直线
典例1．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为_________.
练1．已知点，，，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：点，，，
如图，
，，
且过的直线（不垂直于轴）与线段相交，
直线需绕点逆时针旋转至倾斜角为（不含，此时斜率范围为，，
直线需绕点顺时针旋转至倾斜角为（不含，此时斜率范围为，．
综上，直线斜率的取值范围是．
故选：C．
典例2.已知直线，，若，则实数的值为_______.
【答案】或
【详解】直线平行的条件：
练1.已知直线与直线平行，则实数m的值为______.
A．3 B．1 C．-3或1 D．-1或3
【答案】B
【解析】
两直线平行
，可得（舍去）.选B.
典例3.已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为________.
【解析】或
【解析】直线垂直的条件：易错点
，
（）
练1．m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直，
所以，所以，所以或，
所以当m＝－1时，直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直.
但直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直时，m＝－1不一定成立.
所以m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的充分不必要条件.
故选：A.
提升1.在平面直角坐标系内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则
B. C. D.
【答案】D
【详解】判断直线过定点、直线垂直
提升2.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
直线过定点，
直线过定点,
又因直线与直线互相垂直，
即
即，当且仅当时取等号
故选A
典例4.已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为________．
【答案】
【解析】
由题意可知，点在直线上，设点，则线段的中点为，
易知点在直线上，则，解得，
所以，点的坐标为.
点在直线上，可设点，则线段的中点为点，
易知点在直线上，则，解得，
所以，点的坐标为.
直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
提升1.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①
AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为，
即x-2y+3=0．联立 解得
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A
提升2.己知，，若的角平分线所在直线方程是，则直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
分析试题：由题意可知直线和直线关于直线对称。设点关于直线的对称点为，则有，即。因为在直线上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即。
故A正确。
典例5.点为直线上的动点，它与两定点，的距离之差的最大值为_________.
【答案】
【解析】
由题知,设为,易知点在直线的两侧,
设点关于直线的对称点为,
则,
解得,即,
作直线,与的交点即为所求点,,可得直线为,联立,可得.
故.
证明如下:
在上任取一点(不同于点),,,
在中,,即,
故为时,取得最大值,最大值为.
提升1.已知定点，动点和点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
如图所示：定点 关于函数 的对称点关于 轴的对称点 此时的周长取最小值，且最小值为
．且点 的坐标满足，解得 即点
提升2.求函数的值域.
【答案】（-1,1）
提升3.已知，满足，求的最小值___________．
【答案】8
【解析】两种做法
由于表示点与直线上的点的距离的平方，可知的最小值为点到直线距离的平方，所以最小值为.
故答案为：8
课后练习
一、单选题
1．已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【详解】解：直线，，
若，则，解得：或
当时，与重合，故“” “”，
故“”的必要不充分条件是“或”，
故选：C．
2．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】直线可以为，表示过点，斜率为的直线，
所以所有直线都通过定点为.
故选：A.
3．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，
由，得，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，
∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
二、多选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点的直线方程
【答案】BD
【详解】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程，当截距都是零时，不可用，故A错误；
对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确；
对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误；
对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为；
当时，方程可整理为；故D正确.
故选：BD.
2．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）
A．不论为何值时，与都互相垂直；
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
【答案】ABD
【详解】对于A，如果 ，则 ，分别平行于x轴和y轴，显然 ；
如果 ，则 ， 恒成立，A正确；
对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；
对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程知：不在上，C错误；
对于D，联立，解得：，即，
，即的最大值是，D正确；
故选：ABD.
3．已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
【答案】ACD
【详解】对A;变形为
令，则，因此直线过定点，A正确；
对于B;当时，，故两直线不垂直，故B错误；
对于C;当时，，故两直线平行，C正确；
对于D;当时,则满足，此时则两直线距离为，故D正确；
故选：ACD
4．（多选）已知直线，其中，则（ ）
A．当时，直线l与直线垂直
B．若直线l与直线平行，则
C．直线l过定点
D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【详解】对于A，当时，直线l的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为，所以当时，直线l与直线垂直，所以A正确，
对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误，
对于C，当时，，与无关，故直线l过定点，所以C正确，
对于D，当时，直线l的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，
故选：AC
三、填空题
1．已知直线：，：，若，则实数的值为___________.
【答案】
【详解】若直线的斜率存在，即，
直线的斜率，，所以有，
即，解得：，
若直线的斜率不存在，即，
此时，不满足.
