点为-,-,0,,,2,共6个.
法二 依题意,作出函数f(x)的图象,如图所示.由图象可知,f(x)的图象在(-2,2]内与x轴的交点有6个.所以f(x)在(-2,2]上的零点有6个.
【变式3-4】1．（2021·全国·高一课前预习）已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0,＋∞)内的零点有1009个，则f(x)的零点的个数为（ ）
A．1007 B．1008
C．2018 D．2019
【答案】D
【解析】由已知，根据奇函数的对称性有(－∞,0)上也有1009个零点，由奇函数在R上有定义即f(0)＝0，即可知零点的总个数.
【详解】∵f(x)为奇函数且在(0,＋∞)内有1009个零点，∴在(－∞,0)上也有1009个零点，
又∵f(0)＝0，∴共有2018＋1＝2019(个)零点．故选：D
【变式3-4】2．（2021·全国·高一课时练习）定义在的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】由奇函数的性质周期函数的性质结合函数在上的解析式，确定函数的零点.
【详解】∵当时，，又函数为奇函数，∴
∴当时，，，∵ ∴函数是周期函数，且周期为4，，∴
∴ 函数在的零点有4个，即，∴函数在的零点有4个，又函数在的零点有2,3,4，∴函数在区间上的零点个数为11个，故选：B.
类型5 零点和问题
【例题3-5】已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．不能确定
【答案】 A
【解析】 因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
【变式3-5】1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，若函数的所有零点为，当时，（ ）
A．20 B．24 C．28 D．36
【答案】C
【分析】根据题意可得函数是周期为4，关于点中心对称的函数，再将函数的所有零点转化为与的交点的横坐标，又函数经过定点，且关于中心对称，在坐标系中作出草图，根据数形结合即可求出结果.
【详解】∵定义在上的奇函数满足，故图象关于对称，
∴，故，
∴，即周期为，
又定义在上的奇函数，所以是函数一个对称中心，
又因为当时，，作出函数的草图，如下：
函数的所有零点即为与的交点的横坐标，
易知函数经过定点，且关于中心对称，
又，分别作出函数和的图象，则函数的图象在函数和的图象之间，如下图所示：
则与交点关于中心对称，由图像可知关于对称的点共有3对，同时还经过点，
所以.
故选：C.
【变式3-5】2．（2021·福建省南安市侨光中学高一阶段练习）记，已知+有4个零点，则这4个零点之和为______
【答案】10
【解析】令、知关于对称，关于对称且，得、交点必在两侧，由函数性质，有4个零点相当于与、各有两个交点，即可求4个零点之和.
【详解】令，，可知关于对称，关于对称，且，∴联立、，在上有交点横坐标为，在上有交点横坐标为，+有4个零点，即直线与有4个交点，∴必与、各有两个交点， 所以根据它们的对称性知4个零点之和为.故答案为：10.
【点睛】关键点点睛：由有4个零点相当于与有4个交点，由新定义函数性质，结合、的对称性，知与、的交点情况，进而由对称性求零点的和.
题型4 判断函数零点所在的区间
【例题4-1】函数的零点所在区间为( )
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【答案】B
【解析】由函数f（x）＝x3+x–5可得f（1）＝1+1–5＝–3<0，f（2）＝8+2–5＝5>0，故有f（1）f（2）<0，根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点所在区间为（1，2），故选B．
【变式4-1】1.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)，(2,4) B．(－3，－1)，(－1,1) C．(－1,1)，(1,2) D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
【答案】A
【解析】因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在区间(－3，－1)内必有实数根，又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在区间(2,4)内必有实数根，故选A.
题型5 根据零点个数求参数范围
类型1 零点的存在性定理
【例题5-1】若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】(1，＋∞)
【解析】f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
【变式5-1】（2021·全国·高一课时练习）已知函数的零点为，且，那么的取值范围是______．
【答案】##-2【分析】根据零点存在定理得，解之可求得答案.
【详解】解：因为函数的零点为，且，所以，即，解得，所以的取值范围是.故答案为：.
