3.1.1函数的概念及其表示
常考题型目录
题型1 区间的表示 4
题型2 函数概念 6
类型1 函数定义的理解 6
类型2 已知对应关系判断函数 7
类型3 已知解析式判断函数 8
类型4 函数求值 9
类型5 函数图像的判断 14
类型6 函数个数问题 17
类型7 同一个函数的判断 18
题型3 函数的定义域及其求法 21
类型1已知函数解析式求定义域 21
类型2 抽象函数的定义域(括号里面范围相同) 23
考点1 已知f(x)求f(x+a)型 23
考点2 已知f(x+a)求f(x)型 23
考点3 已知f(x+a)求f(x+b)型 24
类型3 已知定义域求参数范围（用二次函数的图象求解） 26
题型4 求函数解析式 27
类型1 待定系数法 27
类型2 换元法（注意定义域） 29
类型3 方程组法 31
类型4 配凑法 32
题型5 分段函数 33
类型1 分段函数求值 33
类型2 已知函数值求参数(取值范围) 35
类型3 分段函数解析式 41
类型4 分段函数的图像 41
题型6 实际应用题 43
题型7 新定义习题 51
知识梳理：
知识点一.函数的定义
函数
两集合A、B 设A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
知识点二.函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
具体如下：
①解析法∶利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明
其定义域.
②列表法∶就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银
行的利率表等.其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值.这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去.
③图像法∶函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段
曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象.
注意：
函数的图像：将函数y=f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图像，即F={（x，y）|y=f（x），x∈A}.
知识点三.分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
知识点四.同一个函数
如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
知识点五.区间及相关概念
（1）一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a
在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
（3）特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
≥
≤
题型分类
题型1 区间的表示
【例题1-1】（2022·全国·高一专题练习）下列区间与集合或相对应的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据区间的概念判断即可.
【详解】集合中的可以表示为区间，集合中的可以表示为区间，∵或是并集关系，∴集合表示为故选：C.
【变式1-1】1．（2022·全国·高一专题练习）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论.
【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集
①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，
④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．
⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，
故只有⑤可以，区间形式为，
故答案为：D.
【变式1-1】2．（2022·全国·高一专题练习）无穷大实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”．
【答案】
【分析】根据正负无穷大表示区间即可.
【详解】实数集R可以用区间表示为.
故答案为：
【变式1-1】3．（2022·全国·高一课时练习）用区间表示下列集合：
（1）______；（2）______；（3）______．
【答案】
【分析】由区间的定义即可得出答案.
【详解】（1） ；（2） ；
（3） .故答案为：；；.
题型2 函数概念
类型1 函数定义的理解
【例题2-1】（2022·全国·高一专题练习）函数符号表示（ ）
A．y等于f与x的乘积 B．一定是一个式子
C．y是x的函数 D．对于不同的x，y也不同
【答案】C
【分析】直接根据函数定义可判断.
【详解】符号，即“是的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“ 等于与的乘积”也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A、B错误；当时，或时，，故D错误.故选：C
【变式2-1】1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定都是无限集；
③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；
④对于任意的一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；
⑤表示当时，函数的值，这是一个常量．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假，利用函数值的定义判断④⑤的真假.
【详解】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故①不正确；
函数的定义域和值域不一定都是无限集，故②不正确；
根据函数的定义，可知③正确；
对于任意一个函数，如果x不同，那么y的值可能相同，也可能不同，故④不正确；
由函数值的定义，可知⑤正确.故选：B．
【变式2-1】2.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；
②对于不同的x值，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①③正确，②是错误的，对于不同的x值，y的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来．
类型2 已知对应关系判断函数
【例题2-2】下列对应中是A到B的函数的个数为( )
A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；（2）A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
（3）A＝[-1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0；
（4）A={1,2,3},B={a,b}对应关系如下图所示：
A={1，2，2}，B={4,5,6}对应关系如下图所示：
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
（2）对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
（3）对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；
（4）集合B不是确定的数集，故不是A到B的函数；
（5）集合A中的元素3在B中没有对应元素，且A中元素2在B中有两个元素5和6与之对应，故不是A到B的函数．
【变式2-2】判断下列对应是否构成集合A到集合B的函数：
(1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x-1|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2＋x；
【解析】(1)否．A中元素0在B中无元素与之对应．(2)是．同时满足任意性和惟一性．
类型3 已知解析式判断函数
【例题2-3】（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）下列解析式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义判断各选项的对错.
【详解】对于选项C，当时，或，由函数的定义可得中的y不是x的函数函数；由函数的定义知；，，中的y是x的函数，故选：C.
【变式2-3】1．（2022·全国·高一课时练习）下列各式为y关于x的函数解析式是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可
【详解】A项，，定义域为R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误；
B项，，定义域为，无解，所以不是函数，B项错误；
C项，，定义域为R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；D项，，当时，y有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误.故选：C.
【变式2-3】2．（2022·全国·高一专题练习）下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】对A，由得是函数关系；
对B，由，得是函数关系；
对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系；
对D，由，得是函数关系，故选：C
类型4 函数求值
【例题2-4】（2022·贵州·六盘水市第五中学高一期末）已知函数的定义域和值域都是集合，其定义如表所示，则____________．
x 0 1 2
0 1 2
【答案】
【分析】根据表格从里层往外求即可.
【详解】解：由表可知，.故答案为：.
【变式2-4】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（ ）
x 1 2 3
2 3 0
A．3 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据图象可得，进而根据表格得.
【详解】由题图可知，由题表可知，故．故选:D．
【变式2-4】2．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）已知对应关系：，，，若，则在中的对应元素是（ ）
A．15 B．17 C． D．
【答案】A
【分析】按照对应关系直接计算即可.
【详解】4在中的对应元素是.故选：A.
【变式2-4】3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域是 D．函数的值域是
【答案】AD
【分析】根据图像分析各选项即可.
【详解】选项A：由图像可得，所以，A正确；
选项B：图像法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图像不能得出的确定值，B错误；
选项C：由图像可得函数的定义域为，C错误；
选项D：由图像可得函数的值域为，D正确.故选：AD.