综上：
故答案为：
2．已知，则直线必过定点______．
【答案】
【详解】解：因为，所以，
又直线，所以直线必过；
故答案为：
3．直线与直线的位置关系不可能为______．
【答案】平行
【详解】对于直线，由可得，即直线过定点，
对于直线，由可得，即直线过定点，
所以，直线、过同一定点，故直线、相交或重合，这两条直线不可能平行.
故答案为：平行.
4．无论实数k取何值，直线都恒过定点，则该定点的坐标为___________.
【答案】
【详解】方程可化为，
令，解得，即直线恒过点.
故答案为：
5．若直线：y＝kx－k＋1与直线关于点（3，3）对称，则直线恒过定点______.
【答案】（5，5）
【详解】∵，∴：y＝kx－k＋1过定点（1，1），
设点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则，解得，即直线恒过定点（5，5）.
故答案为：（5，5）.
6．设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 __．
【答案】
【详解】解：由于直线l1：，整理得，
由，解得，即直线l1恒过点；
则过点作直线l2，且l1∥l2，
所以直线l1与l2之间距离的最大值为点与点间的距离
．
故答案为：．
7．已知直线l过点和，则直线l斜率的取值范围是______，倾斜角的取值范围是______．
【答案】
【详解】依题意，直线的斜率为，
即直线的斜率的取值范围是，
在和上是增函数，，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故答案为：；
五、解答题
1．直线，在上求一点，使得．
(1)到和的距离之差的绝对值最大；
(2)到，的距离之和最小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如果两点在一直线的异侧，则作其中某一点关于该直线的对称点，那么经过对称点与另一点的直线与已知直线的交点P，到这两点距离之差的绝对值最大；
（2）如果两点在一直线的同侧，则作其中某一点关于该直线的对称点，那么经过对称点与另一点的直线与已知直线的交点P，到这两点距离之和最小．
（1）
在直线上求一点，使得：到和的距离之差的绝对值最大，
显然、位于直线两侧，作关于直线的对称点，连接，
则 所在直线与直线l交点即为，如图所示：
此时，的值最大，最大值就是，
设B点关于l对称点，
由，得，即，
由线段的中点坐标为，，且中点在直线上，
，即，
联立方程组，解得，，即
所以的直线方程为
联立方程组，解得，，
与直线的交点坐标为，
点到点和点的距离之差的绝对值最大时，点坐标为．
（2）
到和的距离之和最小，
显然，A、C位于直线l同侧，
作点关于直线l对称点，连接，则与直线l的交点就是点，
此时，之和最小，最小值为，如图所示：
设关于的对称点为，求出的坐标为．
所在直线的方程为．
和交点的坐标为．
当点到点，的距离之和最小时，点的坐标为．
2．设直线的方程为，，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
【答案】或
【详解】解：直线的方程为，即，
令，可得，可得该直线经过定点．
由于直线在两坐标轴上的截距相等，分以下两种情况讨论：
若直线过原点，该直线的斜率为，直线方程为，即；
若直线不过原点，设它的方程为，其中，
再把点代入直线的方程，可得，此时直线的方程为．
综上可得，直线的方程为或．直线
典例1．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为_________.
练1．已知点，，，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
典例2.已知直线，，若，则实数的值为_______.
练1.已知直线与直线平行，则实数m的值为______.
典例3.已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为________.
练1．m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
提升1.在平面直角坐标系内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则
B. C. D.
提升2.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
典例4.已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为________．
提升1.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
提升2.己知，，若的角平分线所在直线方程是，则直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
典例5.点为直线上的动点，它与两定点，的距离之差的最大值为_________.
提升1.已知定点，动点和点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________.
提升2.求函数的值域.
提升3.已知，满足，求的最小值___________．
课后练习
一、单选题
1．已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．或 D．
2．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
3．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
二、多选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点的直线方程
2．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）
A．不论为何值时，与都互相垂直；
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
3．已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
4．（多选）已知直线，其中，则（ ）
A．当时，直线l与直线垂直
B．若直线l与直线平行，则
C．直线l过定点
D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
三、填空题
1．已知直线：，：，若，则实数的值为___________.
2．已知，则直线必过定点______．
3．直线与直线的位置关系不可能为______．
4．无论实数k取何值，直线都恒过定点，则该定点的坐标为______.
5．若直线：y＝kx－k＋1与直线关于点（3，3）对称，则直线恒过定点______.
6．设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 __．
7．已知直线l过点和，则直线l斜率的取值范围是______，倾斜角的取值范围是______．
五、解答题
1．直线，在上求一点，使得．
(1)到和的距离之差的绝对值最大；
(2)到，的距离之和最小．
2．设直线的方程为，，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