类型2 图像法
【例题5-2】函数有四个零点，则a的取值范围是________．
【答案】（0，4）
【解析】由题|4x-x2|-a=0即|4x-x2|=a有四个根,画出y=|4x-x2|的图像有当x=2时y=|4×2-22|=4,故a的取值范围是（0，4） 故答案为（0，4）.
【变式5-2】1.函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
【解析】由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0【变式5-2】2.（2022·全国·高一专题练习）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据的性质画出函数图像，将问题化为与有2个交点，数形结合求的范围.
【详解】由题意，与有2个交点，
当时，递增且值域为；
当时，在上递减，上递增且值域为；
所以的图像如下：
由图知：时，有2个零点.故选：A
【变式5-2】3.已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
【解析】(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，因为y＝f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，所以f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.所以据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
【变式5-2】4.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，
（1）现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补全函数的图像；
（2）求出x>0时函数的解析式；
（2）若方程恰有3个不同的解，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数f(x)的图像如图所示
（2）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f(x),
，当x>0时，-x<0，·.f（x）=-f（-x)=-[(-x)2+2 (-x)]=-x2+2x ，故f（x）=-x2+2x（x>0）;
由（1）中图象可知∶y=f（x）与y=a 的图象恰好有三个不同的交点，∴-1【变式5-2】5．（2023·全国·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据定义运算法则化简，画出的图像，结合图像可求出c的取值范围
【详解】因为，所以由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，的取值范围是.故答案为：
题型6 二次函数零点问题
【例题6-1】若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
【答案】B
【解析】由题意知，Δ＝4－4a＜0，∴a＞1.
【变式6-1】1.函数在R上无零点，求实数a的取值范围．
【答案】（–4，0]
【解析】（1）当a＝0时，f（x）＝–1，符合题意；（2）若a≠0，则f（x）为二次函数，∴△＝a2+4a<0，解得–4【变式6-1】2.若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的值．
【解析】当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数．因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点，所以方程ax2－x－1＝0有两个相等的实根．所以Δ＝1＋4a＝0，a＝－.综上可知，a的值为0或－.
【变式6-1】3.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是.
【答案】(-4,-3).
【解析】令f(x)-x+b=0,所以b=x-|x(x+3)|,
作出y=x-|x(x+3)|的图象,要使函数y=f(x)-x+b有四个零点,
则y=x-|x(x+3)|与y=b的图象有四个不同的交点,所以-4【变式6-1】4.对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.
(1)若有两个不动点为，求函数的零点；
(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．
【答案】（1）－1±；（2）b>.
【解析】 (1)由题意知：f(x)＝x，即x2＋(b-1)x＋c＝0有两根，分别为－3,2.所以，所以，从而f(x)＝x2＋2x－6，由f(x)＝0得x1＝－1－，x2＝－1＋.故f(x)的零点为－1±.
(2)若c＝，则f(x)＝x2＋bx＋，又f(x)无不动点，即方程＋bx＋＝x无解，所以(b-1)2-b2<0即－2b＋1<0，所以b>.故b的取值范围是b>.
【变式6-1】5.已知函数f(x)=
(1)若a=0,x∈[0,4],求f(x)的值域;
(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围.
【答案】(1) [-1,1] (2)a的取值范围是(-∞,0).【解析】(1)若a=0,则f(x)=
当x∈[0,1]时,f(x)=-x2是减函数.所以-1≤f(x)≤0;当x∈(1,4]时,f(x)=-1是增函数.所以0于是当x∈[0,4]时,f(x)的值域为[-1,1].
(2)由(x-2a)(a-x)=0解得x=a或x=2a.由+a-1=0解得x=(1-a)2.因为f(x)恰有三个零点,所以解得a<0.所以实数a的取值范围是(-∞,0).
【例题6-2】已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是 __________.