【变式2-4】4．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知函数和分别由下表给出：
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25
2 3 4 5 6
1 3 2 4 5
则__________，不等式的解集为__________．
【答案】 2
【分析】由内到外，先由表得到的值，再由表得出的值即可；第二空先查的的值，再由等于刚才查出的的值，查出对应的的值即可.
【详解】由表得 ， ，所以 ；
当时，
由 得 ，由得 ，由 得 ；
所以 的解集为
故答案为：2; .
【变式2-4】5．（2022·全国·高一课时练习）已知，.
(1)求，的值；
(2)求，的值；
(3)求，的值域.
【答案】(1)，；(2)，；
(3)的值域是，的值域是
【分析】（1）将分别代入与的解析式，求值即可；
（2）由（1），将，的值分别代入与的解析式，求值即可；
（3）利用二次函数的性质以及反比例函数的性质可得答案．
（1）∵，∴∵，∴.
（2）由（1）知，.
（3）∵，∴，∴的值域是.
∵，∴的值域是.
【变式2-4】6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的解析式.
(1)求；(2)若，求a的值；
(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.
【答案】(1)(2)或(3)图象见解析，
【分析】（1）根据解析式直接求解可得；（2）根据a的范围分段解方程可得；
（3）根据解析式直接描点作图即可.
（1）∵函数的解析式，∴，.
（2）∵，，∴或或，解得或.
（3）画出函数的图象如图所示：
由图可知，的最大值为，函数的值域为.
【变式2-4】7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则______.
【答案】##1010.75
【分析】观察所求结构，考察的值，然后可得.
【详解】因为，，
所以
.故答案为：
【变式2-4】8．（2022·全国·高一课时练习）已知，．
（1）计算：____________；
（2）计算：____________．
【答案】 1 ##3.5
【分析】根据函数解析式计算（1），由（1）的结论及解析式计算（2）即可.
【详解】（1），，所以．
（2）由（1）知，从而，
故，
而，所以．
故答案为：1；.
类型5 函数图像的判断
【例题2-5】（2022·全国·高一课时练习）直线x＝a与函数的图象的交点个数是______．
【答案】0或1##1或0
【分析】讨论、，结合函数的定义判断交点个数.
【详解】设的定义域为D，若，根据函数的定义知：没有函数值与之对应；
若，根据函数的定义知：有唯一的函数值与之对应．故交点个数是0或1．故答案为：0或1
【变式2-5】1．（2022·全国·高一单元测试）在下列图形中，能表示函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数关系与任意垂直于轴的直线最多有1个交点判断即可.
【详解】由题意，ABC与垂直于轴的直线可能有多于1个交点，D与任意垂直于轴的直线最多有1个交点可得D正确.故选：D
【变式2-5】2．（2022·全国·高一课时练习）下列图形能表示函数图象的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，判断任意垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案.
【详解】由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，
所以A、B显然不符合，C在与函数图象有两个交点，不符合，只有D符合要求.
故选：D
【变式2-5】3．（2022·全国·高一课时练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，
A，C，D满足函数的定义，故选：B
【变式2-5】4.(易错题)下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析：选C.A项，函数定义域为M，但值域不是N；B项，函数定义域不是M，值域为N；D项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C项．
【变式2-5】5.（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.
【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.
故选：B.
【变式2-5】6．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，给出下列四个对应法则，其中能构成从集合M到集合N的对应关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】按照函数定义注意判断即可.
【详解】对于选项A，，但.故不能构成从到的函数.
对于选项B，.故能构成从到的函数.
对于选项C，，但.故不能构成从到的函数.
对于选项D，.故能构成从到的函数.故选: BD.
类型6 函数个数问题
【例题2-6】若函数满足，则这样的函数共有 个
【答案】1【解析】函数y=f(x)中x是原象，对应的象为f(x)，而y=f[f(x)]中，f(x)是原象，f[f(x)]为对应的象，满足条件的函数如图所示，只有一个。
【变式2-6】1.设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A．{1} B．{－1} C．{－1，1} D．{－1，0}
【答案】D
【解析】[若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02＝0 B.]
【变式2-6】2．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知集合，，为集合到的一个函数，则这样的函数有___________ 个.
【答案】
【分析】列举出满足题意得出函数，可得结果.
【详解】满足题意得出函数为：或或或.
故满足条件的函数个数为.故答案为：.
类型7 同一个函数的判断
【例题2-7】（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）下列各组函数是同一函数的是（ ）
① 与； ②与；
③与； ④与.
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得
【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；
②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
④与的定义域都是，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数，综上所述，是同一函数的是②③④，故选：C
【变式2-7】1．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.
【详解】对于A中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；
对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；
对于C中，函数的定义域为，而函数的定义域为 ，所以两个函数不是同一个函数；
对于D中，函数的定义域为，
而函数的定义域为，所以不是同一个函数，
故选：B
【变式2-7】2．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.
【详解】解：的定义域为．
对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；
对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．
故选：ACD．
【变式2-7】3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AD
【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.
【详解】对于选项A，，两个函数的定义域均为，且，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A正确；
对于选项B，，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B错误；
对于选项C，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C错误；
对于选项D，，两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确．
故选：AD.
题型3 函数的定义域及其求法
求函数定义域常见结论：
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次根式的被开方数不小于零；
(3)对数函数的真数必须大于零；
(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)；
(6)零次幂的底数不能为零；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
类型1已知函数解析式求定义域
【例题3-1】（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域
(1)；(2)；(3)（）.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由题意可得，解不等式组可得答案，
（2）由题意得，解不等式组可得答案，
（3）由解析式得，解不等式组可得答案，
（1）因为所以，解得或所以函数的定义域为；
（2）因为，所以，解得：或
所以函数的定义域为；
因为（）所以解得： 所以函数（）的定义域为；
【变式3-1】1．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.
(1)；(2).
【答案】(1)(2)
【分析】根据函数解析式，分别列出不等式，解出即可.
（1）要使该函数有意义，只需，解得，且，所以该函数的定义域为:
（2）要使该函数有意义，只需，解得，且，
所以该函数的定义域为:
【变式3-1】2．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.
