2.3.4两条平行直线间的距离公式同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.3.4两条平行直线间的距离公式
一、单选题
1．已知直线，平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（ 　）
A． B． C． D．
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
5．已知的面积为5，则点C的轨迹方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．到直线的距离等于的直线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列命题正确的有（ ）
A．两平行线间的距离为2
B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条
C．直线的方向向量可以是
D．直线与直线平行，则或2
三、填空题
9．两条平行直线与之间的距离为______．
10．已知直线：，：，则直线，之间的距离为______.
11．已知点A（1，2），点B（3，5），点P是直线上动点，当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标是_________．
12．到直线的距离为2的点的轨迹是______．
四、解答题
13．已知直线直线.
（1）若，求；
（2）在（1）条件下，求两直线间的距离.
14．过点的直线与过点的直线平行，且它们之间的距离为，求直线和的方程．
15．已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．
（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；
（2）求反射光线所在的直线的方程．
（3）求与距离为的直线方程．
16．设常数，已知直线，.
（1）若，求a的值；
（2）若，求与的距离；
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据两直线平行的性质和平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为直线，平行，所以有，
因此两平行线间的距离为：，
故选：B
2．B
【分析】先求出a，利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行，
所以，解得：a=6，所以ax+8y+11=0为6 x+8y+11=0，即，
由两平行线间的距离公式可得：
两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为：.
故选：B.
3．D
【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
4．B
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出点关于直线的对称点，则即为的最小值.
【详解】根据题意画出图形，如图所示：
设点关于直线的对称点，
连接，则即为的最小值，且.
故选：.
【点睛】本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.
5．D
【分析】由已知可得顶点C到AB所在直线的距离为定值，由此可得顶点C的轨迹．
【详解】则
设C到AB边所在直线的距离为d，由的面积为5，得即；
顶点C的轨迹是与AB所在直线平行且与直线AB距离为的两条直线；
直线AB的方程为即
设点C所在直线方程为
解得或
点C的轨迹方程为或；
故选：D
6．C
【解析】作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.
7．CD
【分析】利用平行线间的距离公式即可求解.
【详解】解：因为所求直线与直线的距离为，
所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为：，，
，解得：或，
故所求直线方程为：或，
故选：CD.
8．AB
【分析】计算平行直线的距离得到A正确，截距相等的直线有和，B正确，直线的一个方向向量是，C错误，当时，两直线重合，D错误，得到答案.
【详解】两平行线间的距离为，A正确；
过点且在两坐标轴上截距相等的直线有和，B正确；
直线的一个方向向量是，C错误；
当时，两直线重合，D错误.
故选：AB.
9．
【分析】首先将两直线、对应的系数化为一样的，再根据两平行线的距离公式计算可得；
【详解】解：直线，即，
所以两条平行直线与之间的距离
故答案为：
10．
【解析】将直线的方程化为,再利用两平行线的距离公式求解.
【详解】直线的方程可化为,
则直线,之间的距离为,
故答案为:.
【点睛】本题考查求两平行线间的距离,注意应用公式时,两平行线方程必须是一般式方程,且的系数对应相等.
11．
【分析】因为点A、 B均在直线的同侧，只需作A点关于直线的对称点，然后联结，与直线的交点即为P点.
【详解】作A点关于直线的对称点（2,1），如图所示，易知，故，则与直线的交点即为所求交点.
易知的直线方程为，联立，解得，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：两线段和的最小值可以通过构造一个三角形，利用两边之和大于第三边求得，简化解题过程.
12．或
【分析】由题意可设所求点的轨迹方程为利用两平行线间的距离等于2求得m值，则点的轨迹方程可求．
【详解】由题意可知，到直线的距离为2的点的轨迹是与直线平行的两条直线，
且所求直线与已知直线间的距离为2，
设所求点的轨迹方程为
则由两平行线间的距离公式可得：
即解得或9．
到直线的距离为2的点的轨迹方程是或．
故答案为：或
13．（1）；（2）.
【解析】（1）根据两直线平行可得出实数满足的等式与不等式，由此可解得实数的值；
（2）根据平行线间的距离公式可求得直线与之间的距离.
【详解】（1）已知直线直线，且，
则，解得；
（2）由（1）可知，直线的方程为，直线的方程为，
因此，直线与之间的距离为.
【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.
14．，；或，
【分析】当两直线的斜率不存在时，方程分别为，，不满足题意；
当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，由题意：，由此能求出所求的直线方程．
【详解】解：当两直线的斜率不存在时，方程分别为，，此时它们之间的距离为2，不满足题意；
当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，即，．
它们之间的距离为，
，化简得，解得，或，
这两条直线的方程为，；或，
15．（1）；（2）；（3）或．
【解析】（1）解方程组求得的坐标，然后得出其关于轴的对称点的坐标；
（2）解法一：根据反射原理，确定直线和直线的倾斜角的关系，进而利用斜率公式求得直线的斜率，得到直线的斜率，进而用点斜式写出方程；解法二：反射光线所在的直线的方程就是直线PN的方程，利用两点式可求；
（3）利用直线平行的条件设出所求直线的方程，利用平行直线间的距离公式求出所求直线的方程.
【详解】解：（1）由得，∴．
所以点M关于x轴的对称点P的坐标．
（2）解法一：
因为入射角等于反射角，
直线MN的倾斜角为，则直线的斜角．
，所以直线的斜率．
故反射光线所在的直线的方程为：．
即．
解法二：
因为入射角等于反射角，
所以反射光线所在的直线的方程就是直线PN的方程．
直线PN的方程为：，
整理得：．
故反射光线所在的直线的方程为．
（3）设与平行的直线为，
根据两平行线之间的距离公式得：，
解得，或，
所以与距离为的直线方程为：
或．
【点睛】本题关键是光线反射原理：入射角等于反射角，从而得到入射线与反射线所在直线的倾斜角的关系，求到给定直线距离为定值的直线的方程，关键是根据直线平行的条件设出所求直线的方程，熟练掌握平行直线的距离公式是解题的关键.
16．（1）；（2）.
【解析】（1）根据两直线垂直的条件求参数值；
（2）由平行的条件求得参数值，两方程中的系数分别化为相同，然后由平行间距离公式计算．
【详解】（1）由题意，解得；
（2）由两条平行显然，因此，解得或，
时，两直线方程均为，不合题意，
时，方程为，即，方程为，即，
所求距离为．
【点睛】易错点睛：本题考查由两直线平行与垂直求参数，考查平行间距离公式．在已知平行求参数时，一般在求得参数值时需要进行检验，剔除两直线重合的情形，这是易错点．