高中数学人教A版（2019）必修第一册必考点分类集训——二次函数与一元二次方程、不等式（含解析）

一、单选题
1．若不等式的解集为，则（　）
A． B． C． D．
2．若不等式的解集是，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．已知不等式的解集为，则a，b的值是（ ）
A．， B．， C．6，3 D．3，6
4．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
5．已知是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
7．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知不等式，则该不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
9．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（ ）
A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m10．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（ ）
A． B．
C． D．
12．不等式 的解集为R，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
13．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了.事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过m，乙车的刹车距离略超过m，又知甲、乙两种车型的刹车距离(m)与车速(km/h)的关系大致如下：，.由此可以推测（ ）
A．甲车超速 B．乙车超速 C．两车都超速 D．两车都未超速
二、填空题
14．已知方程的两根为和5，则不等式的解集是______．
15．若关于的不等式的解集为，则__________
16．已知不等式的解集中恰有五个整数，则实数a的取值范围为___________.
17．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.
三、解答题
18．解下列不等式.
(1)﹣x2+2x﹣3＜0；
(2)﹣3x2+5x﹣2＞0.
19．当a≤0时，解关于x的不等式．
20．请回答下列问题：
(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.
(2)求关于的不等式的解集.
21．已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
(1)当a＝2时，解关于x的不等式；
(2)当a＞0时，解关于x的不等式．
22．已知不等式 的解集为
（1）求a的值；
（2）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围.
23．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以调高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
24．汕头某通讯设备厂为适应市场需求,提高效益,特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号,并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元,从第二年开始,所需费用会比上一年增加4万元,而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.
请你根据以上数据,解决下列问题：(1)引进该设备多少年后,收回成本并开始盈利？(2)引进该设备若干年后,有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.
25．北京、张家港年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
26．小张于年初支出万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？
（利润=累积收入+销售收入-总支出）
27．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．
【详解】不等式的解集为，则方程根为、，
则，解得，，
故选：D
2．A
【分析】利用根于系数的关系先求出，再解不等式即可.
【详解】不等式的解集是
则根据对应方程的韦达定理得到：，
解得，
则的解集为
故选：A
3．B
【分析】根据一元二次不等式的解集特点，再结合韦达定理建立关于的方程，解出方程即可
【详解】由题意知得：和是方程的两个根
可得：，，即，
解得：，
故选：B
4．B
【分析】根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.
【详解】由题意得，即，
所以即，解得．
故选：B
5．C
【分析】由题知，，，则可得，则，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.
【详解】由题知是关于x的一元二次方程的两个不同的实数根，
则有，，，所以，且是两个不同的正数，
则有
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是.
故选：C
6．A
【分析】由一元二次不等式的解集可得且，确定a、b、c间的数量关系，再求的解集.
【详解】由题意知：且，得，
从而可化为，等价于，解得或.
故选：A.
7．C
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．
【详解】解：
解得：.
故选：C.
8．B
【分析】将不等式分解因式，即可求得不等式解集.
【详解】不等式等价于，
也即，故.
故不等式解集为.
故选：B.
9．B
【分析】不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集．
【详解】不等式变形为，方程的两根为，显然由得，
所以不等式的解为．
故选：B．
10．B
【分析】讨论和两种情况，即可求解.
【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，
等价于．
综上，实数的取值范围为．
故选：B．
11．C
【分析】只需要满足条件即可.
【详解】由题意，解得.
故选：C.
12．B
【分析】当时，原不等式为满足夹角为R；当a≠2时，可得且求得a范围，从而可得答案．
【详解】解：当时，原不等式为满足解集为R；
当a≠2时，根据题意得，且，解得．
综上，的取值范围为．
故选：B．
13．B
【分析】先通过解一元二次不等式得到甲乙的速度范围，即可知乙超速.
【详解】由，解得或.
由，解得或.
由于从而可得：km/h，km/h.
因为该弯道限速km/h，
经比较知乙车超过限速.
故选：B.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
14．
【分析】根据根与系数的关系以及一元二次不等式的解法即可解出．
【详解】由题意可知， ，解得，所以即为
，解得或，所以不等式的解集是．
故答案为：．
15．1
【分析】根据二次不等式和二次方程的关系，得到是方程的两根，由根与系数的关系得到的值.
【详解】因为关于的不等式的解集为
所以是方程的两根，
，
由根与系数的关系得，解得
【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题.
16．
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可.
【详解】，
当时，原不等式化为，显然，不符合题意；
当时，不等式的解集为，其中解集中必有元素，
若五个整数是时，可得，此时解集为空集，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
若五个整数是时，，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
若五个整数是时，，此时解集为空集；
当时，不等式的解集为，其中解集中必有元素，
若五个整数是时，可得，此时解集为空集，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
若五个整数是时，，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
五个整数是时，，此时解集为空集，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：运用分类讨论思想是解题的关键.
