4.4对数函数辅导讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

数学学科学生讲义
学生姓名： 年级： 科目：数学 学科教师：
课题
授课类型 基础知识 经典例题 巩固提升 考试真题
教学目标
教学重难点
授课日期及时段
教学内容
一、对数概念 一般地，把函数① 叫做对数函数，其中是自变量. 二、对数函数的图象和性质 图象定义域② 值域③ 性质过定点，即在上是④ 在上是⑤
三、反函数 对数函数和指数函数⑥ 互为反函数. 四、函数图象的变换 1．一般地，函数的图象可由函数的图象变换得到. 将的图象向左或向右平移个单位可得到函数的图象，再向上或向下平移个单位可得到函数的图象.(记忆口诀：左加右减，上加下减) 2．的图象与的图象关于轴对称，的图象与的图象关于轴对称. 知识点一：对数函数的概念 【解题指导】形如的函数为对数函数； 例题1 下列函数中哪些是对数函数？ （1）；（2）；（3） ； （4） ；（5） . 知识点二：解对数不等式 【解题指导】解对数不等式前要先化为同底指数，然后再根据对数函数单调性来解答；要注意底数和真数的取值范围； （1）； （2）； 例题1 解下列对数不等式 （1）； （2）； （3）； 变式1 解下列对数不等式 （1）； （2）； （3）； 知识点三：对数函数的定义域 【解题指导】对数的底数大于零且不等于，对数的真数大于零； 例题1函数的定义域为____________________； 变式1函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 例题2函数的定义域为____________________； 变式2函数的定义域为____________； 例题3 函数的定义域为____________________； 变式3 若，则的定义域为____________________； 变式4函数的定义域为（ ） B. C. D. 知识点四：对数函数的图像与性质 【解题指导】 1、对数函数的图像分两种情况：时图像递增，时图像递减； 2、与图像的区别：是偶函数，图像是关于轴对称的两部分，而只是图像右边的部分； 3、与图像关于轴对称； 4、与图像关于轴对称； 例题1 如图所示的曲线是对数函数的图像，已知的取值为，则相应的曲线的依次是（ ） A. B. C. D. 变式1 已知，则之间的大小关系是________； 变式2如果，那么（ ） A. B. C. D. 例题2 函数的图像恒过定点 ； 变式3 函数恒过定点______； 例题3 若点在图像上，，则下列点也在此图像上的是（ ） A. B. C. D. 知识点五：对数函数的单调性 【解题指导】 1、的单调性分两种情况：时单调递增，时单调递减；这两种情况也是对数函数的分类依据。 2、在求对数函数的单调性时，应先求对数函数的定义域。单调区间是定义域的子区间。 例题1 求函数的单调增区间； 变式1函数的单调增区间是______________； 变式2 函数在上是减函数，则的取值范围是___________； 变式3 已知在上为的减函数，则的取值范围是___________； 变式4 讨论函数的单调性； 知识点六：对数函数的最值与值域 【解题指导】对数函数在区间上： （1）当时，，，的值域为； （2）当时，，，的值域为； 例题1 函数的最小值是_________； 变式1 函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为_______； 例题2 函数的定义域是，则值域为___________； 变式2 求函数的单调区间和值域； 例题3 已知函数的值域为，则函数的定义域为________； 知识点七：求反函数 例题1 求下列函数的反函数. (1) ； (2)； (3)； (4). 题型一：对数函数图像的判断与应用 【解题指导】 函数图像的判断方法 例题2 已知，函数与的图像只能是图中的（ ） 变式1 当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（ ） 变式2 已知，函数与的图像只能是图中的（ ） 变式3 当时，函数和的图像只可能是（ ） 例题2 函数的大致图像为（ ） 例题3若函数的大致图像如下图，其中为常数，则函数的大致图像是（ ） 例题4 作出函数的图像并写出其单调区间； 变式4下列区间中，函数在其上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 例题4 已知函数的图像如图所示，则满足的关系是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 题型二：对数函数单调性的应用 例题1 已知是上的减函数，那么的取值范围是_______； 题型三：对数不等式的解法 例题1 不等式的解集为________； 例题2 已知，则的取值范围是_________； 变式1 已知集合，若，则实数的取值范围是___________； 例题3 已知函数，，求使关系式成立的实数的取值范围； 变式2 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为____________； 变式3 设，函数，则使的的取值范围是________； 题型四：比较对数大小 例题1 已知，则的大小关系为____________； 变式1已知，则则的大小关系为____________； 例题2已知，则的大小关系是__________； 变式2设，则的大小关系是__________； 变式3 已知，则的大小关系是__________； 例题3已知，则的大小关系是：______________； 变式4 设，，，则 （ ） A. B. C. D. 例题4 若，，，，则 A. B. C. D. 变式5 设，，，，将按大小顺序排列起来； 例题5 设，且，比较和的大小； 题型五：对数函数的综合应用 例题1 若函数，则______； 变式1已知函数，则的值为______； 例题2当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式2 设函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式3设函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例题3 函数，且；（1）求；（2）求函数的值域； 变式4 已知函数；（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并予以证明；（3）求使的的取值范围； 例题4 已知函数；（1）若的值域为，求实数的取值范围；（2）若的定义域为，求实数的取值范围； 变式5 已知函数；（1）若的值域为，求实数的取值范围；（2）若的定义域为，求实数的取值范围； 变式6 已知函数的值域为，且在上是增函数，求的取值范围； 例题5 已知函数；（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由； 变式7 已知函数；问：是否存在最值？若存在，请把它求出来； 随堂练习 1.函数的定义域是（ ） A. B. C. D 2.函数的图像与函数的图像的交点个数为 （ ） A. B. C. D. 3.已知函数对任意，有，且当时，，则函数的大致图像为 （ ） 4.设，，，则（ ） A. B. C. D. 5.已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 课后练习 A.基础过关 （一）对数函数的图像与性质 一、选择题 1.已知函数的定义域为，的定义域为，则等于（ ） A. B. C. D. 2.设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3.函数的值域是（ ） A. B. C. D. 4.已知是函数的反函数，则的图像是（ ） 5.若函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 6.已知函数的图像必经过定点，则点的坐标为 . 7.函数的定义域是 . 8.已知函数，则 . 三、解答题 9.求下列函数的定义域： (1) ； (2) . 10.求下列函数的值域： (1) ； (2) . 11.若不等式在内恒成立，求实数的取值范围. 12.已知，求的最大值，及取最大值时的值. （二）对数函数性质的应用 一、选择题 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2.已知函数，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3.设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4.若函数是函数的反函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 5.函数为（ ） A.奇函数，在区间上是减函数 B. 奇函数，在区间上是增函数 C. 偶函数，在区间上是增函数 D.偶函数，在区间上是减函数 6.已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7.已知函数，则 . 8.已知，则实数的取值范围是 . 9.函数的值域为 . 10.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 . 三、解答题 11.比较下列各组中两个数的大小： (1) ，；(2) ，；(3) ，. 12.设函数是定义在上的奇函数，若当时，，求满足的的取值范围. 13.已知函数. (1)令，求关于的函数关系式，并写出的范围； (2)求该函数的值域. B.能力提升 1.设，，，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图像是（ ） 3.已知，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设，满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则的值是 （ ） A. B. C. D. 8. ，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10.已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 11.函数的定义域是 . 12.已知函数； (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)当时，函数恒有意义，求实数的取值范围. 13. 已知函数的定义域为. (1)求；(2)当时，求函数的最大值. 14. 已知函数的图像与的图像关于轴对称，且的图像过点. (1)求函数的解析式； (2)若成立，求的取值范围.