【详解】解：由已知得，解得且，所以函数的定义域为，故选：B.
类型2 抽象函数的定义域(括号里面范围相同)
考点1 已知f(x)求f(x+a)型
【例题3-2】（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【答案】
【分析】直接解不等式可得.
【详解】由解得，所以函数的定义域为.
故答案为：
【变式3-2】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______；
【答案】
【分析】由题意，根据，解不等式即可得答案；
【详解】因为函数的定义域为，所以，即，所以，
所以函数的定义域为．
【变式3-2】2.已知函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，求g(x)＝f(x-2）＋f(x-1)的定义域．
【答案】[2，3]
【解析】由题意，解得[2，3]
【变式3-2】3.若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________.
【答案】[0，1)
【解析】由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0，1)．
考点2 已知f(x+a)求f(x)型
【例题3-3】已知函数f(x＋1)的定义域为(-2，-1)，则函数f(x)的定义域为( )
A. B．(-1，0) C．(-3，-2) D.
【答案】B
【解析】∵函数f(x＋1)的定义域为(－2，－1)，∴－1【变式3-3】1.已知f(x-1)的定义域为[-3，3]，则f(x)的定义域为____________．
【答案】 [－4，2]
【解析】∵－3≤x≤3，∴－4≤x－1≤2，∴f(x)的定义域为[－4，2]．
【变式3-3】2.已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1，4]，求函数y＝f(x)的定义域；
【答案】[3，6]
【解析】∵y＝f(x＋2)中，1≤x≤4，∴3≤x＋2≤6，∴函数y＝f(x)中，3≤x≤6，故函数y＝f(x)的定义域为[3，6]．
【变式3-3】3.已知函数f（2x+1）的定义域为（﹣2，0），则f（x）的定义域为（ ）
【答案】∵f（2x+1）的定义域为（﹣2，0），即﹣2＜x＜0，∴﹣3＜2x+1＜1．即f（x）的定义域为（﹣3，1）．
考点3 已知f(x+a)求f(x+b)型
【例题3-4】已知函数的定义域为，则的定义域为______．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，即，所以，即的定义域为，所以，解得，
所以函数的定义域为．
【变式3-4】1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
【答案】
【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法求解作答.
【详解】因的定义域为，则当时，，
即的定义域为，于是中有，解得，
所以函数的定义域为.故答案为：
【变式3-4】2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
【分析】由条件可得，，即可得到函数的定义域，然后可建立不等式组求解.
【详解】因为函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.
【变式3-4】3．（2022·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为______；若函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，即，所以，，故函数的定义域为.因为函数的定义域为，即，所以，则函数的定义域为，令，得，所以函数的定义域为.故答案为: ，
【变式3-4】4.已知定义域是，求的定义域
答案：.解析：∵定义域为，即，∴ ，
则定义域为，∴定义域为，
∴即的定义域为.
【变式3-4】5.求函数的定义域是，求函数的定义域
答案：解析：由得，故函数的定义域为
类型3 已知定义域求参数范围（用二次函数的图象求解）
【例题3-5】若函数 的定义域为，则实数的取值范围.
答案：（0，1）解析：分式型函数分母不为零，当x的范围为r时，恒成立；
即；所以的取值范围是.
【变式3-5】1.若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
【答案】[0，3)【解析】因为函数y＝的定义域为R，所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0【变式3-5】2.若函数f(x)＝的定义域为R，求m的取值范围．
【答案】[0，3)【解析】 要使函数f(x)有意义，必须mx2＋x＋3≠0.又因为函数的定义域为R，
故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，
与f(x)定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意．当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，得m>.
综上可知m的取值范围是.
【变式3-5】3．（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是__________.
【答案】
【分析】根据函数解析式，得到不等式，分类讨论，可得答案.
【详解】依题意，，成立，当时，成立，即，
当时，，解得，因此得，
所以的范围是.
故答案为：
【变式3-5】4.若函数的定义域为R，则实数的取值范围是_______.
【答案】【解析】 对于 恒成立，当 时， 恒成立；当 时， ，综上 .
【变式3-5】5.若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
【答案】 －【解析】函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．
不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，
所以解得所以a＋b＝－－3＝－.
题型4 求函数解析式
类型1 待定系数法
【例题4-1】（2022·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.
【详解】依题意，设，则有，解得，所以.故选：D
【变式4-1】1.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)-2f(x-1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
【答案】f(x)＝2x＋7.
【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，∴解得∴f(x)＝2x＋7.
【变式4-1】2.已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x-1，求f(x)；
【答案】f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
【解析】设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k2x＋kb＋b，∴∴或故f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
【变式4-1】3.若二次函数g(x)满足g（1）＝1，g(-1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
【答案】B
【解析】(待定系数法)设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g（1）＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴解得∴g(x)＝3x2－2x，故选B.
【变式4-1】4．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）下列结论中正确的是（ ）
A．若二次函数的图像过点，则二次函数的解析式为
B．若抛物线的顶点为，且过点则此抛物线的解析式为
C．若二次函数的图像与轴交于点和，且过点，则二次函数的解析式为
D．若抛物线经过点，其顶点的纵坐标为6，则这个抛物线的解析式为
【答案】AB
【分析】由一元二次函数的图像和性质判断各选项即可.
【详解】选项A：将代入得解得，所以二次函数解析式为：，A正确；
选项B：因为二次函数的顶点为，且过点所以解得，所以抛物线解析式为：，B正确；
选项C：将，，代入得解得，所以二次函数解析式为：，C错误；
选项D：因为抛物线经过点，由抛物线的对称性得对称轴为，顶点为，由解得，D错误.
故选：AB
【变式4-1】5．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实数根，且f’(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．
【解析】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋c.又因为方程f(x)＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝4－4c＝0，解得c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
类型2 换元法（注意定义域）
【例题4-2】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.
【详解】解：方法一（配凑法）∵，
∴.
方法二（换元法）令，则，∴，
∴.故选：A
【变式4-2】1．（2022·全国·高一课时练习）若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.
