2.3.3点到直线的距离公式同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.3.3点到直线的距离公式
一、单选题
1．已知平面上一点，若直线上存在点这使，则称该直线为“切割型直线”.给出直线：①；②；③，其中是“切割型直线”的是（ ）
A．②③ B．① C．①② D．①③
2．已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C． D．
3．直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
5．若直线l经过点，且点，到它的距离相等，则l的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．若直线，则
C．点到直线的距离是2
D．过与直线平行的直线方程是
8．（多选）已知两点到直线的距离相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．点到直线的距离为______．
10．在同一平面内，已知直线和直线，若直线l到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线l的方程为______．
11．点B在y轴上运动，点C在直线上运动，若，则的周长的最小值为___________.
12．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.
四、解答题
13．求点到直线的距离．
14．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．
（1）在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；
（2）在直线l上求一点P，使PB－PA最大．
15．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程．
16．已知平行四边形ABCD，、、，求：
(1)点D的坐标及点A到直线CD的距离；
(2)平行四边形ABCD的面积．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据点到直线的距离判断各直线.
【详解】设点到直线的距离为，
①，即，，故直线上不存在到点的距离等于的点，不是“切割型直线”；
②，所以在直线上可以找到两个不同的点，使到点的距离等于，是“切割型直线”；
③，即，，故直线上存在一个点，使到点的距离等于，是“切割型直线”；
故选：A.
2．A
【分析】先求出直线的斜率，由点和点到直线的距离相等，且过点，得到直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点），由此能求出直线的方程.
【详解】解：∵点和点，∴，
∵点和点到直线的距离相等，且l过点，
∴直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点），
∴直线的方程为：，或，
整理得：或.
故选：A.
【点睛】本题考查求直线方程，考查点到直线的距离问题，利用平行或过线段的中点求解直线方程，属于基础题．
3．C
【分析】根据题意，所求最值即为到直线距离的平方，即可求解.
【详解】解：由题意得：表示到的距离的平方,而为直线上动点,所以的最小值，即为到直线距离的平方，即，
故选：C
4．C
【分析】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.
【详解】直线AB的方程为：，如图所示，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
【点睛】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
5．C
【分析】讨论直线斜率不存在、存在两种情况，利用点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程.
【详解】当直线斜率不存在时，，显然，到它的距离相等，符合题设；
当直线斜率存在时，，即，
根据题设，，即，可得，解得，
∴l的方程为.
综上，l的方程为或.
故选：C
6．B
【分析】根据直线的方程先确定出直线所过的定点，然后判断出点到直线的距离的最大值为，结合点的坐标求解出结果.
【详解】将变形得，
所以是经过两直线和的交点的直线系.
设两直线的交点为，由得交点，
所以直线恒过定点，
于是点到直线的距离，
即点到直线的距离的最大值为.
故选：B.
7．CD
【分析】求出直线的斜率可得倾斜角，即可判断A；利用两直线垂直的条件可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；利用两直线平行的条件可判断D，进而可得正确选项.
【详解】由可得，所以直线的斜率为，
对于A：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，可得，
故选项A不正确；
对于B：直线的斜率为，因为，所以不成立，故选项B不正确；
对于C：点到直线的距离是，故选项C正确；
对于D：设与直线平行的直线方程是，则，
可得，所以过与直线平行的直线方程是，故选项D正确；
故选：CD.
8．AD
【分析】利用点到直线距离公式表示两个距离，解绝对值方程，即得解
【详解】由题意得，
或
解得或
故选：AD
9．3
【分析】由于直线与轴垂直，只要用点的横坐标与直线中的点的横坐标相减即得．
【详解】直线与轴垂直，因此所求距离为．
故答案为：3．
10．或
【分析】由直线平行可设，根据距离之比即可得关于的方程，从而可求出直线l的方程.
【详解】解：由题意知，直线的方程可转化为．易知，
所以可设直线l的方程为（且）．
由题意，可得，解得或．
故直线l的方程为或，
即或．
故答案为: 或.
【点睛】本题考查了直线间的距离公式，属于基础题.设出适合的直线方程是解本题的关键.
11．
【分析】关于轴的对称点，关于的对称点，连接交直线与，交轴于，则此时的周长的值最小，求出即可．
【详解】
解：关于轴的对称点，关于的对称点，
，
连接交直线与，交轴于，
的周长,
则此时的周长的值最小，即的长度即为三角形周长的最小值，
由题意及作图知．
设点，解得所以.
由两点距离公式知，．
故答案为:．
12．或
【解析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可
【详解】点关于轴的对称点为,
（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,
因为反射光线与圆相切,
所以圆心到反射光线的距离,即,
解得,
所以反射光线的方程为:；
（2）当不存在时,反射光线为,此时,也与圆相切,
故答案为: 或
【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程
13．
【分析】直接利用距离公式计算可得；
【详解】解：点到直线的距离
14．（1）(－2，3)；（2）(12，10)．
【分析】（1）求出A关于直线l的对称点为A′，从而可得PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，求出交点即可求解.
（2）A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB－PA|≤AB，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，求出交点即可.
【详解】(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则，
解得，
故A′(－2，8)．
因为P为直线l上的一点，
则PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，
当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，
为A′B，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则得，
故所求的点P的坐标为(－2，3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则|PB－PA|≤AB，
当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，
为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
则得，
故所求的点P的坐标为(12，10)．
15．
【分析】设点关于直线的对称点为，解方程组求出的坐标，然后根据点斜式即可写出反射光线所在直线的方程.
【详解】解：设点关于直线的对称点为，则反射光线所在直线过点，
所以，解得，，即，
又反射光线经过点，所以，
所以所求直线的方程为，即．
故答案为：.
16．(1)，；
(2)4.
【分析】（1）设出点D的坐标，利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算作答.
（2）求出线段CD长，由（1）的结论结合平行四边形面积公式计算作答.
(1)
设点，则有线段的中点坐标为，依题意，线段中点坐标为，
由平行四边形性质知：，解得，所以点D的坐标为；
直线CD的斜率，直线CD的方程为，即，
所以点到直线CD的距离.
(2)
由（1）知，线段CD长，
所以平行四边形ABCD的面积.