高中数学人教A版（2019）必修第一册必考点分类集训——集合的基本关系（含解析）

一、单选题
1．已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若集合，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则、间的关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则集合的非空子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
6．已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．已知集合P={2，4，6，8}，则集合P的真子集的个数是（ ）
A．4 B．14 C．15 D．16
8．集合的真子集的个数是（　　）
A．16 B．8 C．7 D．4
9．设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
10．下列集合为的是
A． B． C． D．{|＜0}
11．下列集合是空集的是(　　)
A． B．或}
C． D．且
12．设集合，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合是集合的孙子集的是（ ）
A． B． C． D．
14．以下满足的集合A有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．写出满足关系式的所有集合______．
16．设集合，则集合的子集个数为________
17．集合仅有两个子集，则实数m的取值范围为_________．
18．已知集合，则的非空真子集有________个．
19．若集合，则实数的取值范围是______.
20．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝ ，则实数m的取值范围是____.
21．集合或，，若，则实数的取值范围为_________.
四、解答题
22．写出的所有子集.
23．已知集合，试写出的所有子集.
24．若集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}，写出集合A的所有子集．
25．设A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，写出集合A的所有子集．
26．已知AB，且B＝{0，1，2}写出满足条件A的所有集合．
27．已知集合A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A．
(1)求a；
(2)写出集合A的所有真子集．
28．已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}.
（1）写出集合M的子集;
（2）写出集合N的真子集.
29．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
30．已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
(1)若M N，求实数a的取值范围；
(2)若M N，求实数a的取值范围．
31．已知集合．
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)当时，若，求实数的取值范围．
32．已知a∈R，x∈R，A＝{2，4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3，1}，求：
（1）当A＝{2，3，4}时，x的值；
（2）当2∈B，时，a，x的值；
（3）当B＝C时，a，x的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据真子集的定义进行求解即可.
【详解】因为集合的所有非空真子集为：，
所以有，
故选：D
2．C
【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断.
【详解】因为集合是奇数集，
所以，，，A，
故选：C
3．D
【分析】求出集合，即可得出结论.
【详解】因为，故.
故选：D.
4．A
【分析】根据子集的概念写出集合的所有子集，再去掉空集可得答案.
【详解】集合所有子集为：，，，，，，，，
其中非空子集为：，，，，，，，共7个.
故选：A
5．B
【分析】先求出，再求出子集的个数.
【详解】∵，∴，解得，∵，∴，则集合的子集个数为.
故选：B.
6．C
【分析】先算出已知集合的子集个数，进而减去含2个偶数的子集个数，最后得到答案.
【详解】易知有个子集，含有2个偶数的子集有，，，共有4个，所以所求答案为12个.
故选：C.
7．C
【分析】根据集合元素的个数确定正确选项.
【详解】集合元素有个，故其真子集的个数为个.
故选：C
8．C
【解析】先用列举法写出集合，再写出其真子集即可.
【详解】解：∵，
的真子集为：共7个．
故选：C．
9．D
【分析】求出集合中的元素，再由子集的定义求解．
【详解】由题意，
因此其真子集个数为．
故选：D．
10．B
【详解】方程无实根，因此集合，选B.
11．D
【分析】非空集合确定其中的一个元素即可得．
【详解】对于A：集合中含有元素，故错；对于B：表示大于9，或小于3的所有实数，故错；对于C：含有点，故错；对于D，不含有任何元素，故为空集，
故选：D.
12．D
【分析】根据，由集合A，B有公共元素求解.
【详解】集合，
因为，
所以集合A，B有公共元素，
所以．
故选：D
13．BC
【分析】根据孙子集的定义，结合各选项集合与集合B的关系，即可确定正确选项.
【详解】A：为集合B的真子集，当不是非空集，不合要求；
B：为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；
C：为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；
D：为集合B的子集，但不是真子集，不合要求.
故选：BC
14．AC
【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.
【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，
则所有符合条件的集合A为,,.
选项BD均不符合要求，排除.
故选：AC
15．，，
【分析】先写出集合{1,2}的所有子集,再除去{1,2}.
【详解】因为集合{1,2}的所有子集为:,{1},{2},{1,2},其中{1,2}不是真子集,
所以A=,或A={1}或A={2}.
故答案为: ，，.
【点睛】本题考查了子集、真子集的概念以及由集合写子集和真子集.属于基础题.
16．16
【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.
【详解】解：，
故A的子集个数为，
故答案为：16
17．
【分析】转化为方程有且只有一个实根，再讨论方程的类型，当时，显然符合题意；当时，由可求出结果.
【详解】因为集合仅有两个子集，
所以集合中有且只有一个元素，即方程有且只有一个实根，
当时，方程变为，符合题意；
当时，，解得，
综上所述：实数m的取值范围为.
