2.3.2两点间的距离公式同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.3.2两点间的距离公式同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 574.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-07 02:18:01 | ||
图片预览
文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.3.2两点间的距离公式
一、单选题
1．过点和点的直线与直线垂直，则（ ）
A． B．4 C． D．2
2．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为．
A． B． C． D．
3．若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ）
A．3 B．
C．5 D．
4．已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
5．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x平行，则|AB|的值为( )
A．6 B． C． D．2
6．过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知直线和点，过点A作直线与直线l相交于点B，且，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（ ）
A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则
C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则
三、填空题
9．已知点，则线段AB的中点坐标为________.
10．曲线与直线相交于P，Q两点，当最小时，________．
11．光线从点出发射到x轴上，经反射后过点，则光线从点B到点A经过的路程为___________.
12．已知点，过原点的直线与直线交于点，若，则直线的方程为__________．
四、解答题
13．在直线上求一点P，使它到原点的距离与到直线的距离相等．
14．用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等
15．在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线，于点．
（1）若直线的斜率为，求线段的长度；
（2）当的中点为时，求直线的方程.
16．已知点，，直线，
（1）求直线和交点的坐标；
（2）若点P在直线上，求的最小值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】根据两直线垂直可得，根据两点间的距离公式可得结果.
【详解】因为过点和点的直线与直线垂直，
所以，即，
所以.
故选：C
2．B
【分析】设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
【详解】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
【点睛】本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
3．D
【分析】先根据过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行求得a与b的关系，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】由题意得＝2，即b－a＝2.
所以|AB|＝.
故选：D
4．B
【分析】由题意，直线与直线互相垂直且垂足为点，又直线过定点，直线过定点，在中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.
【详解】解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，
又因为直线过定点，直线，即过定点，
所以在中，，
故选：B.
5．C
【分析】由两点表示的斜率公式求出的斜率，再根据的斜率等于1，得到，再代入两点间的距离公式运算．
【详解】由题意，利用斜率公式求得，即，
所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了两直线平行与斜率的关系，直线的斜率公式以及两点间距离公式的应用，属于基础题
6．C
【分析】求出定点，的坐标，再分和两种情况讨论，可判断两直线垂直，由即可求解.
【详解】由可得：，
由可得，所以定点，
直线可化为，
由可得，所以定点，
当时，直线方程为，，此时两直线垂直，
当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，
所以，所以，
故选：C.
7．AB
【分析】运用两点间距离公式，结合直线两点式方程进行求解即可.
【详解】由于点B在l上，可设点B的坐标为．
由，化简得，解得或．
当时，直线的方程为；当时，点B的坐标为，
直线的方程为：．
综上，直线的方程为或．
故选：AB
8．AB
【分析】画出图像，逐一分析，即可.
【详解】解：如图所示，
当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对，
当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对，
当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误，
当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误，
故选：AB.
9．
【分析】直接由中点坐标公式求解即可.
【详解】由题意知：中点坐标为，即.
故答案为：.
10．
【分析】求出交点P，Q结合两点距离公式求得表达式，利用均值不等式求最值即可．
【详解】联立得或
设，则
当且仅当，即时，取最小值
故答案为：
11．
【分析】利用入射光线上的一点关于轴的对称点一定在反射光线的反向延长线上的性质，即可求解.
【详解】易知点关于x轴的对称点为，
设直线交x轴于P点，则，
又∵点坐标，
∴，
故光线从点B到点A经过的路程为.
故答案为：.
12．或
【分析】设点的坐标为，利用两点间的距离公式求出的值，可得出点的坐标，由此可求得直线的方程.
【详解】设点的坐标为，则，解得或.
当时，点的坐标为，则直线的斜率为，此时直线的方程为，即；
当时，点的坐标为，则直线的斜率为，此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了两点间距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
13．或
【分析】设点P的坐标为，则由题意得，解之可得t值．
【详解】设点P的坐标为，则，
解之得．
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，以及两点间的距离公式的应用，是基础题．
14．证明见解析.
【解析】建立平面直角坐标系，设，，得到AB 的中点C的坐标为，然后用两点间的距离分别求得，，即可.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，则AB 的中点C的坐标为.
∵，
，
∴，
即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，属于基础题.
15．（1）；（2）.
【解析】（1）求出直线方程，联立方程分别求出点的坐标，再利用两点间的距离公式即可求解；
（2）设，利用中点为可计算的值，再利用坐标求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程.
【详解】（1）若直线的斜率为，则，
由可得 ，所以，
由可得，所以
所以的长度为，
（2）因为分别是直线与射线，的交点，所以设，，
因为的中点为，所以，，解得： ，
所以，，
所以直线的斜率为，
可得直线的方程为： 即.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）先求解出直线的方程，然后联立两条直线的方程求解出交点坐标；
（2）设出点坐标为，然后根据点到点的距离公式表示出，结合二次函数的性质求解出的最小值.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，即，
因为，所以，所以交点坐标；
（2）设，所以，
所以，
当时有最小值，所以，此时.
【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于点坐标设法以及二次函数求最值的简单运用，通过将点坐标设为，一方面减少了变量个数方便进行计算，另一方面也为能利用二次函数求解最值埋下伏笔.