【答案】(-∞，- )∪（，+∞）
【解析】由函数图象与x轴只有一个交点在区间(-2,2)上，所以当x=-2时和当x=2时函数值异号，得（4+4a+1）（4-4a+1）<0，即(5+4a)(5-4a)<0，解得a<-或a>;
【变式6-2】1.若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．
【解析】函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象(图略)列出不等式组解得∴－【变式6-2】2.已知二次函数，满足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）-t＞0在[-1，2]上有解，求实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）-mx的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由f（0）=2，即c=2，又f（x+1）―f（x）=2x―1，得2ax+a+b=2x―1，
故，解得：a=1，b=―2，所以f(x)=x2-2x+2．
（2）f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，对称轴为x=1∈[―1，2]，又f（―1）=5，f（2）=2，所以fmax(x)=f（―1）=5．关于x的不等式f（x）―t＞0在[―1，2]有解，则t＜fmax(x)=5，所以实数t的取值范围为（－∞，5）．
（3））g(x)=x2-(2+m)x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（―1，2）和（2，4）内，
则满足解得：1【例题6-3】已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<α【答案】 C
【解析】因为α，β是函数f(x)的两个零点，所以f(α)＝f(β)＝0.又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象，如图所示．可知a，b必在α，β之间．
【例题6-4】已知二次函数f(x)的图像的对称轴为直线x=2，且f(x)的图像截x轴所得的线段长为8，则函数f(x)的零点为( )
A.2，6 B.2，-6 C.-2，6 D.-2，-6
【解析】C由于直线x=2为二次函数f（x）的图象的对称轴，故根据二次函数的图象，可知f（x）的图象与x轴的两交点必关于直线x=2对称.又两交点间的距离为8，所以交点坐标为（6，0）和（-2，0），即函数f（x）的零点为-2，6.
【例题6-5】已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．
【解析】(1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．则解得k＝－2.
(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根，
∴则∴α2＋β2在区间上的最大值是18，最小值是，即α2＋β2的取值范围为.
题型7 二分法概念的理解
方法总结：
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
【例题7-1】关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
【答案】D
【解析】二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.
【变式7-1】1．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
【答案】B
【解析】据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
【变式7-1】2.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
【答案】C
【解析】使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间．
【变式7-1】3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
【答案】x3
【解析】因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]
【变式7-1】4.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
【答案】C
【解析】能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
【变式7-1】5.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
【答案】D
【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
【变式7-1】6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
【答案】a2＝4b
【解析】∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
【变式7-1】7.下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( )
①y＝3x2－2x＋5；②③；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8.
A．①②③ B．⑤ C．①⑤ D．①④
【答案】B【解析】由二分法的过程可知，函数零点左右的函数值异号时才可以用二分法求解，所以①②③④均可.⑤中y＝x2＋4x＋8=0，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B.
题型8 用二分法求方程的近似解
方法总结
利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
【例题8-1】用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f（1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）
【答案】C
【解析】由由二分法知，方程的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．故选C．
【变式8-1】1.在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是(－2,4)，则第三次所取的区间可能是( )
A．(1,4) B．(－2,1) C．(－2,2.5) D．(－0.5,1)
【答案】D
【解析】因为第一次所取的区间是(－2,4)，所以第二次所取的区间可能是(－2,1)，(1,4)，第三次所取的区间可能为(－2，－0.5)，(－0.5,1)，(1,2.5)，(2.5,4)，故选D.
【变式8-1】2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]
【答案】A
【解析】∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
【变式8-1】3.用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________．
【答案】
【解析】令f(x)＝x3－x2－1，则f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，f ＝>0，所以f f(1)<0，
故可断定该实数根所在的区间为.
【变式8-1】4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]
【答案】A
【变式8-1】5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
【答案】(0,0.5) f(0.25)
【解析】∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．
【变式8-1】6．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________．
【答案】(2,3)
【变式8-2】在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.6 B．0.75 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【解析】已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]．又0.68＝，且f(0.68)<0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值可为0.7，故选C.
【变式8-3】1．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为( )
A．1.5 B．1.375 C．1.438 D．1.25
【答案】C
【解析】∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0，∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内，又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5<0.05，∴方程的近似根可以是1.438.故选C.
