2.3.1两条直线的交点坐标同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——2.3.1两条直线的交点坐标
一、单选题
1．点为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是，那么点M到原点O的距离为（ ）
A．41 B． C． D．39
2．若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（ ）
A． B． C． D．
3．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则的最大值为
A． B．2 C．4 D．
5．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解 D．存在，使之有无穷多解
二、多选题
7．（多选题）对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
8．已知两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．若，则或
C．当时，与相交于点 D．直线过定点
三、填空题
9．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx-2y-5＝0相交于同一点，则m的值为________．
10．已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是________.
11．已知直线，直线，若直线，与两坐标轴围成一个四边形，则当时，这个四边形面积的取值范围是___________.
12．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是________．
四、解答题
13．已知直线：的倾斜角为．
(1)求a；
(2)若直线与直线平行，且在y轴上的截距为－2，求直线与直线的交点坐标．
14．如图，等腰直角的直角顶点，斜边所在的直线方程为．
（1）求的面积；
（2）求斜边AB中点D的坐标．
15．（1）已知点P是平面上一动点，点，是平面上两个定点，求的最小值，并求此时P的坐标；
（2）求函数的最小值．
16．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
(1)外心的坐标；
(2)重心的坐标；
(3)垂心的坐标．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】利用中点坐标公式，求出点坐标，再利用两点间距离公式可求点M到原点O的距离.
【详解】设，由中点坐标公式得，，
解得，．所以点．
则．
故选：B
【点睛】本题主要考查了中点坐标公式和两点间距离公式，属于基础题.
2．C
【解析】求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．
【详解】∵＝k（x﹣1）+1，
∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则，得，即直线l2恒过定点
故选：C
【点睛】本题主要考查直线过定点问题，利用点的对称性是解决本题的关键．
3．D
【分析】把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解.
【详解】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为．
故选：D．
4．B
【分析】由两点的距离公式表示，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值.
【详解】∵，，
∴
.
∵，∴.
故选B.
【点睛】本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.
5．C
【解析】先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
6．B
【分析】将与代入直线方程，可得方程有唯一的解，即可得答案；
【详解】解：与是直线为常数)上两个不同的点，
的斜率存在，
即，并且，
①②得：，
即.
方程组有唯—解.
故选︰B.
7．BCD
【分析】化简，结合两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，可得，
可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，
故答案为：BCD.
【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.
8．ACD
【分析】根据两直线垂直与平行的充要条件判断A、B，对于C将代入直线方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可判断C，对于D将直线方程变形为，从而求出直线过定点坐标；
【详解】解：因为，对于A：当时，，则、，所以，所以，故A正确；
对于B：若，则，解得或，当时，满足题意，当时，与重合，故舍去，所以，故B错误；
对于C：当时，，则，解得，即两直线的交点为，故C正确；
对于D：，即，令，即，即直线过定点，故D正确；
故选：ACD
9．9
【解析】联立，解得交点，代入即可得答案．
【详解】联立，解得，．
把代入可得：．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了两条直线的交点、点在直线上，考查计算能力，属于基础题．
10．
【解析】设出直线方程，求出交点坐标，由交点在第一象限得结论．
【详解】由题意，设直线方程为，
由，解得，
∴，解得．
故答案为：
11．
【解析】由直线，过定点，再分别求出直线、与轴、轴的交点，将四边形分成一个梯形和一个直角三角形，根据面积公式结合二次函数的性质得出四边形面积的取值范围.
【详解】直线，过定点，与轴的交点为
直线，过定点，与轴的交点为
过点作轴的垂线交于点，如下图所示
将四边形分成一个梯形和一个直角三角形
则
则四边形的面积为
因为，所以，则
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是得出直线，过定点，以此画出图象得出四边形面积的取值范围.
12．±6
【分析】由题意，设交点的坐标为，分别代入直线的方程，联立方程组，即可求解得值，得到答案.
【详解】由题意，两直线的交点在轴上，可设交点的坐标为，
分别代入直线的方程，联立方程组可得，整理得，解得，
故答案为.
【点睛】本题主要考查了直线方程的应用问题，其中解答中把两直线的交点坐标分别代入两直线的方程，联立方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
13．(1)-1；
(2)(4,2).
【分析】（1）根据倾斜角和斜率的关系可得，即可得a值.
（2）由直线平行有直线为，联立直线方程求交点坐标即可.
(1)
因为直线的斜率为，即，故．
(2)
依题意，直线的方程为．
将代入，得，故所求交点的(4,2)．
14．（1）20（2）
【分析】（1）求出直角顶点到斜边的距离，根据等腰直角三角形的边角关系得出斜边长，即可求出结论；
（2）由，可求出直线方程，与直线方程联立，即可求出点坐标.
【详解】（1）顶点到斜边的距离为.
所以斜边，
故的面积为．
（2）由题意知，，设直线方程为
点代入方程点，
所以直线的方程为，
由，解得，
所以点的坐标为．
【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，属于基础题.
15．（1）最小值为5，此时；（2）．
【分析】(1)设，利用两点距离公式，构建关于x、y的函数，由函数式的几何意义即可得最小值及对应坐标；
(2)将函数转化为动点到两定点的距离问题，结合坐标系即可求得最小值
【详解】（1）设，
则，
，
即P到距离最小时，最小
当，时，的值最小．
故的最小值为5，此时．
（2）
设，，，如图，则上述问题转化为求的最小值．
点A关于x轴的对称点为，即可转化为P在x轴移动过程最短问题
的最小值为．
【点睛】本题考查了两点距离公式，根据函数解析式的几何意义，结合坐标系求最值，需注意代数式的几何含义以及两点间线段最短等知识的应用
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；
（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；
（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.
(1)
中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心.
(2)
设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心.
(3)
由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心.