一、单选题
1．过点和点的直线与直线垂直，则（ ）
A． B．4 C． D．2
2．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为．
A． B． C． D．
3．若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ）
A．3 B．
C．5 D．
4．已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
5．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x平行，则|AB|的值为( )
A．6 B． C． D．2
6．过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知直线和点，过点A作直线与直线l相交于点B，且，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（ ）
A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则
C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则
三、填空题
9．已知点，则线段AB的中点坐标为________.
10．曲线与直线相交于P，Q两点，当最小时，________．
11．光线从点出发射到x轴上，经反射后过点，则光线从点B到点A经过的路程为___________.
12．已知点，过原点的直线与直线交于点，若，则直线的方程为__________．
四、解答题
13．在直线上求一点P，使它到原点的距离与到直线的距离相等．
14．用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等
15．在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线，于点．
（1）若直线的斜率为，求线段的长度；
（2）当的中点为时，求直线的方程.
16．已知点，，直线，
（1）求直线和交点的坐标；
（2）若点P在直线上，求的最小值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】根据两直线垂直可得，根据两点间的距离公式可得结果.
【详解】因为过点和点的直线与直线垂直，
所以，即，
所以.
故选：C
2．B
【分析】设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
【详解】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
【点睛】本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
3．D
【分析】先根据过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行求得a与b的关系，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】由题意得＝2，即b－a＝2.
所以|AB|＝.
故选：D
4．B
【分析】由题意，直线与直线互相垂直且垂足为点，又直线过定点，直线过定点，在中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.
【详解】解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，
又因为直线过定点，直线，即过定点，
所以在中，，
故选：B.
5．C
【分析】由两点表示的斜率公式求出的斜率，再根据的斜率等于1，得到，再代入两点间的距离公式运算．
【详解】由题意，利用斜率公式求得，即，
所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了两直线平行与斜率的关系，直线的斜率公式以及两点间距离公式的应用，属于基础题
6．C
【分析】求出定点，的坐标，再分和两种情况讨论，可判断两直线垂直，由即可求解.
【详解】由可得：，
由可得，所以定点，
直线可化为，
由可得，所以定点，
当时，直线方程为，，此时两直线垂直，
当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，
所以，所以，
故选：C.
7．AB
【分析】运用两点间距离公式，结合直线两点式方程进行求解即可.
【详解】由于点B在l上，可设点B的坐标为．
由，化简得，解得或．
当时，直线的方程为；当时，点B的坐标为，
直线的方程为：．
综上，直线的方程为或．
故选：AB
8．AB
【分析】画出图像，逐一分析，即可.
【详解】解：如图所示，
当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对，
当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对，
当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误，
当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误，
故选：AB.
9．
【分析】直接由中点坐标公式求解即可.
【详解】由题意知：中点坐标为，即.
故答案为：.
10．
【分析】求出交点P，Q结合两点距离公式求得表达式，利用均值不等式求最值即可．
【详解】联立得或
设，则
当且仅当，即时，取最小值
故答案为：
11．
【分析】利用入射光线上的一点关于轴的对称点一定在反射光线的反向延长线上的性质，即可求解.
【详解】易知点关于x轴的对称点为，
设直线交x轴于P点，则，
又∵点坐标，
∴，
故光线从点B到点A经过的路程为.
故答案为：.
12．或
【分析】设点的坐标为，利用两点间的距离公式求出的值，可得出点的坐标，由此可求得直线的方程.
【详解】设点的坐标为，则，解得或.
当时，点的坐标为，则直线的斜率为，此时直线的方程为，即；
当时，点的坐标为，则直线的斜率为，此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了两点间距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
13．或
【分析】设点P的坐标为，则由题意得，解之可得t值．
【详解】设点P的坐标为，则，
解之得．
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，以及两点间的距离公式的应用，是基础题．
14．证明见解析.
【解析】建立平面直角坐标系，设，，得到AB 的中点C的坐标为，然后用两点间的距离分别求得，，即可.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，则AB 的中点C的坐标为.
∵，
，
∴，
即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，属于基础题.
15．（1）；（2）.
【解析】（1）求出直线方程，联立方程分别求出点的坐标，再利用两点间的距离公式即可求解；
（2）设，利用中点为可计算的值，再利用坐标求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程.
【详解】（1）若直线的斜率为，则，
由可得 ，所以，
由可得，所以
所以的长度为，
（2）因为分别是直线与射线，的交点，所以设，，
因为的中点为，所以，，解得： ，
所以，，
所以直线的斜率为，
可得直线的方程为： 即.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）先求解出直线的方程，然后联立两条直线的方程求解出交点坐标；
（2）设出点坐标为，然后根据点到点的距离公式表示出，结合二次函数的性质求解出的最小值.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，即，
因为，所以，所以交点坐标；
（2）设，所以，
所以，
当时有最小值，所以，此时.
【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于点坐标设法以及二次函数求最值的简单运用，通过将点坐标设为，一方面减少了变量个数方便进行计算，另一方面也为能利用二次函数求解最值埋下伏笔.