【详解】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误；
（且），故D正确．故选：AD．
【变式4-2】2.（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将已知解析式配方，可得，再通过换元法求得解析式．
【详解】因为令，所以 所以故选：C.
【变式4-2】3.已知f＝，求f(x)的解析式．
【答案】f(x)＝（x≠－1）【解析】令＝t，因＝－1＋≠－1，故t≠－1，且x＝.由f ＝，得f(t)＝＝(t≠－1)．于是得f(x)＝，其定义域是{x|x≠－1}．
【变式4-2】4.已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x).
解析 根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x为定值．设f(x)－ln x＝t，t为常数，则f(x)＝ln x＋t且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋1，
类型3 方程组法
【例题4-3】已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝________.
【答案】f(x)＝＋.
【解析】在f(x)＝2f()·－1中，用代替x，得f()＝2f(x)·－1，将f()＝－1代入f(x)＝2f()·－1中，可求得f(x)＝＋.
【变式4-3】1.已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求f(x)．
【答案】f(x)＝－x＋.
【解析】以－x代替x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，∴f(－x)＝－3f(x)－2x＋1，代入f(x)＋3f(－x)＝2x＋1可得f(x)＝－x＋.
【变式4-3】2.已知函数f(x)满足f ＋2f ＝3x，则f(－2)＝________.
【答案】－
【解析】由题意可得解得令2＋＝－2，可得x＝－，则f(－2)＝3×＝－.
类型4 配凑法
【例题4-4】（2022·全国·高一专题练习）已知函数，且，则（ ）
A．7 B．5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用凑配法求函数的解析式，代入即可求解.（或者换元法）
【详解】,.,解得．故选：A.
【变式4-4】1．（2022·全国·高一专题练习）已知，则函数的解析式为____．
【答案】
【分析】利用配凑法求函数解析式.
【详解】解：因为所以.故答案为：
【变式4-4】2．（2022·全国·高一课时练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．3
【答案】B
【分析】令，配凑可得，再根据求解即可
【详解】令（或），，，，.故选；B
【变式4-4】3.已知f(x－)＝x2＋，则函数f(x＋1)的表达式为________________.
【答案】f(x＋1)＝x2＋2x＋3
【解析】∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，∴f(x)＝x2＋2.∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋2＝x2＋2x＋3.
题型5 分段函数
【例题5】（2022·全国·高一专题练习）分段函数
（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的________的函数．
（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的____；各段函数的定义域的交集是______
【答案】 对应关系 并集 空集
【分析】根据分段函数的定义及性质即可得答案.
【详解】解：(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系的函数；
(2) 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.故答案为：(1) 对应关系;(2) 并集, 空集.
类型1 分段函数求值
【例题5-1】（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】解：因为，所以，
所以；故选：D
【变式5-1】1．（2022·河南安阳·高一期末）设，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】A
【分析】根据所给分段函数解析式计算可得；
【详解】解：因为，，所以，所以．故选：A
【变式5-1】2.下表表示函数y＝f(x)，则f(11)＝( )
x
y 2 3 4 5
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵10≤x<15时，y＝4，∴y＝f(11)＝4
【变式5-1】3.设函数，则＝______.
【答案】
【解析】f（3）＝， f[f（3）]＝f＝2＋1＝.
【变式5-1】4.已知f(x)＝([x]＋1)2＋2，其中[x]表示不超过x的最大整数，则f(－2.5)＝( )
A．2 B．3 C．2 D．6
【答案】D
【解析】由题意得[－2.5]＝－3，∴f(－2.5)＝([－2.5]＋1)2＋2＝(－3＋1)2＋2＝6.
类型2 已知函数值求参数(取值范围)
【例题5-2】已知函数f(x)＝，若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________.
【答案】2
【解析】本题考查分段函数．由题意得， f[f(0)]＝f2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.
【变式5-2】1.已知函数f(x)＝.
（1）求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值； （2）若f(a)＝3，求实数a的值．
【答案】（1）-4 － （2）
【解析】（1）∵－5<－2，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－2<－<2， ∴f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵－<－2，∴f(－)＝－＋1＝－.
又∵－2<－<2，∴f[f(－)]＝f(－)＝(－)2＋2×(－)＝－.
（2）当a≤－2时，f(a)＝a＋1，即a＋1＝3，a＝2，不合题意，舍去；
当－2∵1∈(－2，2)，－3 (－2，2)，∴a＝1符合题意；
当a≥2时，f(a)＝2a－1，即2a－1＝3，a＝2，符合题意．
综上可知，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
【变式5-2】2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
【答案】BC
【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.
【详解】函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．故选：BC．
【变式5-2】3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数
(1)求，，的值；
(2)若，求实数a的值；
(3)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；；；
(2)或；(3)．
【分析】（1）根据函数的解析式即得；（2）分类讨论，解方程即得；
（3）分类讨论，解不等式组即得.
（1）由题可得，，
因为，所以；
（2）①当时，，解得，不合题意，舍去；
②当时，，即，解得或，
因为，，所以符合题意；
③当时，，解得，符合题意；综合①②③知，当时，或；
（3）由，得或或，解得或，故所求m的取值范围是.
【变式5-2】4．（2022·全国·高一课时练习）已知，则使成立的x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】解不等式组或，即得解.
【详解】解：∵，∴或，∴或，即，∴使成立的x的取值范围是．故答案为：
【变式5-2】5．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知函数，则满足等式的实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】分别在、、和的情况下得到方程，解方程即可得到结果.
【详解】当，即时，，解得：；
当，即时，，满足题意；
当，即时，，，，解得：；
当，即时，，，，方程在上无解；综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式5-2】6．（2022·全国·高一专题练习）函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】先利用基本不等式求得当时的最小值，由恒成立，得代入数值即可求解.
【详解】当时， ，
当且仅当即时取等号，函数，若恒成立，则，即，解得，故答案为：.
【变式5-2】7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集.
【详解】解：当时，，则可化为，解得，又，所以.
当时，，则可化为，解得，又，所以.综上，.
故选：B.
【变式5-2】8.（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）已知函数.
（1）________；
（2）若函数在（，10）上有8个零点（i=1，2，3，…，8），则的取值范围为________.