【变式8-3】2.求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
【解析】确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，
所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0 (－2，－1)
x0＝＝－1.5 f(x0)＝4.375>0 (－2，－1.5)
x1＝＝－1.75 f(x1)≈2.203>0 (－2，－1.75)
x2＝＝－1.875 f(x2)≈0.736>0 (－2，－1.875)
x3＝＝－1.937 5 f(x3)≈－0.097 4<0 (－1.937 5，－1.875)
x4＝＝－1.906 25 f(x4)≈0.328 0>0 (－1.937 5，－1.906 25)
x5＝＝－1.921 875 f(x5)≈0.117 4>0 (－1.937 5，－1.921 875)
x6＝＝－1.929 687 5 f(x6)≈0.010 5>0 (－1.937 5，－1.929 687 5)
由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5.
【例题8-4】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
【解析】令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
【变式8-4】用二分法求函数f(x)＝x3－3的正零点．(精确度0.02)
【解析】由于f(0)＝－3<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值(或近似值)
(1,2) 1.5 0.375
(1,1.5) 1.25 －1.047
(1.25,1.5) 1.375 －0.400
(1.375,1.5) 1.437 5 －0.030
(1.437 5,1.5) 1.468 75 0.168
(1.437 5,1.468 75) 1.453 125 0.068
(1.437 5,1.453 125)
因为|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625<0.02，所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5.
【例题8-5】已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间(a，b)等分的次数至少为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【变式8-5】某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1.
【答案】5
【解析】由<0.1(n∈N*)，得2n>20，n≥5，故至少等分5次．
【例题8-6】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？
【解析】如图所示，首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，例如发现AC段正常，判定故障在BC段；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m之内，查7次就可以了．
【变式8-6】在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最少称多少次能保证一定可以发现这枚假币？
【解析】 将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在较轻的那3枚金币里面；将这3枚金币拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则较轻的那一枚即是假币．综上可知，最少称4次能保证一定可以发现这枚假币．
题型9 复合函数零点
【技能方法】：求解复合函数零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围．
【例题9-1】（2020·湖南长沙·高一阶段练习）（多选）已知，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．有唯一零点
【答案】BC
【分析】利用换元法求得函数的解析式，再一一判断选项即可.
【详解】令，则.所以，即A正确；
由，即B错；因为定义域为不关于原点对称，故不是偶函数，C错；由得，即D正确故选：BC
【变式9-1】1．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）已知函数的定义域为，满足对任意，恒有，若函数的零点个数为有限的个，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若的零点为，结合题设得，结合，即可知的最大值.
【详解】令，则有，故，
∴，若，则开口向上，对称轴为且，，∴在上有两个零点，即函数的零点个数最多有2个.故选：B
【变式9-1】2．（2021·吉林·高一期末）（多选）已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先根据函数的单调性的定义得出函数的单调性，再令，则要使函数恰有三个不同的零点，则需有两个不同的零点，且，由一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得选项.
【详解】因为函数的定义域为，所以设，则令，解得，又，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，作出函数的图像如下图所示，令，则要使函数恰有三个不同的零点，则需有两个不同的零点，且，设，则，解得，
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：函数的零点个数问题常转化为两图像的交点的个数问题，需分析函数的单调性，作出函数的图像，运用数形结合的思想得以解决.
【变式9-1】3．（2021·江苏·盐城中学高一期中）已知函数.其中实数.
(1)若对任意都有值成立，求实数a的取值范围；
(2)当的值域为时，函数在区间上有三个零点，求m的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）整理原式可得在上恒成立，利用基本不等式求的最小值即可；
（2）根据函数的值域求得，作出，的图像，令，求出的零点，根据图像可得要函数在区间上有三个零点，则一个要在中对应2个交点，一个要对应一个交点，列不等式求解即可.
(1)即，整理得在上恒成立又，
当且仅当，即时等号成立故；
(2)因为函数的值域为则，得（负值舍去）故，作出，的图像如下：
令，则，
，要函数在区间上有三个零点，
则或解得.