故答案为：
18．6
【分析】由题意可得集合，结合求子集个数的计算公式即可.
【详解】由题意知，
，
所以，
所以集合A的非空真子集的个数为：.
故答案为：6
19．
【解析】根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】由题意，集合，
若时，集合，满足题意；
若时，要使得集合，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题.
20．m≥1
【详解】∵M＝ ，∴2m≥m＋1，∴m≥1.
故答案为m≥1
21．
【分析】结合题意，根据数轴法解集即可
【详解】解：在数轴上画出集合范围，由图示可知，当时.
实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题考查集合的交集运算，是中档题.
22．，，，，，，，.
【详解】根据子集的定义，按照子集元素数目，由少到多的顺序写出集合{1，2，3}的所有子集即可．
，，，，，，，.
23．的子集有，，，，，，，
【分析】由确定出，然后利用列举法写出其子集．
【详解】∵，
∴.
∴的子集有，，，，，，，.
【点睛】本题考查了子集与真子集．子集要谨防丢失空集等错误，属于基础题．
24． ，{1}，{5}，{1，5}．
【分析】可求出集合A，然后写出A的所有子集即可．
【详解】易得A＝{1，5}，故A的所有子集为： ，{1}，{5}，{1，5}．
25． ，{1}，{2}，{1，2}．
【分析】根据子集的定义得解.
【详解】解：∵A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
∴集合A的所有子集是： ，{1}，{2}，{1，2}．
26． ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．
【分析】结合已知和真子集的定义得解.
【详解】解：AB，且B＝{0，1，2}；
∴满足条件A的所有集合为： ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．
27．(1)a ；
(2) ，，{﹣3} ．
【分析】（1）由题意知a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，分类讨论并检验即可求得a；（2）由真子集的定义直接写出即可．
(1)
∵A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A，
∴a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，
①若a﹣2＝﹣3，a＝﹣1，2a2+5a＝﹣3，故不成立，
②若2a2+5a＝﹣3，a＝﹣1或a，
由①知a＝﹣1不成立，
若a，a﹣2，2a2+5a＝﹣3，成立，
故a；
(2)
∵，
∴A的真子集有 ， ，{﹣3}．
28．（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：首先通过列举法确定两集合中的元素个数，若含有n个元素，则子集个数为2n,真子集个数为2n-1
试题解析：M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0,1}，N＝{x|－2＜x＜2，且x∈Z}＝{－1,0,1}.
（1）M的子集为： ，{0}，{1}，{0,1}，
（2）N的真子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}.
考点：集合的子集
29．（1）（2）或
【分析】（1）当时，得到方程无实数根，结合一元二次方程的性质，即可求解；
（2）由集合A中至多只有一个元素，则或A中只有一个元素，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，集合，则方程无实数根，
则，解得，
所以当A是空集，的取值范围为．
（2）由题意，集合A中至多只有一个元素，则或A中只有一个元素，
①当时，由（1）得；
②当A中只有一个元素时，则或，
解得或．
综上，若A中至多只有一个元素，a的取值范围为{a|或．
【点睛】本题主要考查了利用集合中元素的个数求解参数问题，其中解答中熟记元素与集合的关系，合理应用一元二次方程的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
30．(1)a∈
(2)a≤3
【分析】（1）利用M N，建立不等关系即可求解；
（2）利用M N，建立不等关系即可求解，注意当N＝ 时，也成立
(1)
∵M N，∴，∴a∈ ；
(2)
①若N＝ ，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M N．
②若N≠ ，即a≥2时，要使M N成立，
则，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．
综上a≤3．
31．(1)30
(2)或
【分析】（1）当时，可得中元素的个数，进而可得的非空真子集的个数；
（2）根据，可分和两种情况讨论，可得出实数的取值范围．
（1）
当时，，共有5个元素，
所以的非空真子集的个数为．
（2）
（1）当时，，解得；
（2）当时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得：或
综上可得，实数的取值范围是或．
32．（1）x＝2或x＝3；（2）a＝－，x＝2或a＝－，x＝3；（3）a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1.
【解析】（1）因为A＝{2，3，4}，所以x2－5x＋9＝3，即可解出x的值；
（2）因为2∈B且，所以，即可得答案；
（3）因为B＝C，所以两式联立，即可得答案.
【详解】（1）因为A＝{2，3，4}，所以x2－5x＋9＝3，
所以x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.
（2）因为2∈B且，所以，
解得或，均符合题意，
所以a＝－，x＝2或a＝－，x＝3.
（3）因为B＝C，所以
①－②并整理得a＝x－5，③
③代入①并化简得x2－2x－3＝0，
所以x＝3或x＝－1，
所以a＝－2或a＝－6.
经检验，a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1均符合题意．
所以a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1.
【点睛】本题已知集合相等求参数、已知集合包含关系求参数，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页