【答案】
【分析】（1）根据分段函数的解析式求函数值；
（2）利用函数与方程的思想，结合函数图象，根据函数零点个数求参数的范围.
【详解】（1）.
（2）画出图像知，有8个零点，即与有8个交点.
此时，.又.若函数在上有8个零点，则的取值范围为.故答案为：2，
类型3 分段函数解析式
【例题5-3】已知f(x)＝，则f[f(x)]＝( )
A．f[f(x)]＝ B．f[f(x)]＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
【答案】A【解析】当x>0时，f[f(x)]＝f(-x)＝(-x)2＝x2；当x<0时，f[f(x)]＝f(x2)＝-(x2)＝-x2，∴f[f(x)]＝.
【变式5-3】已知函数f(x)定义在[－1，1]上，其图象如图所示，那么f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
【答案】C【解析】∵f(x)的图象是由两条线段组成，∴由一次函数解析式的求法可得f(x)＝.
类型4 分段函数的图像
【例题5-4】（2022·全国·高一课时练习）作出下列函数的图象：
(1)；
(2)；
(3)，其中表示不大于x的最大整数．
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析.
【分析】根据题意写出分段函数的解析式，然后作图即得.
（1）因为函数，
画出其图象如图所示：
；
（2）函数的图象是两段抛物线与一个点，画出其图象如图所示．
（3）由题可得，画出其图象如图所示：
.
【变式5-4】1.函数y＝ax2＋a与y＝(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
【答案】D【解析】由函数y＝ax2＋a中一次项系数为0，易得函数y＝ax2＋a的图象关于y轴对称，可排除A；
当a>0时，函数y＝ax2＋a的图象开口方向朝上，顶点(0，a)在x轴上方，可排除C; 当a<0时，函数y＝ax2＋a的图象开口方向朝下，顶点(0，a)在x轴下方，函数y＝(a≠0)的图象位于第二、四象限，可排除B．
【变式5-4】2.函数y＝x＋的图象是( )
【答案】C【解析】 y＝x＋＝
题型6 实际应用题
【例题6-1】（2022·全国·高一专题练习）一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（ ）
A．3050 B．2250 C．2050 D．2890
【答案】C
【分析】设小明从1600处到终点的速度为 m 米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为 n米/秒，由题可得小明跑(a+100)秒与小刚跑(a+100)秒，两人跑的距离相等，小明跑了a秒后还需要200秒到达终点，而小刚跑了a秒后还需要100秒到达终点，据此列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【详解】设小明从1600处到终点的速度为 m 米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为 n 米/秒，根据题意，得，解得：，
故这次越野跑的全程为：（米），
即米．故选：C．
【变式6-1】1．（2022·全国·高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出和时，关于的函数关系式，再求出时，的值，然后结合函数图象即可得出答案．
【详解】当时，设，将点代入得：，解得，
则此时，当时，设，将点代入得：，
则此时，综上，，当时，，解得，
当时，，解得，则当时，，
所以此次消毒的有效时间是（分钟），故选：C．
【变式6-1】2．（2022·全国·高一专题练习）矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（ ）
A．（） B．（）
C． （） D．（）
【答案】ABD
【分析】根据已知条件逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为，
所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确，
对于B，由选项A，可知（），所以B正确，
对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，，
因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误，
对于D，由选项C可知，，所以，
因为，所以（），所以D正确，
故选：ABD
【变式6-1】3．（2022·浙江金华第一中学高一开学考试）某工厂有甲 乙 丙 丁四个不同的车间生产电子元件，由于生产设备不同，工人在不同车间日生产量也不一定相同，但皆为整数，某日，该工厂接到一批生产订单，工厂老板想将工人合理分配到不同车间，已知甲车间的工人数与乙车间相同，丙车间的工人数是丁车间的倍且比甲车间工人数多，甲车间与丁车间的工人数之和不少于人且不超过人；甲车间与丁车间每个工人的日生产量相同，乙车间每个工人的日生产量为丙车间每个工人日生产量的倍，甲车间与丙车间每个工人的日生产量之和为件，且甲车间每个工人的日生产量不低于丙车间每个工人日生产量的且不超过件；甲车间 丙车间的日生产之和比乙车间 丁车间的日生产之和少件.则当甲 丙两车间当日生产量之和最多时，该工厂调配前往甲车间的人数为___________人.
【答案】
【分析】根据题意设甲、乙、丙、丁车间的人数，与甲、乙、丙、丁车间的日生产量，
则由甲车间、丙车间的日生产之和比乙车间、丁车间的日生产之和少件，转化为只含有的方程，进一步因式分解化简得，得，根据不等式求得的范围，由是整数，即可求得，得到，由题意列出目标函数，即当日生产量之和并化简得，
求出的范围，根据单调性，即可求得当日生产量之和最多时的值.
【详解】根据题意设甲、乙、丙、丁车间的人数分别为人，甲、乙、丙、丁车间的每个工人日生产量分别为，则，，，所以，
所以，即，
因式分解得，，又代入整理可得，，所以，由得，解得，所以，因为是整数，即是整数，
所以，解得，此时
设甲、丙两车间当日生产量之和为，则，又，所以，即，所以时，取得最大值，此时.故答案为：.
【点睛】本题考查了方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质求最值问题，理清题中各关系量是解题的关键.
【变式6-1】4．（2022·全国·高一专题练习）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，．动点P从点B出发，沿折线方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是______．
【答案】90
【分析】由题可得，进而可得，，解得，即可求解．
【详解】由题可知，，
过点A作于点H，则，在中，，则 ，当点P在点D处时，，解得，则四边形ABCD的面积为 .故答案为：90．
【变式6-1】5．（2022·全国·高一专题练习）如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．那么______；若点，在该“波浪线”上，则的值为______，的最大值为______．
【答案】 5 4 5
【分析】根据确定点，代入反比例函数解析式解困确定 k 值；根据平移规律，确定点在抛物线上，且与的纵坐标相同，根据“波浪线”的最高值为5，确定的最大值为5．
【详解】∵，∴点，代入，
解得；根据平移规律，确定点在抛物线上，且与的纵坐标相同，
∴ ，∵抛物线的最大值为5，∴n的最大值为5.