17．
【分析】由判别式小于0可得．
【详解】由题意，．
故答案为：．
18．(1)R
(2){x|1}
【分析】（1）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）2+2＞0，结合二次函数的性质分析可得答案；
（2）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x）＜0，解可得答案.
（1）
根据题意，﹣x2+2x﹣3＜0 x2﹣2x+3＞0 （x﹣1）2+2＞0，
又由（x﹣1）2+2≥2，则不等式的解集为R；
（2）
根据题意，﹣3x2+5x﹣2＞0 3x2﹣5x+2＜0 （x﹣1）（x）＜0，
解可得：x＜1，即不等式的解集为{x|x＜1}.
19．答案见解析
【分析】不等式化简为（ax＋1）（x－2）≥0，分类讨论a＝0，，及，求出不等式的解集，即可求出答案.
【详解】解：由可得（ax＋1）（x－2）≥0
①当a＝0时，原不等式即x－2≥0﹐解得x≥2﹔
②当a<0时，（ax＋1）（x－2）≥0，
方程（ax＋1）（x－2）＝0的两根为，
当时，原不等式解为：x＝2﹔
当时，，原不等式的解为；，
当时，，原不等式的解为：，
综上，当a＝0时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解为：．
20．(1)、
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）不等式为，即，讨论，，，，，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
（1）
解：因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得；
（2）
解：不等式，即，即，
当时，原不等式解集为；
当时，方程的根为，，
①当时，，原不等式的解集为或；
②当时，，原不等式的解集为；
③当时，，原不等式的解集为；
④当时，，原不等式的解集为．
21．(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）将不等式化为（2x+1）（x﹣1）＜0即可求得结果；
（2）将不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，当a＞0时，不等式变为，计算（x﹣1）（ax+a﹣1）＝0的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集．
（1）
当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，
∴不等式的解集为；
（2）
不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，
当a＞0时，，
的根为：，
①当时，，∴不等式解集为，
②当时，，不等式解集为 ，
③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}，
综上，当时，不等式解集为，
当a时，不等式解集为，
当时，不等式解集为{x|x＜1}．．
22．（1）； （2）.
【分析】(1)根据题意得到方程 的两根为，由韦达定理可得到结果；（2）不等式的解集为R，则解出不等式即可.
【详解】（1）由已知，，且方程 的两根为.
有，解得；
（2）不等式的解集为R，
则，解得，
实数的取值范围为.
【点睛】这个题目考查了根和系数的关系，涉及到两根关系的题目，多数是可以考虑韦达定理的应用的，也考查到二次函数方程根的个数的问题.
23．（1）最多调整500名员工从事第三产业；（2）．
【解析】（1）根据题意可列出，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案．
（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．
【详解】（1）由题意，得，
即，又，所以，
即最多调整500名员工从事第三产业；
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，
所以≤，
所以，即在时恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，
又，所以，所以a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力，属于常考题.
24．（1）3年后开始盈利．
（2）采用方案一合算．
【详解】试题分析：（1）根据利润等于收入-成本，可求利润函数，令其大于0，可得结论；
（2）分别求出两种处理方案的利润，再进行比较，即可得到结论．
试题解析：（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，
则y=50n－（12n+×4）－98=－2n2+40n－98，
由y＞0，得10－＜n＜10+．
∵n∈N*，∴3≤n≤17，即3年后开始盈利．
（2）方案一：年平均盈利为，=－2n－+40≤－2+40=12，
当且仅当2n=，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元.
方案二：盈利总额y=－2（n－10）2+102，n=10时，y取最大值102，
即经过10年盈利总额最大， 共计盈利102+8=110万元．
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．
考点：1．函数模型的选择与应用；2．基本不等式．
25．(1)元
(2)当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元．
【分析】根据条件列出不等式，解不等式即可；
将问题转化为不等式有解问题有解，然后分离参数有解，利用基本不等式求最值．
（1）
设每件定价为元，依题意得，
整理得，解得．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．
（2）
依题意知，当时，不等式有解，
等价于当时，有解，
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以．
答：当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入
不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元．
26．（1）第三年；（2）第5年.
【解析】（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；
（2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．
【详解】（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50＝﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）
由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5，
∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
（2）∵利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，
小张的年平均利润为＝19﹣（x+）≤19﹣10＝9，当且仅当x＝5时，等号成立，
∴小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．
【点睛】思路点睛：
首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.
27．（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.
【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.
又，所以.
所以宽的最大值为16米.
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
答案第1页，共2页
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