高中数学人教A版（2019）必修第一册必考点分类集训——基本不等式（含解析）

一、单选题
1．的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
3．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
5．已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
6．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若正数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
8．若实数、满足，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．对于不等式①，②（），③，下列说法正确的是（ ）
A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误
C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确
11．设，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
12．已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．7
13．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．已知，求的最小值______________.
15．若正数a，b满足，则的最小值为___________.
16．已知非负实数，满足，则的最小值为______________.
17．已知，则的最小值为___________.
18．已知都是非零实数，若，则的最小值为__________.
19．已知，，且，则的最小值为 __．
20．当时，的最大值为 __．
21．已知，，且，则的最小值为__________.
22．已知，当取到最小值时，则______.
23．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.
24．已知x、y为两个正实数，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
25．某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为___________（用 表示）
三、解答题
26．（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
27．已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2
(1)求的最小值；
(2)求a2＋4b2＋5ab的最大值.
28．已知且，求使不等式恒成立的实数m的取值范围．
29．已知正实数x，y满足.
（1）求xy的最大值；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
30．已知正数，满足.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
31．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．
(1)求的最小值；
(2)若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．
32．用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
33．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用均值不等式求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.
故选：C.
2．B
【分析】直接使用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为正数满足 ，
所以有，当且仅当时取等号，
故选：B
3．B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
4．C
【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
【详解】因为，，，所以，
∴，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.
故选：C
5．B
【分析】由题可知，再利用基本不等式即得.
【详解】∵正实数a、b满足，
∴，
当且仅当，即时，取等号，
故选：B.
6．B
【分析】由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.
【详解】解：因为为正实数，
=，
当，即时等号成立，
此时有，
又因为，
所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.
故选：B.
7．C
【分析】由，可得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】因为正数满足，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
故选：C
8．D
【分析】利用基本不等式分别求出与的取值范围即可判断．
【详解】解：对于A，B，由可得，，当且仅当时取等号，即，
，，故A、B错误，
对于C，D，由可得，，当且仅当时取等号，
，故C错，D对，
故选：D．
9．C
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】解:因为，
所以，即，当且仅当 时，等号成立，故A错；
因为＝，
所以，当且仅当时，等号成立，故B错；
因为,当且仅当时，等号成立，故C正确；
由题意可得，
所以＝，当且仅当时，等号成立，故D 错；
故选：C.
10．C
【分析】根据平方后做差判断①，取特例判断②，利用基本不等式及不等式性质判断③，即可求解.
【详解】因为，所以错误；
当取时，显然不成立，故②错误；
因为，所以，
所以，故③正确.
故选：C
11．C
【分析】转化，利用均值不等式可求得，即，求解即可
【详解】由题意，
当且仅当，即时等号成立
故
即
解得：
故选：C
12．C
【分析】根据基本不等式中“”的代换求出的最小值，即可得到的最大值．
【详解】因为，
所以，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，即，的最大值为3．
故选：C．
13．B
【解析】根据，，，利用“1”的代换，结合基本不等式求得的最小值，然后根据不等式恒成立，由求解.
【详解】因为，，，
所以，
，
当且仅当，即时，取等号，
又因为不等式恒成立，
所以，
即，
解得，即 ，
故选：B
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．
【分析】利用基本不等式求得最小值.
【详解】，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
15．9
【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】解：因为正数，满足，
所以，
则，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
16．
【分析】将变形为，再借助“1”的妙用求解作答.
【详解】非负实数，满足，有，
则
，当且仅当，即时取“=”，
由，得，
所以当时，的最小值为.
故答案为：
17．9
【分析】由展开利用基本不等式可求解.
【详解】因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为9.
故答案为：9.
18．3
【分析】由题设条件可得，则，展开即可利用均值不等式求最值
【详解】因为
所以
当且仅当即时，等号成立.
故答案为：
19．3
【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．
【详解】解：因为，，且，
所以，
则
，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值．
故答案为：．
20．##0.75
【分析】分子分母除以之后出现定值，然后可以用基本不等式求最值.
【详解】当时，
，
当且仅当x，即x＝2时等号成立.
即的最大值为．
故答案为：．
21．
【分析】将目标式中4代换成，展开由基本不等式可得.
【详解】因为
所以
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
22．
【分析】先将化为，再结合基本不等式即可求出最小值及此时的值.
【详解】由题意知：，
当且仅当，即时取等.
故当取到最小值时，.
故答案为：.
23．.
【解析】由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得关于的不等式，解不等式即可.
【详解】解：
当且仅当，即且时取等号.
恒成立，则解得即
故答案为：
【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.
24．
【分析】分离参数，将不等式恒成立变为最值问题，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为x、y为两个正实数，由可得，
因为，
当且仅当时，等号成立．
所以，因此，实数a的取值范围是,
故答案为：
25．
【分析】根据题意列出，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】设第一年的产值为，则第二年的产值为，第三年的产值为，
又这两年的平均增长率为，所以，
因为为定值，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，
所以的最大值为.
故答案为：
26．（1）7；（2）．
【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；
（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
27．(1)；
(2).
【分析】(1)利用转化为用基本不等式求解；
(2)，根据a＋2b＝2利用基本不等式求出ab范围即可.
（1）
∵，∴，
当且仅当，即时，等号成立.
∴的最小值为；
（2）
∵，
又，∴，故，
当且仅当，即时，等号成立.
故取得最大值.
28．.
【分析】要使不等式恒成立，只需求的最小值，将展开利用基本不等式可求解.
【详解】由，则．
当且仅当即时取到最小值16．
若恒成立，则．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.
29．（1）；（2）.
【分析】（1）根据直接求解出的最大值，注意取等条件；
（2）利用“”的代换结合基本不等式求解出的最小值，再根据求解出的取值范围.
【详解】（1），所以，解得，
当且仅当取等号，∴的最大值为.
（2），
当且仅当，取等号，
∴，解得.
即a的取值范围是.
30．（1）8；（2）.
【分析】（1），根据基本不等式，即可求得答案.
（2）原式可化为，令，，条件可化为，代入所求，根据基本不等式，可求得的最小值，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】（1），
解得，
当且仅当，即，时取等，
所以的最小值为8；
（2）原式可化为，
令，，条件可化为，
因为，
所以，
则
，
当且仅当，即，时取等，
所以，解得.
31．(1)8
(2)4
【分析】（1）由x+y＝2，得1，又x＞0，y＞0，所以（）（）＝5从而可利用基本不等式进行求解；
（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立可得m恒成立，又x+y＝2，所以（），结合（1）所得的结论即可确定m的最大值．
（1）
由x+y＝2，得1，又x＞0，y＞0，
所以（）（）＝55+28，
当且仅当，即x，y时等号成立，
所以的最小值为8；
（2）
由4x+1﹣mxy≥0恒成立，得m恒成立，
又x+y＝2，所以（），
由（1）可知8，所以（）≥4，当且仅当，即x，y时等号成立，
即4，故m的最大值是4．
32．矩形的长、宽都为时，菜园的最大面积为.
【分析】根据给定信息，设出矩形的长、宽，再建立与的关系，借助均值不等式求解作答.
【详解】设矩形菜园的长为，宽为，则，即，矩形菜园的面积为，
而，由，可得，当且仅当时取“=”，
所以，这个矩形的长、宽都为时，菜园的面积最大，最大面积为.
33．(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小
(2)．
【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；
（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（） （x+2y）＝55+2，进而得出．
（1）
由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，
当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（2）
由已知得x+2y＝30，
又∵（） （x+2y）＝55+29，
∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴的最小值是．
答案第1页，共2页
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