故答案为：5；4；5．
【变式6-1】6．（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数(且)的图象在第一象限交于点、，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．已知，．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)若点为一次函数图象上的动点，求长度的最小值．
【答案】(1)或，反比例函数的解析式为；(2)长度的最小值为.
【分析】(1)由条件在函数的图象上，列方程求的值和该函数的解析式；(2)由条件求出的坐标，再求出直线方程，由此可求长度的最小值．
（1）由已知点为函数上的点，所以，解得：或，
所以反比例函数的解析式为；
（2）因为，所以由已知与相似，，所以，所以，故点的横坐标为1，又点在函数的图象上，所以的坐标为，因为点都在函数的图象上，所以，，
所以，，所以，，由为直角三角形，设点到直线的距离为，则，故，又当时，的长度最小，
所以长度的最小值为.
【变式6-1】7．（2022·全国·高一课时练习）高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm，其中长边 AD 为 x cm，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E．
(1)用 x 表示图1中的面积；
(2)已知镀金工艺是2元/，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．
【答案】(1)；
(2)当 AD 为cm时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为元.
【分析】（1）设cm，根据条件可得，然后利用面积公式即得；
（2）利用基本不等式即得.
（1）因为cm，所以cm，设 cm，则cm，
因为，，，所以，所以cm，在中，由勾股定理得，
即，解得，所以，
所以的面积．所以的面积；
（2）设一个会徽的镀金费用为y元，则，当且仅当，，即时等号成立，
所以当AD为cm时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为元．
题型7 新定义习题
【例题7】（2022·全国·高一课时练习）（多选）设函数的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数为的“p界函数”.若给定函数，p＝2，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据“p界函数”的定义求得，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确；，，故B不正确；，，故C正确；
，，故D正确.故选：ACD.
【变式7-1】1.（2022·福建省永泰县第一中学高一开学考试）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，因此______；若，则x=______.
【答案】 0或1
【分析】由符号表示p，q两数中较大的数求解.
【详解】解：因为符号表示p，q两数中较大的数，所以；
则，当时，，解得或（舍去）；当时，，解得或（舍去），所以或，
故答案为：，0或1
【变式7-1】2.（2020·江苏·明达中学高一阶段练习）对于函数，若存在，使得成立，则称为
y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)的不动点.
(1)当a=1,b= -2时，求函数y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)的不动点；
(2)若对任意实数，函数恒有不动点，求的取值范围.
【答案】(1)和(2)
【分析】（1）根据不动点的定义列方程，化简求得不动点.
（2）根据不动点的定义列方程，结合判别式求得的取值范围.
（1）当a=1,b=-2时，，由题意知：=x,=0,(x-3)(x+1)=0，
解得，，所以当a=1,b=-2时，函数y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)的不动点为和.
（2）由题知：y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)所以由于函数恒有不动点，所以，即又因为是任意实数，所以，即（），
解得，所以的取值范围是.
【变式7-1】3．（2022·全国·高一单元测试）具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】对各选项中的函数逐个检验后可得正确的选项.
【详解】对于A选项，x＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；
对于B选项，，满足“倒负”变换；
对于C选项，，，不满足“倒负”变换；
对于D选项，当时，，此时；
当x＝1时，，此时；
当时，，此时，满足“倒负”变换．故选：BD.
【变式7-1】4．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）函数的定义域为，且定义如下：，其中是实数集的非空真子集，在实数集上有两个非空真子集满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，结合新定义依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，对于任意的，则一定满足或，故一定成立，正确；
对于B选项，实数集上的两个非空真子集满足或，故或，故错误；
对于C选项，当时，则或，由于，则，故错误；
对于D选项，时，则或，故，或，此时；当，则，故故，，此时，故，正确.故选：AD
【变式7-1】5．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）函数符号是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的，他的意思是凡是变量x和常数构成的式子都叫做x的函数.用符号表示函数解题时十分方便，当时，对应的函数值可以用表示.如函数可记为，，，，.给出函数，其中a，b为非零常数.
(1)当时，求，；
(2)若，，求a，b的值，并求的取值范围;
(3)在（2）的条件下，若，试比较与的大小.
【答案】(1)，；(2)，；
(3).
【分析】（1）直接根据解析式计算求解；
（2）由条件联立方程组求出a，b，再由均值不等式求出范围即可；
（3）由不等式的性质，利用做差法比较即可.
(1)当时，,，.
(2)由已知，解得，故，
当时，（当且仅当，即时取等号）
当时，，，
从而（当且仅当，即时取等号），
所以的取值范围为.
(3)，，，， .3.1.1函数的概念及其表示
常考题型目录
题型1 区间的表示 4
题型2 函数概念 5
类型1 函数定义的理解 5
类型2 已知对应关系判断函数 5
类型3 已知解析式判断函数 6
类型4 函数求值 7
类型5 函数图像的判断 9
类型6 函数个数问题 10
类型7 同一个函数的判断 11
题型3 函数的定义域及其求法 11
类型1已知函数解析式求定义域 12
类型2 抽象函数的定义域(括号里面范围相同) 12
考点1 已知f(x)求f(x+a)型 12
考点2 已知f(x+a)求f(x)型 12
考点3 已知f(x+a)求f(x+b)型 13
类型3 已知定义域求参数范围（用二次函数的图象求解） 13
题型4 求函数解析式 13
类型1 待定系数法 13
类型2 换元法（注意定义域） 14
类型3 方程组法 15
类型4 配凑法 15
题型5 分段函数 15
类型1 分段函数求值 16
类型2 已知函数值求参数(取值范围) 16
类型3 分段函数解析式 18
类型4 分段函数的图像 18
题型6 实际应用题 19
题型7 新定义习题 22
知识梳理：
知识点一.函数的定义
函数
两集合A、B 设A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
知识点二.函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
具体如下：
①解析法∶利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明
其定义域.
②列表法∶就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银
行的利率表等.其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值.这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去.
③图像法∶函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段
曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象.
