高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第二章——2.3.3点到直线的距离公式
一、单选题
1.已知平面上一点,若直线上存在点这使,则称该直线为“切割型直线”.给出直线:①;②;③,其中是“切割型直线”的是( )
A.②③ B.① C.①② D.①③
2.已知点和点到直线的距离相等,且过点,则直线的方程为( )
A.或 B.或
C. D.
3.直线,为直线上动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知,从点射出的光线经x轴反射到直线上,又经过直线反射到P点,则光线所经过的路程为( )
A. B.6 C. D.
5.若直线l经过点,且点,到它的距离相等,则l的方程为( )
A. B.
C.或 D.或
6.已知定点和直线,则点到直线的距离的最大值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题
7.已知直线,则下列结论正确的是( )
A.直线的倾斜角是
B.若直线,则
C.点到直线的距离是2
D.过与直线平行的直线方程是
8.(多选)已知两点到直线的距离相等,则的值为( )
A. B. C. D.
三、填空题
9.点到直线的距离为______.
10.在同一平面内,已知直线和直线,若直线l到直线的距离与到直线的距离之比为,则直线l的方程为______.
11.点B在y轴上运动,点C在直线上运动,若,则的周长的最小值为___________.
12.一条光线从点射出,经x轴反射,其反射光线所在直线与圆相切,则反射光线所在的直线方程为____.
四、解答题
13.求点到直线的距离.
14.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).
(1)在直线l上求一点P,使PA+PB最小;
(2)在直线l上求一点P,使PB-PA最大.
15.已知入射光线经过点,被直线反射,反射光线经过点,求反射光线所在直线的方程.
16.已知平行四边形ABCD,、、,求:
(1)点D的坐标及点A到直线CD的距离;
(2)平行四边形ABCD的面积.
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.A
【分析】根据点到直线的距离判断各直线.
【详解】设点到直线的距离为,
①,即,,故直线上不存在到点的距离等于的点,不是“切割型直线”;
②,所以在直线上可以找到两个不同的点,使到点的距离等于,是“切割型直线”;
③,即,,故直线上存在一个点,使到点的距离等于,是“切割型直线”;
故选:A.
2.A
【分析】先求出直线的斜率,由点和点到直线的距离相等,且过点,得到直线与直线平行,且直线过点,或直线的方程为(过线段中点),由此能求出直线的方程.
【详解】解:∵点和点,∴,
∵点和点到直线的距离相等,且l过点,
∴直线与直线平行,且直线过点,或直线的方程为(过线段中点),
∴直线的方程为:,或,
整理得:或.
故选:A.
【点睛】本题考查求直线方程,考查点到直线的距离问题,利用平行或过线段的中点求解直线方程,属于基础题.
3.C
【分析】根据题意,所求最值即为到直线距离的平方,即可求解.
【详解】解:由题意得:表示到的距离的平方,而为直线上动点,所以的最小值,即为到直线距离的平方,即,
故选:C
4.C
【分析】直线AB的方程为:,点关于x轴的对称点,根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点, 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为,即得结果.
【详解】直线AB的方程为:,如图所示,
点关于x轴的对称点,
设点关于直线AB的对称点,如图,
则,且中点在直线上,
即联立解得,即,
所以根据反射原理的对称性,光线所经过的路程为:
.
故选:C.
【点睛】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质,考查了推理能力与计算能力,属中档题.
5.C
【分析】讨论直线斜率不存在、存在两种情况,利用点线距离公式列方程求参数,即可得直线方程.
【详解】当直线斜率不存在时,,显然,到它的距离相等,符合题设;
当直线斜率存在时,,即,
根据题设,,即,可得,解得,
∴l的方程为.
综上,l的方程为或.
故选:C
6.B
【分析】根据直线的方程先确定出直线所过的定点,然后判断出点到直线的距离的最大值为,结合点的坐标求解出结果.
【详解】将变形得,
所以是经过两直线和的交点的直线系.
设两直线的交点为,由得交点,
所以直线恒过定点,
于是点到直线的距离,
即点到直线的距离的最大值为.