注意：
函数的图像：将函数y=f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图像，即F={（x，y）|y=f（x），x∈A}.
知识点三.分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
知识点四.同一个函数
如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
知识点五.区间及相关概念
（1）一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
（3）特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
≥
≤
题型分类
题型1 区间的表示
【例题1-1】（2022·全国·高一专题练习）下列区间与集合或相对应的是（ ）.
A． B．
C． D．
【变式1-1】1．（2022·全国·高一专题练习）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-1】2．（2022·全国·高一专题练习）无穷大实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”．
【变式1-1】3．（2022·全国·高一课时练习）用区间表示下列集合：
（1）______；（2）______；（3）______．
题型2 函数概念
类型1 函数定义的理解
【例题2-1】（2022·全国·高一专题练习）函数符号表示（ ）
A．y等于f与x的乘积 B．一定是一个式子
C．y是x的函数 D．对于不同的x，y也不同
【变式2-1】1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定都是无限集；
③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；
④对于任意的一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；
⑤表示当时，函数的值，这是一个常量．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-1】2.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；
②对于不同的x值，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型2 已知对应关系判断函数
【例题2-2】下列对应中是A到B的函数的个数为( )
A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；（2）A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
（3）A＝[-1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0；
（4）A={1,2,3},B={a,b}对应关系如下图所示：
A={1，2，2}，B={4,5,6}对应关系如下图所示：
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】判断下列对应是否构成集合A到集合B的函数：
(1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x-1|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2＋x；
类型3 已知解析式判断函数
【例题2-3】（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）下列解析式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】1．（2022·全国·高一课时练习）下列各式为y关于x的函数解析式是（ ）
B．
C． D．
【变式2-3】2．（2022·全国·高一专题练习）下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
类型4 函数求值
【例题2-4】（2022·贵州·六盘水市第五中学高一期末）已知函数的定义域和值域都是集合，其定义如表所示，则____________．
x 0 1 2
0 1 2
【变式2-4】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（ ）
x 1 2 3
2 3 0
A．3 B．0 C．1 D．2
【变式2-4】2．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）已知对应关系：，，，若，则在中的对应元素是（ ）
A．15 B．17 C． D．
【变式2-4】3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域是 D．函数的值域是
【变式2-4】4．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知函数和分别由下表给出：
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25
2 3 4 5 6
1 3 2 4 5
则__________，不等式的解集为__________．
【变式2-4】5．（2022·全国·高一课时练习）已知，.
(1)求，的值；
(2)求，的值；
(3)求，的值域.
【变式2-4】6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的解析式.
(1)求；(2)若，求a的值；
(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.
【变式2-4】7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则______.
\【变式2-4】8．（2022·全国·高一课时练习）已知，．
（1）计算：____________；
（2）计算：____________．
类型5 函数图像的判断
【例题2-5】（2022·全国·高一课时练习）直线x＝a与函数的图象的交点个数是______．
【变式2-5】1．（2022·全国·高一单元测试）在下列图形中，能表示函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】2．（2022·全国·高一课时练习）下列图形能表示函数图象的是（ ）
A． B．C． D．
【变式2-5】3．（2022·全国·高一课时练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B．C． D．
【变式2-5】4.(易错题)下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
【变式2-5】5.（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-5】6．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，给出下列四个对应法则，其中能构成从集合M到集合N的对应关系的是（ ）
A． B． C． D．
类型6 函数个数问题
【例题2-6】若函数满足，则这样的函数共有 个
【变式2-6】1.设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A．{1} B．{－1} C．{－1，1} D．{－1，0}
【变式2-6】2．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知集合，，为集合到的一个函数，则这样的函数有___________ 个.
类型7 同一个函数的判断
【例题2-7】（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）下列各组函数是同一函数的是（ ）
① 与； ②与；
③与； ④与.
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【变式2-7】1．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2-7】2．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-7】3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
题型3 函数的定义域及其求法
求函数定义域常见结论：
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次根式的被开方数不小于零；
(3)对数函数的真数必须大于零；
(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)；
(6)零次幂的底数不能为零；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
类型1已知函数解析式求定义域
【例题3-1】（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域
(1)；(2)；(3)（）.
【变式3-1】1．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.
(1)；(2).
【变式3-1】2．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
类型2 抽象函数的定义域(括号里面范围相同)
考点1 已知f(x)求f(x+a)型
【例题3-2】（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【变式3-2】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______；
【变式3-2】2.已知函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，求g(x)＝f(x-2）＋f(x-1)的定义域．
【变式3-2】3.若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________.
考点2 已知f(x+a)求f(x)型
【例题3-3】已知函数f(x＋1)的定义域为(-2，-1)，则函数f(x)的定义域为( )
A. B．(-1，0) C．(-3，-2) D.
【变式3-3】1.已知f(x-1)的定义域为[-3，3]，则f(x)的定义域为____________．
【变式3-3】2.已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1，4]，求函数y＝f(x)的定义域；
【变式3-3】3.已知函数f（2x+1）的定义域为（﹣2，0），则f（x）的定义域为（ ）
考点3 已知f(x+a)求f(x+b)型
【例题3-4】已知函数的定义域为，则的定义域为______．
【变式3-4】1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
【变式3-4】2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【变式3-4】3．（2022·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为______；若函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【变式3-4】4.已知定义域是，求的定义域
【变式3-4】5.求函数的定义域是，求函数的定义域
类型3 已知定义域求参数范围（用二次函数的图象求解）
【例题3-5】若函数 的定义域为，则实数的取值范围.
【变式3-5】1.若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
【变式3-5】2.若函数f(x)＝的定义域为R，求m的取值范围．
【变式3-5】3．（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是__________.
【变式3-5】4.若函数的定义域为R，则实数的取值范围是_______.
【变式3-5】5.若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
题型4 求函数解析式
类型1 待定系数法
【例题4-1】（2022·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】1.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)-2f(x-1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
【变式4-1】2.已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x-1，求f(x)；
【变式4-1】3.若二次函数g(x)满足g（1）＝1，g(-1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
【变式4-1】4．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）下列结论中正确的是（ ）
A．若二次函数的图像过点，则二次函数的解析式为
B．若抛物线的顶点为，且过点则此抛物线的解析式为
C．若二次函数的图像与轴交于点和，且过点，则二次函数的解析式为
D．若抛物线经过点，其顶点的纵坐标为6，则这个抛物线的解析式为
【变式4-1】5．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实数根，且f’(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．
类型2 换元法（注意定义域）
【例题4-2】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】1．（2022·全国·高一课时练习）若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】2.（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】3.已知f＝，求f(x)的解析式．
【变式4-2】4.已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x).
类型3 方程组法
【例题4-3】已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝________.
【变式4-3】1.已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求f(x)．
【变式4-3】2.已知函数f(x)满足f ＋2f ＝3x，则f(－2)＝________.
类型4 配凑法
【例题4-4】（2022·全国·高一专题练习）已知函数，且，则（ ）
A．7 B．5 C．3 D．4
【变式4-4】1．（2022·全国·高一专题练习）已知，则函数的解析式为____．
【变式4-4】2．（2022·全国·高一课时练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．3
【变式4-4】3.已知f(x－)＝x2＋，则函数f(x＋1)的表达式为________________.
题型5 分段函数
【例题5】（2022·全国·高一专题练习）分段函数
（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的________的函数．
（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的____；各段函数的定义域的交集是______
类型1 分段函数求值
【例题5-1】（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【变式5-1】1．（2022·河南安阳·高一期末）设，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【变式5-1】2.下表表示函数y＝f(x)，则f(11)＝( )
x
y 2 3 4 5
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-1】3.设函数，则＝______.
【变式5-1】4.已知f(x)＝([x]＋1)2＋2，其中[x]表示不超过x的最大整数，则f(－2.5)＝( )
A．2 B．3 C．2 D．6
类型2 已知函数值求参数(取值范围)
【例题5-2】已知函数f(x)＝，若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________.
【变式5-2】1.已知函数f(x)＝.
（1）求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值； （2）若f(a)＝3，求实数a的值．
【变式5-2】2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
【变式5-2】3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数
(1)求，，的值；
(2)若，求实数a的值；
(3)若，求实数m的取值范围．
【变式5-2】4．（2022·全国·高一课时练习）已知，则使成立的x的取值范围是_____．
【变式5-2】5．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知函数，则满足等式的实数的取值范围是______．
【变式5-2】6．（2022·全国·高一专题练习）函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________．
【变式5-2】7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】8.（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）已知函数.
（1）________；
（2）若函数在（，10）上有8个零点（i=1，2，3，…，8），则的取值范围为________.
类型3 分段函数解析式
【例题5-3】已知f(x)＝，则f[f(x)]＝( )
A．f[f(x)]＝ B．f[f(x)]＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
【变式5-3】已知函数f(x)定义在[－1，1]上，其图象如图所示，那么f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
类型4 分段函数的图像
【例题5-4】（2022·全国·高一课时练习）作出下列函数的图象：
(1)；
(2)；
(3)，其中表示不大于x的最大整数．
【变式5-4】1.函数y＝ax2＋a与y＝(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
【变式5-4】2.函数y＝x＋的图象是( )
题型6 实际应用题
【例题6-1】（2022·全国·高一专题练习）一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（ ）
A．3050 B．2250 C．2050 D．2890
【变式6-1】1．（2022·全国·高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
【变式6-1】2．（2022·全国·高一专题练习）矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（ ）
A．（） B．（）
C． （） D．（）
【变式6-1】3．（2022·浙江金华第一中学高一开学考试）某工厂有甲 乙 丙 丁四个不同的车间生产电子元件，由于生产设备不同，工人在不同车间日生产量也不一定相同，但皆为整数，某日，该工厂接到一批生产订单，工厂老板想将工人合理分配到不同车间，已知甲车间的工人数与乙车间相同，丙车间的工人数是丁车间的倍且比甲车间工人数多，甲车间与丁车间的工人数之和不少于人且不超过人；甲车间与丁车间每个工人的日生产量相同，乙车间每个工人的日生产量为丙车间每个工人日生产量的倍，甲车间与丙车间每个工人的日生产量之和为件，且甲车间每个工人的日生产量不低于丙车间每个工人日生产量的且不超过件；甲车间 丙车间的日生产之和比乙车间 丁车间的日生产之和少件.则当甲 丙两车间当日生产量之和最多时，该工厂调配前往甲车间的人数为___________人.
【变式6-1】4．（2022·全国·高一专题练习）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，．动点P从点B出发，沿折线方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是______．
【变式6-1】5．（2022·全国·高一专题练习）如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．那么______；若点，在该“波浪线”上，则的值为______，的最大值为______．
【变式6-1】6．（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数(且)的图象在第一象限交于点、，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．已知，．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)若点为一次函数图象上的动点，求长度的最小值．
【变式6-1】7．（2022·全国·高一课时练习）高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm，其中长边 AD 为 x cm，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E．
(1)用 x 表示图1中的面积；
(2)已知镀金工艺是2元/，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．
题型7 新定义习题
【例题7】（2022·全国·高一课时练习）（多选）设函数的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数为的“p界函数”.若给定函数，p＝2，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】1.（2022·福建省永泰县第一中学高一开学考试）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，因此______；若，则x=______.
【变式7-1】2.（2020·江苏·明达中学高一阶段练习）对于函数，若存在，使得成立，则称为
y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)的不动点.
(1)当a=1,b= -2时，求函数y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)的不动点；
(2)若对任意实数，函数恒有不动点，求的取值范围.
【变式7-1】3．（2022·全国·高一单元测试）具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】4．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）函数的定义域为，且定义如下：，其中是实数集的非空真子集，在实数集上有两个非空真子集满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】5．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）函数符号是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的，他的意思是凡是变量x和常数构成的式子都叫做x的函数.用符号表示函数解题时十分方便，当时，对应的函数值可以用表示.如函数可记为，，，，.给出函数，其中a，b为非零常数.
(1)当时，求，；
(2)若，，求a，b的值，并求的取值范围;
(3)在（2）的条件下，若，试比较与的大小.