故选:B.
7.CD
【分析】求出直线的斜率可得倾斜角,即可判断A;利用两直线垂直的条件可判断B;利用点到直线的距离公式可判断C;利用两直线平行的条件可判断D,进而可得正确选项.
【详解】由可得,所以直线的斜率为,
对于A:因为直线的斜率为,设直线的倾斜角为,则,可得,
故选项A不正确;
对于B:直线的斜率为,因为,所以不成立,故选项B不正确;
对于C:点到直线的距离是,故选项C正确;
对于D:设与直线平行的直线方程是,则,
可得,所以过与直线平行的直线方程是,故选项D正确;
故选:CD.
8.AD
【分析】利用点到直线距离公式表示两个距离,解绝对值方程,即得解
【详解】由题意得,
或
解得或
故选:AD
9.3
【分析】由于直线与轴垂直,只要用点的横坐标与直线中的点的横坐标相减即得.
【详解】直线与轴垂直,因此所求距离为.
故答案为:3.
10.或
【分析】由直线平行可设,根据距离之比即可得关于的方程,从而可求出直线l的方程.
【详解】解:由题意知,直线的方程可转化为.易知,
所以可设直线l的方程为(且).
由题意,可得,解得或.
故直线l的方程为或,
即或.
故答案为: 或.
【点睛】本题考查了直线间的距离公式,属于基础题.设出适合的直线方程是解本题的关键.
11.
【分析】关于轴的对称点,关于的对称点,连接交直线与,交轴于,则此时的周长的值最小,求出即可.
【详解】
解:关于轴的对称点,关于的对称点,
,
连接交直线与,交轴于,
的周长,
则此时的周长的值最小,即的长度即为三角形周长的最小值,
由题意及作图知.
设点,解得所以.
由两点距离公式知,.
故答案为:.
12.或
【解析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可
【详解】点关于轴的对称点为,
(1)设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,
因为反射光线与圆相切,
所以圆心到反射光线的距离,即,
解得,
所以反射光线的方程为:;
(2)当不存在时,反射光线为,此时,也与圆相切,
故答案为: 或
【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程
13.
【分析】直接利用距离公式计算可得;
【详解】解:点到直线的距离
14.(1)(-2,3);(2)(12,10).
【分析】(1)求出A关于直线l的对称点为A′,从而可得PA+PB=PA′+PB≥A′B,当且仅当B,P,A′三点共线时,PA+PB取得最小值,求出交点即可求解.
(2)A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,则|PB-PA|≤AB,当且仅当A,B,P三点共线时,|PB-PA|取得最大值,求出交点即可.
【详解】(1)设A关于直线l的对称点为A′(m,n),
则,
解得,
故A′(-2,8).
因为P为直线l上的一点,
则PA+PB=PA′+PB≥A′B,
当且仅当B,P,A′三点共线时,PA+PB取得最小值,
为A′B,点P即是直线A′B与直线l的交点,
则得,
故所求的点P的坐标为(-2,3).
(2)A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,
则|PB-PA|≤AB,
当且仅当A,B,P三点共线时,|PB-PA|取得最大值,
为AB,点P即是直线AB与直线l的交点,
又直线AB的方程为y=x-2,
则得,
故所求的点P的坐标为(12,10).
15.
【分析】设点关于直线的对称点为,解方程组求出的坐标,然后根据点斜式即可写出反射光线所在直线的方程.
【详解】解:设点关于直线的对称点为,则反射光线所在直线过点,
所以,解得,,即,
又反射光线经过点,所以,
所以所求直线的方程为,即.
故答案为:.
16.(1),;
(2)4.
【分析】(1)设出点D的坐标,利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算作答.
(2)求出线段CD长,由(1)的结论结合平行四边形面积公式计算作答.
(1)
设点,则有线段的中点坐标为,依题意,线段中点坐标为,
由平行四边形性质知:,解得,所以点D的坐标为;
直线CD的斜率,直线CD的方程为,即,
所以点到直线CD的距离.
(2)
由(1)知,线段CD长,
所以平行四边形ABCD的面积.